§10.prop2.51εὑρεῖν τὴν ἐκ δύο ὀνομάτων τετάρτην.
第四二名線を見出すこと。
Ἐκκείσθωσαν δύο ἀριθμοὶ οἱ ΑΓ, ΓΒ, ὥστε τὸν ΑΒ πρὸς τὸν ΒΓ λόγον μὴ ἔχειν μήτε μὴν πρὸς τὸν ΑΓ, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν.
二つの数AC, CBが、ABがBCに対しても、またさらにACに対しても、平方数と平方数との比をもたないように設定されよ。
καὶ ἐκκείσθω ῥητὴ ἡ Δ, καὶ τῇ Δ σύμμετρος ἔστω μήκει ἡ ΕΖ·
そして有理直線Dが設定され、EZがDと長さにおいて通約可能であるようにせよ。
ῥητὴ ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΕΖ. καὶ γεγονέτω ὡς ὁ ΒΑ ἀριθμὸς πρὸς τὸν ΑΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ·
したがって、EZもまた有理直線である。 そして、数BAがACに対するように、EZの上の正方形がZHの上の正方形に対するように作られよ。
σύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ τῷ ἀπὸ τῆς ΖΗ·
したがって、 EZの上の正方形はZHの上の正方形と通約可能である。
ῥητὴ ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΖΗ. καὶ ἐπεὶ ὁ ΒΑ πρὸς τὸν ΑΓ λόγον οὐκ ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν, οὐδὲ τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν·
したがって、ZHもまた有理直線である。 そして、BAがACに対して平方数と平方数との比をもたないので、EZの上の正方形もZHの上の正方形に対して、平方数と平方数との比をもたない。
ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΖ τῇ ΖΗ μήκει.
したがって、EZはZHと長さにおいて通約不能である。
αἱ ΕΖ, ΖΗ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι·
したがって、EZ, ZHは平方においてのみ通約可能な有理直線である。
ὥστε ἡ ΕΗ ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστίν.
それゆえ、EHは二名線である。
λέγω δή, ὅτι καὶ τετάρτη.
今や、それが第四でもあると私は主張する。
ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς ὁ ΒΑ πρὸς τὸν ΑΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ, μεῖζον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ τοῦ ἀπὸ τῆς ΖΗ. ἔστω οὖν τῷ ἀπὸ τῆς ΕΖ ἴσα τὰ ἀπὸ τῶν ΖΗ, Θ·
なぜなら、BAがACに対するように、 EZの上の正方形がZHの上の正方形に対するからであり、したがって、EZの上の正方形はZHの上の正方形よりも大きい。 そこで、EZの上の正方形が、ZHおよびTの上の正方形に等しいとせよ。
ἀναστρέψαντι ἄρα ὡς ὁ ΑΒ ἀριθμὸς πρὸς τὸν ΒΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Θ. ὁ δὲ ΑΒ πρὸς τὸν ΒΓ λόγον οὐκ ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν·
したがって、反転すると、数ABがBCに対するように、EZの上の正方形がTの上の正方形に対する。 しかし、ABはBCに対して平方数と平方数との比をもたない。
οὐδʼ ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Θ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν.
したがって、EZの上の正方形もTの上の正方形に対して、平方数と平方数との比をもたない。
ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΖ τῇ Θ μήκει·
したがって、EZはTと長さにおいて通約不能である。
ἡ ΕΖ ἄρα τῆς ΗΖ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ.
それゆえ、EZはHZよりも、自身と長さにおいて通約不能な直線の上の正方形の分だけ平方において大きい。
καί εἰσιν αἱ ΕΖ, ΖΗ ῥηταὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι, καὶ ἡ ΕΖ τῇ Δ σύμμετρός ἐστι μήκει.
そして、EZ, ZHは平方においてのみ通約可能な有理直線であり、かつ、EZはDと長さにおいて通約可能である。
ἡ ΕΗ ἄρα ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶ τετάρτη·
したがって、EHは第四二名線である。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが示すべきことであった。
§10.prop2.52εὑρεῖν τὴν ἐκ δύο ὀνομάτων πέμπτην.
第五二名線を見出すこと。
Ἐκκείσθωσαν δύο ἀριθμοὶ οἱ ΑΓ, ΓΒ, ὥστε τὸν ΑΒ πρὸς ἑκάτερον αὐτῶν λόγον μὴ ἔχειν, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν, καὶ ἐκκείσθω ῥητή τις εὐθεῖα ἡ Δ, καὶ τῇ Δ σύμμετρος ἔστω ἡ ΕΖ·
二つの数AC, CBが、ABがそれらのそれぞれに対して平方数と平方数との比をもたないように設定され、かつある有理直線Dが設定され、EZがDと通約可能であるようにせよ。
ῥητὴ ἄρα ἡ ΕΖ. καὶ γεγονέτω ὡς ὁ ΓΑ πρὸς τὸν ΑΒ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ. ὁ δὲ ΓΑ πρὸς τὸν ΑΒ λόγον οὐκ ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν·
したがって、EZは有理直線である。 そして、CAがABに対するように、EZの上の正方形がZHの上の正方形に対するように作られよ。 しかし、CAはABに対して平方数と平方数との比をもたない。
οὐδὲ τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ ἄρα πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν.
したがって、EZの上の正方形もZHの上の正方形に対して、平方数と平方数との比をもたない。
αἱ ΕΖ, ΖΗ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι·
したがって、EZ, ZHは平方においてのみ通約可能な有理直線である。
ἐκ δύο ἄρα ὀνομάτων ἐστὶν ἡ ΕΗ.
λέγω δή, ὅτι καὶ πέμπτη.
したがって、 EHは二名線である。 今や、それが第五でもあると私は主張する。
ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς ὁ ΓΑ πρὸς τὸν ΑΒ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ, ἀνάπαλιν ὡς ὁ ΒΑ πρὸς τὸν ΑΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΕ·
なぜなら、CAがABに対するように、EZの上の正方形がZHの上の正方形に対するからであり、逆にして、BAがACに対するように、ZHの上の正方形がZEの上の正方形に対する。
μεῖζον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΗΖ τοῦ ἀπὸ τῆς ΖΕ. ἔστω οὖν τῷ ἀπὸ τῆς ΗΖ ἴσα τὰ ἀπὸ τῶν ΕΖ, Θ·
したがって、HZの上の正方形はZEの上の正方形よりも大きい。 そこで、HZの上の正方形が、EZおよびTの上の正方形に等しいとせよ。
ἀναστρέψαντι ἄρα ἐστὶν ὡς ὁ ΑΒ ἀριθμὸς πρὸς τὸν ΒΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΗΖ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Θ. ὁ δὲ ΑΒ πρὸς τὸν ΒΓ λόγον οὐκ ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν·
したがって、反転すると、数ABがBCに対するように、HZの上の正方形がTの上の正方形に対する。 しかし、ABはBCに対して平方数と平方数との比をもたない。
οὐδʼ ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Θ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν.
したがって、ZHの上の正方形もTの上の正方形に対して、平方数と平方数との比をもたない。
ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΗ τῇ Θ μήκει·
したがって、ZHはTと長さにおいて通約不能である。
ὥστε ἡ ΖΗ τῆς ΖΕ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ.
それゆえ、ZHはZEよりも、自身と長さにおいて通約不能な直線の上の正方形の分だけ平方において大きい。
καί εἰσιν αἱ ΗΖ, ΖΕ ῥηταὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι καὶ τὸ ΕΖ ἔλαττον ὄνομα σύμμετρόν ἐστι τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ τῇ Δ μήκει.
そして、HZ, ZEは平方においてのみ通約可能な有理直線であり、かつ、より小さい項EZは設定された有理直線Dと長さにおいて通約可能である。
ἡ ΕΗ ἄρα ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶ πέμπτη·
したがって、EHは第五二名線である。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが示すべきことであった。