§10.prop1.17ἐὰν ὦσι δύο εὐθεῖαι ἄνισοι, τῷ δὲ τετάρτῳ μέρει τοῦ ἀπὸ τῆς ἐλάσσονος ἴσον παρὰ τὴν μείζονα παραβληθῇ ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ καὶ εἰς σύμμετρα αὐτὴν διαιρῇ μήκει, ἡ μείζων τῆς ἐλάσσονος μεῖζον δυνήσεται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ.
もし2つの不等な直線があり、短い方の上の正方形の4分の1に等しい平行四辺形が、長い方に沿って、正方形の形で不足するように適用され、かつそれがその長い方を長さにおいて通約可能な部分に分割するならば、長い方は短い方よりも、自身と通約可能な直線上の正方形だけ大きく平方されるであろう。
καὶ ἐὰν ἡ μείζων τῆς ἐλάσσονος μεῖζον δύνηται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ, τῷ δὲ τετάρτῳ τοῦ ἀπὸ τῆς ἐλάσσονος ἴσον παρὰ τὴν μείζονα παραβληθῇ ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ, εἰς σύμμετρα αὐτὴν διαιρεῖ μήκει.
また、もし長い方が短い方よりも、自身と通約可能な直線上の正方形だけ大きく平方され、かつ短い方の上の正方形の4分の1に等しい平行四辺形が、長い方に沿って、正方形の形で不足するように適用されるならば、それはその長い方を長さにおいて通約可能な部分に分割する。
ἔστωσαν δύο εὐθεῖαι ἄνισοι αἱ Α, ΒΓ, ὧν μείζων ἡ ΒΓ, τῷ δὲ τετάρτῳ μέρει τοῦ ἀπὸ τῆς ἐλάσσονος τῆς Α, τουτέστι τῷ ἀπὸ τῆς ἡμισείας τῆς Α, ἴσον παρὰ τὴν ΒΓ παραβεβλήσθω ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ, καὶ ἔστω τὸ ὑπὸ τῶν ΒΔ, ΔΓ, σύμμετρος δὲ ἔστω ἡ ΒΔ τῇ ΔΓ μήκει·
2つの不等な直線Α, ΒΓがあり、それらのうち長い方をΒΓとせよ。 そして、短い方Αの上の正方形の4分の1、すなわちΑの半分の上の正方形に等しい平行四辺形が、ΒΓに沿って、正方形の形で不足するように適用されるものとし、それをΒΔ, ΔΓに挟まれた長方形とせよ。 そして、 ΒΔはΔΓと長さにおいて通約可能であるとせよ。
λέγω, ὅτι ἡ ΒΓ τῆς Α μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ.
私は、ΒΓはΑよりも、自身と通約可能な直線上の正方形だけ大きく平方される、と言う。
τετμήσθω γὰρ ἡ ΒΓ δίχα κατὰ τὸ Ε σημεῖον, καὶ κείσθω τῇ ΔΕ ἴση ἡ ΕΖ. λοιπὴ ἄρα ἡ ΔΓ ἴση ἐστὶ τῇ ΒΖ. καὶ ἐπεὶ εὐθεῖα ἡ ΒΓ τέτμηται εἰς μὲν ἴσα κατὰ τὸ Ε, εἰς δὲ ἄνισα κατὰ τὸ Δ, τὸ ἄρα ὑπὸ ΒΔ, ΔΓ περιεχόμενον ὀρθογώνιον μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΕΔ τετραγώνου ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΕΓ τετραγώνῳ·
なぜなら、ΒΓが点Εにおいて2等分されるものとし、ΔΕに等しいΕΖが置かれるとせよ。 したがって、残りのΔΓは ΒΖに等しい。 そして、直線ΒΓは、Εにおいては等しい部分に、Δにおいては不等な部分に分割されているから、したがってΒΔ, ΔΓに挟まれた長方形とΕΔの上の正方形との和は、ΕΓの上の正方形に等しい。
καὶ τὰ τετραπλάσια·
またそれらの4倍もそうである。
τὸ ἄρα τετράκις ὑπὸ τῶν ΒΔ, ΔΓ μετὰ τοῦ τετραπλασίου τοῦ ἀπὸ τῆς ΔΕ ἴσον ἐστὶ τῷ τετράκις ἀπὸ τῆς ΕΓ τετραγώνῳ.
したがって、ΒΔ, ΔΓに挟まれた長方形の4倍と、ΔΕの上の正方形の4倍との和は、ΕΓの上の正方形の4倍に等しい。
ἀλλὰ τῷ μέν τετραπλασίῳ τοῦ ὑπὸ τῶν ΒΔ, ΔΓ ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς Α τετράγωνον, τῷ δὲ τετραπλασίῳ τοῦ ἀπὸ τῆς ΔΕ ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΔΖ τετράγωνον·
ところが、ΒΔ, ΔΓに挟まれた長方形の4倍にはΑの上の正方形が等しく、ΔΕの上の正方形の4倍にはΔΖの上の正方形が等しい。
διπλασίων γάρ ἐστιν ἡ ΔΖ τῆς ΔΕ. τῷ δὲ τετραπλασίῳ τοῦ ἀπὸ τῆς ΕΓ ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ τετράγωνον·
なぜなら、ΔΖはΔΕの2倍であるからである。 また、 ΕΓの上の正方形の4倍にはΒΓの上の正方形が等しい。
διπλασίων γάρ ἐστι πάλιν ἡ ΒΓ τῆς ΓΕ. τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν Α, ΔΖ τετράγωνα ἴσα ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΒΓ τετραγώνῳ·
なぜなら、やはりΒΓはΓΕの2倍であるからである。 したがって、Α, ΔΖの上の正方形の和はΒΓの上の正方形に等しい。
ὥστε τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ τοῦ ἀπὸ τῆς Α μεῖζόν ἐστι τῷ ἀπὸ τῆς ΔΖ·
そのため、ΒΓの上の正方形はΑの上の正方形よりもΔΖの上の正方形だけ大きい。
ἡ ΒΓ ἄρα τῆς Α μεῖζον δύναται τῇ ΔΖ. δεικτέον, ὅτι καὶ σύμμετρός ἐστιν ἡ ΒΓ τῇ ΔΖ. ἐπεὶ γὰρ σύμμετρός ἐστιν ἡ ΒΔ τῇ ΔΓ μήκει, σύμμετρος ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΒΓ τῇ ΓΔ μήκει.
したがって、ΒΓはΑよりもΔΖだけ平方において大きい。 さて、ΒΓが ΔΖと通約可能であることを示さねばならない。 なぜなら、ΒΔはΔΓと長さにおいて通約可能であるから、したがってΒΓもΓΔと長さにおいて通約可能である。
ἀλλὰ ἡ ΓΔ ταῖς ΓΔ, ΒΖ ἐστι σύμμετρος μήκει·
ところが、ΓΔはΓΔ, ΒΖの和と長さにおいて通約可能である。
ἴση γάρ ἐστιν ἡ ΓΔ τῇ ΒΖ. καὶ ἡ ΒΓ ἄρα σύμμετρός ἐστι ταῖς ΒΖ, ΓΔ μήκει·
なぜなら、ΓΔはΒΖに等しいからである。 したがって、ΒΓもΒΖ, ΓΔの和と長さにおいて通約可能である。
ὥστε καὶ λοιπῇ τῇ ΖΔ σύμμετρός ἐστιν ἡ ΒΓ μήκει·
そのため、残りのΖΔとも ΒΓは長さにおいて通約可能である。
ἡ ΒΓ ἄρα τῆς Α μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ.
したがって、ΒΓはΑよりも、自身と通約可能な直線上の正方形だけ大きく平方される。
ἀλλὰ δὴ ἡ ΒΓ τῆς Α μεῖζον δυνάσθω τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ, τῷ δὲ τετάρτῳ τοῦ ἀπὸ τῆς Α ἴσον παρὰ τὴν ΒΓ παραβεβλήσθω ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ, καὶ ἔστω τὸ ὑπὸ τῶν ΒΔ, ΔΓ. δεικτέον, ὅτι σύμμετρός ἐστιν ἡ ΒΔ τῇ ΔΓ μήκει.
しかし今、ΒΓはΑよりも、自身と通約可能な直線上の正方形だけ大きく平方されるとせよ。 そして、Αの上の正方形の4分の1に等しい平行四辺形が、ΒΓに沿って、正方形の形で不足するように適用されるものとし、それを ΒΔ, ΔΓに挟まれた長方形とせよ。 ΒΔはΔΓと長さにおいて通約可能であることを示さねばならない。
τῶν γὰρ αὐτῶν κατασκευασθέντων ὁμοίως δείξομεν, ὅτι ἡ ΒΓ τῆς Α μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ τῆς ΖΔ. δύναται δὲ ἡ ΒΓ τῆς Α μεῖζον τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ.
なぜなら、同じように作図すれば、同様にして、ΒΓはΑよりもΖΔの上の正方形だけ大きく平方されることが示されるからである。 ところが、ΒΓはΑよりも、自身と通約可能な直線上の正方形だけ大きく平方される。
σύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΓ τῇ ΖΔ μήκει·
したがって、 ΒΓはΖΔと長さにおいて通約可能である。
ὥστε καὶ λοιπῇ συναμφοτέρῳ τῇ ΒΖ, ΔΓ σύμμετρός ἐστιν ἡ ΒΓ μήκει.
そのため、残りのΒΖ, ΔΓの和ともΒΓは長さにおいて通約可能である。
ἀλλὰ συναμφότερος ἡ ΒΖ, ΔΓ σύμμετρός ἐστι τῇ ΔΓ.
ところが、ΒΖ, ΔΓの和はΔΓと通約可能である。
ὥστε καὶ ἡ ΒΓ τῇ ΓΔ σύμμετρός ἐστι μήκει·
したがって、ΒΓもΓΔと長さにおいて通約可能である。
καὶ διελόντι ἄρα ἡ ΒΔ τῇ ΔΓ ἐστι σύμμετρος μήκει.
それゆえ、比を分ければ、ΒΔもΔΓと長さにおいて通約可能である。
ἐὰν ἄρα ὦσι δύο εὐθεῖαι ἄνισοι, καὶ τὰ ἑξῆς.
したがって、もし2つの不等な直線があり、およびその後に続くもの。