§10.prop2.50εὑρεῖν τὴν ἐκ δύο ὀνομάτων τρίτην.
第三二名線を見出すこと。
Ἐκκείσθωσαν δύο ἀριθμοὶ οἱ ΑΓ, ΓΒ, ὥστε τὸν συγκείμενον ἐξ αὐτῶν τὸν ΑΒ πρὸς μὲν τὸν ΒΓ λόγον ἔχειν, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν, πρὸς δὲ τὸν ΑΓ λόγον μὴ ἔχειν, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν.
二つの数AC, CBが、それらから合成される数ABが、BCに対しては平方数と平方数との比をもち、 CAに対しては平方数と平方数との比をもたないように設定されよ。
ἐκκείσθω δέ τις καὶ ἄλλος μὴ τετράγωνος ἀριθμὸς ὁ Δ, καὶ πρὸς ἑκάτερον τῶν ΒΑ, ΑΓ λόγον μὴ ἐχέτω, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν·
また、平方数でない他のある数Dが設定され、それがBA, ACのそれぞれに対して、平方数と平方数との比をもたないようにせよ。
καὶ ἐκκείσθω τις ῥητὴ εὐθεῖα ἡ Ε, καὶ γεγονέτω ὡς ὁ Δ πρὸς τὸν ΑΒ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς Ε πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ·
また、ある有理直線Eが設定され、数DがABに対するように、Eの上の正方形がZHの上の正方形に対するように作られよ。
σύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς Ε τῷ ἀπὸ τῆς ΖΗ. καί ἐστι ῥητὴ ἡ Ε·
したがって、Eの上の正方形はZHの上の正方形と通約可能である。 そして、Eは有理直線である。
ῥητὴ ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΖΗ. καὶ ἐπεὶ ὁ Δ πρὸς τὸν ΑΒ λόγον οὐκ ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν, οὐδὲ τὸ ἀπὸ τῆς Ε πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν·
したがって、ZHもまた有理直線である。 そして、DはABに対して、平方数と平方数との比をもたないので、したがって、 Eの上の正方形もZHの上の正方形に対して、平方数と平方数との比をもたない。
ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ Ε τῇ ΖΗ μήκει.
したがって、EはZHと長さにおいて通約不能である。
γεγονέτω δὴ πάλιν ὡς ὁ ΒΑ ἀριθμὸς πρὸς τὸν ΑΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΘ·
そこで再び、数BAがACに対するように、ZHの上の正方形がHTの上の正方形に対するように作られよ。
σύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ τῷ ἀπὸ τῆς ΗΘ. ῥητὴ δὲ ἡ ΖΗ·
したがって、ZHの上の正方形は HTの上の正方形と通約可能である。 そして、ZHは有理直線である。
ῥητὴ ἄρα καὶ ἡ ΗΘ. καὶ ἐπεὶ ὁ ΒΑ πρὸς τὸν ΑΓ λόγον οὐκ ἔχει, ὅν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν, οὐδὲ τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΘΗ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν·
したがって、HTもまた有理直線である。 そして、数BAはACに対して、平方数と平方数との比をもたないので、ZHの上の正方形もTHの上の正方形に対して、平方数と平方数との比をもたない。
ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΗ τῇ ΗΘ μήκει.
したがって、ZHはHTと長さにおいて通約不能である。
αἱ ΖΗ, ΗΘ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι·
したがって、ZH, HTは平方においてのみ通約可能な有理直線である。
ἡ ΖΘ ἄρα ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστίν.
したがって、ZTは二名線である。
λέγω δή, ὅτι καὶ τρίτη.
今や、それが第三でもあると私は主張する。
ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς ὁ Δ πρὸς τὸν ΑΒ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς Ε πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ, ὡς δὲ ὁ ΒΑ πρὸς τὸν ΑΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΘ, διʼ ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡς ὁ Δ πρὸς τὸν ΑΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς Ε πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΘ. ὁ δὲ Δ πρὸς τὸν ΑΓ λόγον οὐκ ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν·
なぜなら、DがABに対するように、Eの上の正方形がZHの上の正方形にたいし、BAがACに対するように、 ZHの上の正方形がHTの上の正方形に対するからであり、したがって、等比の関係から、DがACに対するように、Eの上の正方形がHTの上の正方形に対する。 しかし、DはACに対して、平方数と平方数との比をもたない。
οὐδὲ τὸ ἀπὸ τῆς Ε ἄρα πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΘ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν·
したがって、Eの上の正方形もHTの上の正方形に対して、平方数と平方数との比をもたない。
ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ Ε τῇ ΗΘ μήκει.
したがって、EはHTと長さにおいて通約不能である。
καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ὁ ΒΑ πρὸς τὸν ΑΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΘ, μεῖζον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ τοῦ ἀπὸ τῆς ΗΘ. ἔστω οὖν τῷ ἀπὸ τῆς ΖΗ ἴσα τὰ ἀπὸ τῶν ΗΘ, Κ·
そして、BAがACに対するように、ZHの上の正方形がHTの上の正方形に対するので、したがって、ZHの上の正方形はHTの上の正方形よりも大きい。 そこで、ZHの上の正方形が、HTおよびKの上の正方形に等しいとせよ。
ἀναστρέψαντι ἄρα ὡς ὁ ΑΒ πρὸς τὸν ΒΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Κ. ὁ δὲ ΑΒ πρὸς τὸν ΒΓ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν·
したがって、反転すると、 ABがBCに対するように、ZHの上の正方形がKの上の正方形に対する。 しかし、ABはBCに対して、平方数と平方数との比をもつ。
καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ ἄρα πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Κ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν·
したがって、ZHの上の正方形もKの上の正方形に対して、平方数と平方数との比をもつ。
σύμμετρος ἄρα ἡ ΖΗ τῇ Κ μήκει.
したがって、ZHはKと長さにおいて通約可能である。
ἡ ΖΗ ἄρα τῆς ΗΘ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ.
それゆえ、ZHはHTよりも、自身と長さにおいて通約可能な直線の上の正方形の分だけ平方において大きい。
καί εἰσιν αἱ ΖΗ, ΗΘ ῥηταὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι, καὶ οὐδετέρα αὐτῶν σύμμετρός ἐστι τῇ Ε μήκει.
そして、ZH, HTは平方においてのみ通約可能な有理直線であり、かつ、それらのいずれもEと長さにおいて通約可能でない。
ἡ ΖΘ ἄρα ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶ τρίτη·
したがって、ZTは第三二名線である。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが示すべきことであった。