§10.prop1.10τῇ προτεθείσῃ εὐθείᾳ προσευρεῖν δύο εὐθείας ἀσυμμέτρους, τὴν μὲν μήκει μόνον, τὴν δὲ καὶ δυνάμει.
与えられた直線に対して、2つの通約できない直線をさらに見出すこと。 一方は長さにおいてのみ、他方は平方においても［通約できないものとする］。
ἔστω ἡ προτεθεῖσα εὐθεῖα ἡ Α·
与えられた直線がΑであるとせよ。
δεῖ δὴ τῇ Α προσευρεῖν δύο εὐθείας ἀσυμμέτρους, τὴν μὲν μήκει μόνον, τὴν δὲ καὶ δυνάμει.
Αに対して、2つの通約できない直線をさらに見出すことが必要である。 一方は長さにおいてのみ、他方は平方においても［通約できないものとする］。
Ἐκκείσθωσαν γὰρ δύο ἀριθμοὶ οἱ Β, Γ πρὸς ἀλλήλους λόγον μὴ ἔχοντες, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν, τουτέστι μὴ ὅμοιοι ἐπίπεδοι, καὶ γεγονέτω ὡς ὁ Β πρὸς τὸν Γ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς Α τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Δ τετράγωνον· ἐμάθομεν γάρ·
なぜなら、互いに平方数に対する平方数と同じ比をもたない、すなわち相似でない平面数である2つの数Β, Γが設定されているとせよ。 そして、ΒがΓに対するように、そのようにΑ上の正方形がΔ上の正方形に対するように作られたとせよ（なぜなら、我々は［その方法を］学んだからである）。
σύμμετρον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς Α τῷ ἀπὸ τῆς Δ. καὶ ἐπεὶ ὁ Β πρὸς τὸν Γ λόγον οὐκ ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν, οὐδʼ ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς Α πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Δ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν·
したがって、Α上の正方形はΔ上の正方形と通約できる。 そして、ΒがΓに対して、平方数に対する平方数の比をもたないから、したがって、Α上の正方形もΔ上の正方形に対して、平方数に対する平方数の比をもたない。
ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ Α τῇ Δ μήκει.
したがって、ΑはΔと長さにおいて通約できない。
εἰλήφθω τῶν Α, Δ μέση ἀνάλογον ἡ Ε·
Α, Δの比例中項としてΕが取られたとせよ。
ἔστιν ἄρα ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Δ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς Α τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Ε. ἀσύμμετρος δέ ἐστιν ἡ Α τῇ Δ μήκει·
したがって、ΑがΔに対するように、そのようにΑ上の正方形は Ε上の正方形に対する。 しかし、ΑはΔと長さにおいて通約できない。
ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς Α τετράγωνον τῷ ἀπὸ τῆς Ε τετραγώνῳ·
したがって、Α上の正方形もΕ上の正方形と通約できない。
ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ Α τῇ Ε δυνάμει.
したがって、ΑはΕと平方において通約できない。
τῇ ἄρα προτεθείσῃ εὐθείᾳ τῇ Α προσεύρηνται δύο εὐθεῖαι ἀσύμμετροι αἱ Δ, Ε, μήκει μὲν μόνον ἡ Δ, δυνάμει δὲ καὶ μήκει δηλαδὴ ἡ Ε.
したがって、与えられた直線Αに対して、2つの通約できない直線Δ, Εがさらに見出された。 Δは長さにおいてのみ［通約できず］、Εは平方において、そして当然長さにおいても［通約できない］。
§10.prop1.11ἐὰν τέσσαρα μεγέθη ἀνάλογον ᾖ, τὸ δὲ πρῶτον τῷ δευτέρῳ σύμμετρον ᾖ, καὶ τὸ τρίτον τῷ τετάρτῳ σύμμετρον ἔσται·
もし4つの大きさが比例しており、第1のものが第2のものと通約できるならば、第3のものも第4のものと通約できるであろう。
κἂν τὸ πρῶτον τῷ δευτέρῳ ἀσύμμετρον ᾖ, καὶ τὸ τρίτον τῷ τετάρτῳ ἀσύμμετρον ἔσται.
また、もし第1のものが第2のものと通約できないならば、第3のものも第4のものと通約できないであろう。
ἔστωσαν τέσσαρα μεγέθη ἀνάλογον τὰ Α, Β, Γ, Δ, ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Β, οὕτως τὸ Γ πρὸς τὸ Δ, τὸ Α δὲ τῷ Β σύμμετρον ἔστω·
比例する4つの大きさをΑ, Β, Γ, Δとし、ΑがΒに対するように、そのようにΓがΔに対するものとし、ΑはΒと通約できるとせよ。
λέγω, ὅτι καὶ τὸ Γ τῷ Δ σύμμετρον ἔσται.
私は、ΓもΔと通約できるであろうと言う。
ἐπεὶ γὰρ σύμμετρόν ἐστι τὸ Α τῷ Β, τὸ Α ἄρα πρὸς τὸ Β λόγον ἔχει, ὃν ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμόν.
なぜなら、ΑはΒと通約できるから、したがって、Αは Βに対して数に対する数と同じ比をもつ。
καί ἐστιν ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Β, οὕτως τὸ Γ πρὸς τὸ Δ·
そして、ΑがΒに対するように、そのようにΓがΔに対する。
καὶ τὸ Γ ἄρα πρὸς τὸ Δ λόγον ἔχει, ὃν ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμόν·
したがって、ΓもΔに対して数に対する数と同じ比をもつ。
σύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ Γ τῷ Δ.
ἀλλὰ δὴ τὸ Α τῷ Β ἀσύμμετρον ἔστω·
したがって、ΓはΔと通約できる。 では次に、ΑはΒと通約できないとせよ。
λέγω, ὅτι καὶ τὸ Γ τῷ Δ ἀσύμμετρον ἔσται.
私は、 ΓもΔと通約できないであろうと言う。
ἐπεὶ γὰρ ἀσύμμετρόν ἐστι τὸ Α τῷ Β, τὸ Α ἄρα πρὸς τὸ Β λόγον οὐκ ἔχει, ὃν ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμόν.
なぜなら、ΑはΒと通約できないから、したがって、ΑはΒに対して数に対する数と同じ比をもたない。
καί ἐστιν ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Β, οὕτως τὸ Γ πρὸς τὸ Δ·
そして、ΑがΒに対するように、そのようにΓがΔに対する。
οὐδὲ τὸ Γ ἄρα πρὸς τὸ Δ λόγον ἔχει, ὃν ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμόν·
したがって、ΓもΔに対して数に対する数と同じ比をもたない。
ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ Γ τῷ Δ.
ἐὰν ἄρα τέσσαρα μεγέθη, καὶ τὰ ἑξῆς.
したがって、Γは Δと通約できない。 したがって、もし4つの大きさが、およびその後に続くもの。