§10.prop2.51εὑρεῖν τὴν ἐκ δύο ὀνομάτων τετάρτην.
네 번째 이항선을 찾는 것.
Ἐκκείσθωσαν δύο ἀριθμοὶ οἱ ΑΓ, ΓΒ, ὥστε τὸν ΑΒ πρὸς τὸν ΒΓ λόγον μὴ ἔχειν μήτε μὴν πρὸς τὸν ΑΓ, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν.
두 수 AC, CB가, AB가 BC에 대해서도, 그리고 또한 AC에 대해서도 제곱수가 제곱수에 대해 가지는 비를 가지지 않도록 설정되게 하라.
καὶ ἐκκείσθω ῥητὴ ἡ Δ, καὶ τῇ Δ σύμμετρος ἔστω μήκει ἡ ΕΖ·
그리고 유리직선 D가 설정되게 하고, EZ가 D와 길이에서 통약할 수 있도록 하라.
ῥητὴ ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΕΖ. καὶ γεγονέτω ὡς ὁ ΒΑ ἀριθμὸς πρὸς τὸν ΑΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ·
그러므로 EZ도 또한 유리직선이다. 그리고 수 BA가 AC에 대하는 것과 같이, EZ 위의 정사각형이 ZH 위의 정사각형에 대하도록 만들어지게 하라.
σύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ τῷ ἀπὸ τῆς ΖΗ·
그러므로 EZ 위의 정사각형은 ZH 위의 정사각형과 통약할 수 있다.
ῥητὴ ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΖΗ. καὶ ἐπεὶ ὁ ΒΑ πρὸς τὸν ΑΓ λόγον οὐκ ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν, οὐδὲ τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν·
그러므로 ZH도 또한 유리직선이다. 그리고 BA가 AC에 대해 제곱수가 제곱수에 대해 가지는 비를 가지지 않으므로, EZ 위의 정사각형도 ZH 위의 정사각형에 대해 제곱수가 제곱수에 대해 가지는 비를 가지지 않는다.
ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΖ τῇ ΖΗ μήκει.
그러므로 EZ는 ZH와 길이에서 통약할 수 없다.
αἱ ΕΖ, ΖΗ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι· ὥστε ἡ ΕΗ ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστίν.
그러므로 EZ, ZH는 제곱에서만 통약할 수 있는 유리직선들이며, 그러므로 EH는 이항선이다.
λέγω δή, ὅτι καὶ τετάρτη.
나는 그것이 네 번째 이항선이기도 하다고 주장한다.
ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς ὁ ΒΑ πρὸς τὸν ΑΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ, μεῖζον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ τοῦ ἀπὸ τῆς ΖΗ. ἔστω οὖν τῷ ἀπὸ τῆς ΕΖ ἴσα τὰ ἀπὸ τῶν ΖΗ, Θ·
왜냐하면 BA가 AC에 대하는 것과 같이, EZ 위의 정사각형이 ZH 위의 정사각형에 대하기 때문이다. 그러므로 EZ 위의 정사각형은 ZH 위의 정사각형보다 크다. 그러므로 EZ 위의 정사각형이 ZH, T 위의 정사각형들의 합과 같다고 하라.
ἀναστρέψαντι ἄρα ὡς ὁ ΑΒ ἀριθμὸς πρὸς τὸν ΒΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Θ. ὁ δὲ ΑΒ πρὸς τὸν ΒΓ λόγον οὐκ ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν·
그러므로 반전하면, 수 AB가 BC에 대하는 것과 같이, EZ 위의 정사각형이 T 위의 정사각형에 대한다. 그런데 AB는 BC에 대해 제곱수가 제곱수에 대해 가지는 비를 가지지 않는다.
οὐδʼ ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Θ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν.
그러므로 EZ 위의 정사각형도 T 위의 정사각형에 대해 제곱수가 제곱수에 대해 가지는 비를 가지지 않는다.
ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΖ τῇ Θ μήκει·
그러므로 EZ는 T와 길이에서 통약할 수 없다.
ἡ ΕΖ ἄρα τῆς ΗΖ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ.
그러므로 EZ는 HZ보다 자신과 길이에서 통약할 수 없는 직선 위의 정사각형만큼 제곱에서 더 크다.
καί εἰσιν αἱ ΕΖ, ΖΗ ῥηταὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι, καὶ ἡ ΕΖ τῇ Δ σύμμετρός ἐστι μήκει.
그리고 EZ, ZH는 제곱에서만 통약할 수 있는 유리직선들이며, EZ는 D와 길이에서 통약할 수 있다.
ἡ ΕΗ ἄρα ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶ τετάρτη·
그러므로 EH는 네 번째 이항선이다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하고자 했던 것이다.
§10.prop2.52εὑρεῖν τὴν ἐκ δύο ὀνομάτων πέμπτην.
다섯 번째 이항선을 찾는 것.
Ἐκκείσθωσαν δύο ἀριθμοὶ οἱ ΑΓ, ΓΒ, ὥστε τὸν ΑΒ πρὸς ἑκάτερον αὐτῶν λόγον μὴ ἔχειν, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν, καὶ ἐκκείσθω ῥητή τις εὐθεῖα ἡ Δ, καὶ τῇ Δ σύμμετρος ἔστω ἡ ΕΖ·
두 수 AC, CB가, AB가 그것들 각각에 대해 제곱수가 제곱수에 대해 가지는 비를 가지지 않도록 설정되게 하고, 어떤 유리직선 D가 설정되게 하며, EZ가 D와 통약할 수 있도록 하라.
ῥητὴ ἄρα ἡ ΕΖ. καὶ γεγονέτω ὡς ὁ ΓΑ πρὸς τὸν ΑΒ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ. ὁ δὲ ΓΑ πρὸς τὸν ΑΒ λόγον οὐκ ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν·
그러므로 EZ는 유리직선이다. 그리고 CA가 AB에 대하는 것과 같이, EZ 위의 정사각형이 ZH 위의 정사각형에 대하도록 만들어지게 하라. 그런데 CA는 AB에 대해 제곱수가 제곱수에 대해 가지는 비를 가지지 않는다.
οὐδὲ τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ ἄρα πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν.
그러므로 EZ 위의 정사각형도 ZH 위의 정사각형에 대해 제곱수가 제곱수에 대해 가지는 비를 가지지 않는다.
αἱ ΕΖ, ΖΗ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι· ἐκ δύο ἄρα ὀνομάτων ἐστὶν ἡ ΕΗ.
λέγω δή, ὅτι καὶ πέμπτη.
그러므로 EZ, ZH는 제곱에서만 통약할 수 있는 유리직선들이며, 그러므로 EH는 이항선이다. 나는 그것이 다섯 번째 이항선이기도 하다고 주장한다.
ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς ὁ ΓΑ πρὸς τὸν ΑΒ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ, ἀνάπαλιν ὡς ὁ ΒΑ πρὸς τὸν ΑΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΕ·
왜냐하면 CA가 AB에 대하는 것과 같이, EZ 위의 정사각형이 ZH 위의 정사각형에 대하고, 역으로 하면, BA가 AC에 대하는 것과 같이, ZH 위의 정사각형이 ZE 위의 정사각형에 대하기 때문이다.
μεῖζον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΗΖ τοῦ ἀπὸ τῆς ΖΕ. ἔστω οὖν τῷ ἀπὸ τῆς ΗΖ ἴσα τὰ ἀπὸ τῶν ΕΖ, Θ·
그러므로 HZ 위의 정사각형은 ZE 위의 정사각형보다 크다. 그러므로 HZ 위의 정사각형이 EZ, T 위의 정사각형들의 합과 같다고 하라.
ἀναστρέψαντι ἄρα ἐστὶν ὡς ὁ ΑΒ ἀριθμὸς πρὸς τὸν ΒΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΗΖ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Θ. ὁ δὲ ΑΒ πρὸς τὸν ΒΓ λόγον οὐκ ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν·
그러므로 반전하면, 수 AB가 BC에 대하는 것과 같이, HZ 위의 정사각형이 T 위의 정사각형에 대한다. 그런데 AB는 BC에 대해 제곱수가 제곱수에 대해 가지는 비를 가지지 않는다.
οὐδʼ ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Θ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν.
그러므로 ZH 위의 정사각형도 T 위의 정사각형에 대해 제곱수가 제곱수에 대해 가지는 비를 가지지 않는다.
ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΗ τῇ Θ μήκει·
그러므로 ZH는 T와 길이에서 통약할 수 없다.
ὥστε ἡ ΖΗ τῆς ΖΕ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ.
그러므로 ZH는 ZE보다 자신과 길이에서 통약할 수 없는 직선 위의 정사각형만큼 제곱에서 더 크다.
καί εἰσιν αἱ ΗΖ, ΖΕ ῥηταὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι καὶ τὸ ΕΖ ἔλαττον ὄνομα σύμμετρόν ἐστι τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ τῇ Δ μήκει.
그리고 HZ, ZE는 제곱에서만 통약할 수 있는 유리직선들이며, 더 작은 항 EZ는 설정된 유리직선 D와 길이에서 통약할 수 있다.
ἡ ΕΗ ἄρα ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶ πέμπτη·
그러므로 EH는 다섯 번째 이항선이다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하고자 했던 것이다.