§10.prop1.40ἐὰν δύο εὐθεῖαι δυνάμει ἀσύμμετροι συντεθῶσι ποιοῦσαι τὸ μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπʼ αὐτῶν τετραγώνων μέσον, τὸ δʼ ὑπʼ αὐτῶν ῥητόν, ἡ ὅλη εὐθεῖα ἄλογός ἐστιν, καλείσθω δὲ ῥητὸν καὶ μέσον δυναμένη.
もし平方において通約不可能な２つの直線が、それらの上の正方形の和を中項に、それらによって囲まれる矩形を有理にしつつ足し合わされるならば、全体［の直線］は無理直線であり、それは有理［の面積］と中項［の面積］を二乗するものと呼ばれるものとせよ。
Συγκείσθωσαν γὰρ δύο εὐθεῖαι δυνάμει ἀσύμμετροι αἱ ΑΒ, ΒΓ ποιοῦσαι τὰ προκείμενα·
実際、平方において通約不可能であり、上述の条件を満たす２つの直線 ΑΒ, ΒΓ が足し合わされているものとせよ。
λέγω, ὅτι ἄλογός ἐστιν ἡ ΑΓ.
ἐπεὶ γὰρ τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ μέσον ἐστίν, τὸ δὲ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ ῥητόν, ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ·
私は、ΑΓ が無理直線であることを主張する。 なぜなら、ΑΒ, ΒΓ の上の正方形の和は中項であり、２倍の ΑΒ, ΒΓ によって囲まれる矩形は有理であるから、したがって、ΑΒ, ΒΓ の上の正方形の和は、２倍の ΑΒ, ΒΓ によって囲まれる矩形と通約不可能である。
ὥστε καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ ἀσύμμετρόν ἐστι τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ. ῥητὸν δὲ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ·
それゆえ、ΑΓ の上の正方形もまた、２倍の ΑΒ, ΒΓ によって囲まれる矩形と通約不可能である。 ところで、２倍の ΑΒ, ΒΓ によって囲まれる矩形は有理である。
ἄλογον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ. ἄλογος ἄρα ἡ ΑΓ, καλείσθω δὲ ῥητὸν καὶ μέσον δυναμένη.
したがって、ΑΓ の上の正方形は無理である。 それゆえ ΑΓ は無理直線であり、それは有理［の面積］と中項［の面積］を二乗するものと呼ばれるものとせよ。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが示すべきことであった。
§10.prop1.41ἐὰν δύο εὐθεῖαι δυνάμει ἀσύμμετροι συντεθῶσι ποιοῦσαι τό τε συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπʼ αὐτῶν τετραγώνων μέσον καὶ τὸ ὑπʼ αὐτῶν μέσον καὶ ἔτι ἀσύμμετρον τῷ συγκειμένῳ ἐκ τῶν ἀπʼ αὐτῶν τετραγώνων, ἡ ὅλη εὐθεῖα ἄλογός ἐστιν, καλείσθω δὲ δύο μέσα δυναμένη.
もし平方において通約不可能な２つの直線が、それらの上の正方形の和を中項に、それらによって囲まれる矩形を中項にし、さらにそれ［らの上の正方形の和］と通約不可能にしつつ足し合わされるならば、全体［の直線］は無理直線であり、それは二つの中項［の面積］を二乗するものと呼ばれるものとせよ。
Συγκείσθωσαν γὰρ δύο εὐθεῖαι δυνάμει ἀσύμμετροι αἱ ΑΒ, ΒΓ ποιοῦσαι τὰ προκείμενα·
実際、平方において通約不可能であり、上述の条件を満たす２つの直線 ΑΒ, ΒΓ が足し合わされているものとせよ。
λέγω, ὅτι ἡ ΑΓ ἄλογός ἐστιν.
私は、ΑΓ が無理直線であることを主張する。
Ἐκκείσθω ῥητὴ ἡ ΔΕ, καὶ παραβεβλήσθω παρὰ τὴν ΔΕ τοῖς μὲν ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ ἴσον τὸ ΔΖ, τῷ δὲ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ ἴσον τὸ ΗΘ·
有理直線 ΔΕ が設定されるものとし、 ΔΕ に沿って、ΑΒ, ΒΓ の上の正方形の和に等しい［長方形］ΔΖ と、２倍の ΑΒ, ΒΓ によって囲まれる矩形に等しい［長方形］ΗΘ があてがわれるものとせよ。
ὅλον ἄρα τὸ ΔΘ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΓ τετραγώνῳ.
したがって、全体［の長方形］ΔΘ は、ΑΓ の上の正方形に等しい。
καὶ ἐπεὶ μέσον ἐστὶ τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ, καί ἐστιν ἴσον τῷ ΔΖ, μέσον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ΔΖ. καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΔΕ παράκειται·
そして、ΑΒ, ΒΓ の上の正方形の和は中項であり、かつそれは ΔΖ に等しいから、したがって ΔΖ もまた中項である。 そして、［それは］有理直線 ΔΕ に沿ってあてがわれている。
ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΔΗ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΔΕ μήκει.
したがって、ΔΗ は有理直線であり、かつ ΔΕ と長さにおいて通約不可能である。
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΗΚ ῥητή ἐστι καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΗΖ, τουτέστι τῇ ΔΕ, μήκει.
したがって全く同様に、ΗΚ もまた有理直線であり、かつ ΗΖ、すなわち ΔΕ と長さにおいて通約不可能である。
καὶ ἐπεὶ ἀσύμμετρά ἐστι τὰ ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ, ἀσύμμετρόν ἐστι τὸ ΔΖ τῷ ΗΘ·
そして、 ΑΒ, ΒΓ の上の正方形の和は２倍の ΑΒ, ΒΓ によって囲まれる矩形と通約不可能であるから、ΔΖ は ΗΘ と通約不可能である。
ὥστε καὶ ἡ ΔΗ τῇ ΗΚ ἀσύμμετρός ἐστιν.
それゆえ、ΔΗ もまた ΗΚ と通約不可能である。
καί εἰσι ῥηταί·
そして、それらは有理直線である。
αἱ ΔΗ, ΗΚ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι·
したがって、ΔΗ, ΗΚ は平方においてのみ通約可能な有理直線である。
ἄλογος ἄρα ἐστὶν ἡ ΔΚ ἡ καλουμένη ἐκ δύο ὀνομάτων.
それゆえ、二名線と呼ばれる ΔΚ は無理直線である。
ῥητὴ δὲ ἡ ΔΕ·
ところで、ΔΕ は有理直線である。
ἄλογον ἄρα ἐστὶ τὸ ΔΘ καὶ ἡ δυναμένη αὐτὸ ἄλογός ἐστιν.
したがって、ΔΘ は無理であり、それを二乗する直線もまた無理直線である。
δύναται δὲ τὸ ΘΔ ἡ ΑΓ·
ところで、ΑΓ は ΘΔ を二乗する。
ἄλογος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΓ, καλείσθω δὲ δύο μέσα δυναμένη.
したがって ΑΓ は無理直線であり、それは二つの中項［の面積］を二乗するものと呼ばれるものとせよ。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが示すべきことであった。
λῆμμα
ὅτι δὲ αἱ εἰρημέναι ἄλογοι μοναχῶς διαιροῦνται εἰς τὰς εὐθείας, ἐξ ὧν σύγκεινται ποιουσῶν τὰ προκείμενα εἴδη, δείξομεν ἤδη προεκθέμενοι λημμάτιον τοιοῦτον·
［補題］ところで、上述の無理直線が、提示された形をつくる、それらを構成する直線へと唯一の仕方で分割されるということは、以下の小さな補題をあらかじめ提示した上で、直ちに証明することにしよう。
Ἐκκείσθω εὐθεῖα ἡ ΑΒ καὶ τετμήσθω ἡ ὅλη εἰς ἄνισα καθʼ ἑκάτερον τῶν Γ, Δ, ὑποκείσθω δὲ μείζων ἡ ΑΓ τῆς ΔΒ·
直線 ΑΒ が設定されるものとし、全体［の直線］が Γ, Δ のそれぞれにおいて不等に分割されるものとせよ。 そして ΑΓ は ΔΒ より大きいと仮定せよ。
λέγω, ὅτι τὰ ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ μείζονά ἐστι τῶν ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ.
τετμήσθω γὰρ ἡ ΑΒ δίχα κατὰ τὸ Ε. καὶ ἐπεὶ μείζων ἐστὶν ἡ ΑΓ τῆς ΔΒ, κοινὴ ἀφῃρήσθω ἡ ΔΓ·
私は、ΑΓ, ΓΒ の上の正方形の和は、 ΑΔ, ΔΒ の上の正方形の和より大きいことを主張する。 実際、ΑΒ が Ε において二等分されるものとせよ。 そして、ΑΓ は ΔΒ より大きいから、共通の［部分］ΔΓ が引かれるものとせよ。
λοιπὴ ἄρα ἡ ΑΔ λοιπῆς τῆς ΓΒ μείζων ἐστίν.
したがって、残りの ΑΔ は残りの ΓΒ より大きい。
ἴση δὲ ἡ ΑΕ τῇ ΕΒ·
ところで、ΑΕ は ΕΒ に等しい。
ἐλάττων ἄρα ἡ ΔΕ τῆς ΕΓ·
したがって、ΔΕ は ΕΓ より小さい。
τὰ Γ, Δ ἄρα σημεῖα οὐκ ἴσον ἀπέχουσι τῆς διχοτομίας.
したがって、点 Γ, Δ は二等分点から等しい距離にはない。
καὶ ἐπεὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΕΓ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΕΒ, ἀλλὰ μὴν καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΔΕ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΕΒ, τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΕΓ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΔΕ·
そして、ΑΓ, ΓΒ によって囲まれる矩形に ΕΓ の上の正方形を加えたものは ΕΒ の上の正方形に等しく、さらにまた ΑΔ, ΔΒ によって囲まれる矩形に ΔΕ の上の正方形を加えたものもまた ΕΒ の上の正方形に等しいから、したがって、ΑΓ, ΓΒ によって囲まれる矩形に ΕΓ の上の正方形を加えたものは、ΑΔ, ΔΒ によって囲まれる矩形に ΔΕ の上の正方形を加えたものに等しい。
ὧν τὸ ἀπὸ τῆς ΔΕ ἔλασσόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΕΓ·
これらのうち ΔΕ の上の正方形は ΕΓ の上の正方形より小さい。
καὶ λοιπὸν ἄρα τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ ἔλασσόν ἐστι τοῦ ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ. ὥστε καὶ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ ἔλασσόν ἐστι τοῦ δὶς ὑπὸ ΑΔ, ΔΒ. καὶ λοιπὸν ἄρα τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ μεῖζόν ἐστι τοῦ συγκειμένου ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ·
したがって残りの、ΑΓ, ΓΒ によって囲まれる矩形は、ΑΔ, ΔΒ によって囲まれる矩形より小さい。 それゆえ、２倍の ΑΓ, ΓΒ によって囲まれる矩形もまた、２倍の ΑΔ, ΔΒ によって囲まれる矩形より小さい。 したがって残りの、ΑΓ, ΓΒ の上の正方形の和は、 ΑΔ, ΔΒ の上の正方形の和より大きい。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが示すべきことであった。