§10.prop2.53#1εὑρεῖν τὴν ἐκ δύο ὀνομάτων ἕκτην.
第六二名線を見出すこと。
Ἐκκείσθωσαν δύο ἀριθμοὶ οἱ ΑΓ, ΓΒ, ὥστε τὸν ΑΒ πρὸς ἑκάτερον αὐτῶν λόγον μὴ ἔχειν, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν·
二つの数AC, CBが、ABがそれらのそれぞれに対して平方数と平方数との比をもたないように設定されよ。
ἔστω δὲ καὶ ἕτερος ἀριθμὸς ὁ Δ μὴ τετράγωνος ὢν μηδὲ πρὸς ἑκάτερον τῶν ΒΑ, ΑΓ λόγον ἔχων, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν·
そしてまた別の数Dで、平方数ではなく、かつBA, ACのそれぞれに対して平方数と平方数との比をもたないものも設定されよ。
καὶ ἐκκείσθω τις ῥητὴ εὐθεῖα ἡ Ε, καὶ γεγονέτω ὡς ὁ Δ πρὸς τὸν ΑΒ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς Ε πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ·
そして、ある有理直線Eが設定され、DがABに対するように、Eの上の正方形がZHの上の正方形に対するように作られよ。
σύμμετρον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς Ε τῷ ἀπὸ τῆς ΖΗ. καί ἐστι ῥητὴ ἡ Ε·
したがって、Eの上の正方形はZHの上の正方形と通約可能である。 そして、Eは有理直線である。
ῥητὴ ἄρα καὶ ἡ ΖΗ. καὶ ἐπεὶ οὐκ ἔχει ὁ Δ πρὸς τὸν ΑΒ λόγον, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν, οὐδὲ τὸ ἀπὸ τῆς Ε ἄρα πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν·
したがって、ZHもまた有理直線である。 そして、DがABに対して平方数と平方数との比をもたないので、Eの上の正方形も ZHの上の正方形に対して、平方数と平方数との比をもたない。
ἀσύμμετρος ἄρα ἡ Ε τῇ ΖΗ μήκει.
したがって、EはZHと長さにおいて通約不能である。
γεγονέτω δὴ πάλιν ὡς ὁ ΒΑ πρὸς τὸν ΑΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΘ. σύμμετρον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ τῷ ἀπὸ τῆς ΘΗ. ῥητὸν ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΘΗ·
今や、再びBAがACに対するように、ZHの上の正方形がHTの上の正方形に対するように作られよ。 したがって、 ZHの上の正方形はTHの上の正方形と通約可能である。 したがって、THの上の正方形は有理である。
ῥητὴ ἄρα ἡ ΘΗ. καὶ ἐπεὶ ὁ ΒΑ πρὸς τὸν ΑΓ λόγον οὐκ ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν, οὐδὲ τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΘ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν·
したがって、THは有理直線である。 そして、BAがACに対して平方数と平方数との比をもたないので、ZHの上の正方形もHTの上の正方形に対して、平方数と平方数との比をもたない。
ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΗ τῇ ΗΘ μήκει.
したがって、ZHはHTと長さにおいて通約不能である。
αἱ ΖΗ, ΗΘ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι·
したがって、ZH, HTは平方においてのみ通約可能な有理直線である。
ἐκ δύο ἄρα ὀνομάτων ἐστὶν ἡ ΖΘ.
δεικτέον δή, ὅτι καὶ ἕκτη.
それゆえ、ZTは二名線である。 今や、それが第六でもあることを示さねばならない。
ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς ὁ Δ πρὸς τὸν ΑΒ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς Ε πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ, ἔστι δὲ καὶ ὡς ὁ ΒΑ πρὸς τὸν ΑΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΘ, διʼ ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡς ὁ Δ πρὸς τὸν ΑΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς Ε πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΘ. ὁ δὲ Δ πρὸς τὸν ΑΓ λόγον οὐκ ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν·
なぜなら、DがABに対するように、 Eの上の正方形がZHの上の正方形に対するからであり、またBAがACに対するように、ZHの上の正方形がHTの上の正方形に対するからであり、したがって、等比の関係から、DがACに対するように、Eの上の正方形がHTの上の正方形に対する。 しかし、DはACに対して、平方数と平方数との比をもたない。
οὐδὲ τὸ ἀπὸ τῆς Ε ἄρα πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΘ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν·
したがって、Eの上の正方形もHTの上の正方形に対して、平方数と平方数との比をもたない。
ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ Ε τῇ ΗΘ μήκει.
したがって、EはHTと長さにおいて通約不能である。
ἐδείχθη δὲ καὶ τῇ ΖΗ ἀσύμμετρος·
そして、EがZHとも通約不能であることが示されていた。
ἑκατέρα ἄρα τῶν ΖΗ, ΗΘ ἀσύμμετρός ἐστι τῇ Ε μήκει.
したがって、ZH, HTのそれぞれはEと長さにおいて通約不能である。
καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ὁ ΒΑ πρὸς τὸν ΑΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΘ, μεῖζον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ τοῦ ἀπὸ τῆς ΗΘ.
そして、 BAがACに対するように、ZHの上の正方形がHTの上の正方形に対するからであり、したがって、ZHの上の正方形はHTの上の正方形よりも大きい。