§10.prop1.40ἐὰν δύο εὐθεῖαι δυνάμει ἀσύμμετροι συντεθῶσι ποιοῦσαι τὸ μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπʼ αὐτῶν τετραγώνων μέσον, τὸ δʼ ὑπʼ αὐτῶν ῥητόν, ἡ ὅλη εὐθεῖα ἄλογός ἐστιν, καλείσθω δὲ ῥητὸν καὶ μέσον δυναμένη.
만일 제곱에서 통약할 수 없는 두 직선이 그것들 위의 정사각형들의 합은 미디얼이고, 그것들에 의해 둘러싸인 직사각형은 유리적이 되도록 더해진다면, 전체 직선은 무리적이며, 그것은 유리적 넓이와 미디얼인 넓이를 제곱하는 선이라 불리도록 하자.
Συγκείσθωσαν γὰρ δύο εὐθεῖαι δυνάμει ἀσύμμετροι αἱ ΑΒ, ΒΓ ποιοῦσαι τὰ προκείμενα·
실제로 제곱에서 통약할 수 없는 두 직선 AB, BC가 위의 조건들을 만족하도록 더해져 있다고 하자.
λέγω, ὅτι ἄλογός ἐστιν ἡ ΑΓ.
ἐπεὶ γὰρ τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ μέσον ἐστίν, τὸ δὲ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ ῥητόν, ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ·
나는 AC가 무리적임을 주장한다. 왜냐하면 AB, BC 위의 정사각형들의 합은 미디얼이고, 두 배의 AB, BC 에 의해 둘러싸인 직사각형은 유리적이므로, 따라서 AB, BC 위의 정사각형들의 합은 두 배의 AB, BC에 의해 둘러싸인 직사각형과 통약할 수 없다.
ὥστε καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ ἀσύμμετρόν ἐστι τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ. ῥητὸν δὲ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ·
그러므로 AC 위의 정사각형 역시 두 배의 AB, BC에 의해 둘러싸인 직사각형과 통약할 수 없다. 그런데 두 배의 AB, BC에 의해 둘러싸인 직사각형은 유리적이다.
ἄλογον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ. ἄλογος ἄρα ἡ ΑΓ, καλείσθω δὲ ῥητὸν καὶ μέσον δυναμένη.
따라서 AC 위의 정사각형은 무리적이다. 그러므로 AC 역시 무리직선이며, 그것은 유리적 넓이와 미디얼인 넓이를 제곱하는 선이라 불리도록 하자.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 보여야 할 일이었다.
§10.prop1.41ἐὰν δύο εὐθεῖαι δυνάμει ἀσύμμετροι συντεθῶσι ποιοῦσαι τό τε συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπʼ αὐτῶν τετραγώνων μέσον καὶ τὸ ὑπʼ αὐτῶν μέσον καὶ ἔτι ἀσύμμετρον τῷ συγκειμένῳ ἐκ τῶν ἀπʼ αὐτῶν τετραγώνων, ἡ ὅλη εὐθεῖα ἄλογός ἐστιν, καλείσθω δὲ δύο μέσα δυναμένη.
만일 제곱에서 통약할 수 없는 두 직선이 그것들 위의 정사각형들의 합은 미디얼이고 그것들에 의해 둘러싸인 직사각형도 미디얼이면서 여전히 그것들 위의 정사각형들의 합과 통약할 수 없도록 더해진다면, 전체 직선은 무리적이며, 그것은 두 미디얼인 넓이를 제곱하는 선이라 불리도록 하자.
Συγκείσθωσαν γὰρ δύο εὐθεῖαι δυνάμει ἀσύμμετροι αἱ ΑΒ, ΒΓ ποιοῦσαι τὰ προκείμενα·
실제로 제곱에서 통약할 수 없는 두 직선 AB, BC가 위의 조건들을 만족하도록 더해져 있다고 하자.
λέγω, ὅτι ἡ ΑΓ ἄλογός ἐστιν.
나는 AC가 무리적임을 주장한다.
Ἐκκείσθω ῥητὴ ἡ ΔΕ, καὶ παραβεβλήσθω παρὰ τὴν ΔΕ τοῖς μὲν ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ ἴσον τὸ ΔΖ, τῷ δὲ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ ἴσον τὸ ΗΘ·
유리직선 DE가 주어져 있다고 하고, DE에 적용하여 AB, BC 위의 정사각형들의 합과 같은 직사각형 DZ를, 그리고 두 배의 AB, BC에 의해 둘러싸인 직사각형과 같은 직사각형 HTh를 적용하도록 하자.
ὅλον ἄρα τὸ ΔΘ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΓ τετραγώνῳ.
따라서 전체 DTh는 AC 위의 정사각형과 같다.
καὶ ἐπεὶ μέσον ἐστὶ τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ, καί ἐστιν ἴσον τῷ ΔΖ, μέσον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ΔΖ. καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΔΕ παράκειται·
그리고 AB, BC 위의 정사각형들의 합은 미디얼이고, 또한 그것은 DZ와 같으므로, 따라서 DZ 역시 미디얼이다. 그리고 그것은 유리직선 DE에 적용되어 있다.
ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΔΗ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΔΕ μήκει.
따라서 DH는 유리직선이며 DE와 길이에서 통약할 수 없다.
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΗΚ ῥητή ἐστι καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΗΖ, τουτέστι τῇ ΔΕ, μήκει.
똑같은 이유로 HK 역시 유리직선이며 HZ, 즉 DE와 길이에서 통약할 수 없다.
καὶ ἐπεὶ ἀσύμμετρά ἐστι τὰ ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ, ἀσύμμετρόν ἐστι τὸ ΔΖ τῷ ΗΘ·
그리고 AB, BC 위의 정사각형들의 합은 두 배의 AB, BC에 의해 둘러싸인 직사각형과 통약할 수 없으므로, DZ는 HTh와 통약할 수 없다.
ὥστε καὶ ἡ ΔΗ τῇ ΗΚ ἀσύμμετρός ἐστιν.
그러므로 DH 역시 HK와 통약할 수 없다.
καί εἰσι ῥηταί·
그리고 그것들은 유리적이다.
αἱ ΔΗ, ΗΚ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι·
따라서 DH, HK는 제곱에서만 통약할 수 있는 유리직선이다.
ἄλογος ἄρα ἐστὶν ἡ ΔΚ ἡ καλουμένη ἐκ δύο ὀνομάτων.
그러므로 이항선이라 불리는 DK는 무리적이다.
ῥητὴ δὲ ἡ ΔΕ·
그런데 DE는 유리적이다.
ἄλογον ἄρα ἐστὶ τὸ ΔΘ καὶ ἡ δυναμένη αὐτὸ ἄλογός ἐστιν.
따라서 DTh는 무리적이며, 그것을 제곱하는 직선 역시 무리적이다.
δύναται δὲ τὸ ΘΔ ἡ ΑΓ·
그런데 AC는 ThD를 제곱한다.
ἄλογος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΓ, καλείσθω δὲ δύο μέσα δυναμένη.
따라서 AC는 무리직선이며, 그것은 두 미디얼인 넓이를 제곱하는 선이라 불리도록 하자.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 보여야 할 일이었다.
λῆμμα
ὅτι δὲ αἱ εἰρημέναι ἄλογοι μοναχῶς διαιροῦνται εἰς τὰς εὐθείας, ἐξ ὧν σύγκεινται ποιουσῶν τὰ προκείμενα εἴδη, δείξομεν ἤδη προεκθέμενοι λημμάτιον τοιοῦτον·
[보조정리] 그리고 앞에서 말한 무리직선들이 그것들을 구성하고 또한 제시된 형태들을 만드는 직선들로 오직 한 가지 방식으로만 분할된다는 것은, 아래와 같은 작은 보조정리를 먼저 제시한 뒤에 곧바로 증명하도록 하겠다.
Ἐκκείσθω εὐθεῖα ἡ ΑΒ καὶ τετμήσθω ἡ ὅλη εἰς ἄνισα καθʼ ἑκάτερον τῶν Γ, Δ, ὑποκείσθω δὲ μείζων ἡ ΑΓ τῆς ΔΒ·
직선 AB가 주어져 있다고 하고, 전체가 C, D 각각에서 서로 같지 않게 분할된다고 하고, AC가 DB보다 크다고 가정하자.
λέγω, ὅτι τὰ ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ μείζονά ἐστι τῶν ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ.
τετμήσθω γὰρ ἡ ΑΒ δίχα κατὰ τὸ Ε. καὶ ἐπεὶ μείζων ἐστὶν ἡ ΑΓ τῆς ΔΒ, κοινὴ ἀφῃρήσθω ἡ ΔΓ·
나는 AC, CB 위의 정사각형들의 합이 AD, DB 위의 정사각형들의 합보다 크다는 것을 주장한다. 실제로 AB가 E에서 이등분된다고 하자. 그리고 AC가 DB보다 크므로, 공통인 DC를 빼도록 하자.
λοιπὴ ἄρα ἡ ΑΔ λοιπῆς τῆς ΓΒ μείζων ἐστίν.
따라서 남은 AD는 남은 CB보다 크다.
ἴση δὲ ἡ ΑΕ τῇ ΕΒ·
그런데 AE는 EB와 같다.
ἐλάττων ἄρα ἡ ΔΕ τῆς ΕΓ·
따라서 DE는 EC보다 작다.
τὰ Γ, Δ ἄρα σημεῖα οὐκ ἴσον ἀπέχουσι τῆς διχοτομίας.
그러므로 점 C, D는 이등분점으로부터 같은 거리에 있지 않다.
καὶ ἐπεὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΕΓ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΕΒ, ἀλλὰ μὴν καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΔΕ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΕΒ, τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΕΓ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΔΕ·
그리고 AC, CB에 의해 둘러싸인 직사각형에 EC 위의 정사각형을 더한 것은 EB 위의 정사각형과 같고, 또한 AD, DB에 의해 둘러싸인 직사각형에 DE 위의 정사각형을 더한 것 역시 EB 위의 정사각형과 같으므로, 따라서 AC, CB에 의해 둘러싸인 직사각형에 EC 위의 정사각형을 더한 것은 AD, DB에 의해 둘러싸인 직사각형에 DE 위의 정사각형을 더한 것과 같다.
ὧν τὸ ἀπὸ τῆς ΔΕ ἔλασσόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΕΓ·
이것들 중 DE 위의 정사각형은 EC 위의 정사각형보다 작다.
καὶ λοιπὸν ἄρα τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ ἔλασσόν ἐστι τοῦ ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ. ὥστε καὶ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ ἔλασσόν ἐστι τοῦ δὶς ὑπὸ ΑΔ, ΔΒ. καὶ λοιπὸν ἄρα τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ μεῖζόν ἐστι τοῦ συγκειμένου ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ·
따라서 남은 AC, CB에 의해 둘러싸인 직사각형은 AD, DB에 의해 둘러싸인 직사각형보다 작다. 그러므로 두 배의 AC, CB에 의해 둘러싸인 직사각형 역시 두 배의 AD, DB에 의해 둘러싸인 직사각형보다 작다. 따라서 남은 AC, CB 위의 정사각형들의 합은 AD, DB 위의 정사각형들의 합보다 크다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 보여야 할 일이었다.