§10.prop1.17ἐὰν ὦσι δύο εὐθεῖαι ἄνισοι, τῷ δὲ τετάρτῳ μέρει τοῦ ἀπὸ τῆς ἐλάσσονος ἴσον παρὰ τὴν μείζονα παραβληθῇ ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ καὶ εἰς σύμμετρα αὐτὴν διαιρῇ μήκει, ἡ μείζων τῆς ἐλάσσονος μεῖζον δυνήσεται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ.
만일 두지 않은 직선이 있고, 짧은 쪽 위의 정사각형의 4분의 1과 같은 평행사변형이 긴 쪽에 대고 정사각형 모양만큼 부족하게 붙여지며 그것이 그 긴 쪽을 길이에서 통약가능한 부분들로 나눈다면, 긴 쪽은 짧은 쪽보다 자신과 통약가능한 직선 위의 정사각형만큼 더 크게 평방될 것이다.
καὶ ἐὰν ἡ μείζων τῆς ἐλάσσονος μεῖζον δύνηται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ, τῷ δὲ τετάρτῳ τοῦ ἀπὸ τῆς ἐλάσσονος ἴσον παρὰ τὴν μείζονα παραβληθῇ ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ, εἰς σύμμετρα αὐτὴν διαιρεῖ μήκει.
그리고 만일 긴 쪽이 짧은 쪽보다 자신과 통약가능한 직선 위의 정사각형만큼 더 크게 평방되고, 짧은 쪽 위의 정사각형의 4분의 1과 같은 평행사변형이 긴 쪽에 대고 정사각형 모양만큼 부족하게 붙여진다면, 그것은 그 긴 쪽을 길이에서 통약가능한 부분들로 나눈다.
ἔστωσαν δύο εὐθεῖαι ἄνισοι αἱ Α, ΒΓ, ὧν μείζων ἡ ΒΓ, τῷ δὲ τετάρτῳ μέρει τοῦ ἀπὸ τῆς ἐλάσσονος τῆς Α, τουτέστι τῷ ἀπὸ τῆς ἡμισείας τῆς Α, ἴσον παρὰ τὴν ΒΓ παραβεβλήσθω ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ, καὶ ἔστω τὸ ὑπὸ τῶν ΒΔ, ΔΓ, σύμμετρος δὲ ἔστω ἡ ΒΔ τῇ ΔΓ μήκει·
두 개의 서로 다른 직선 Α, ΒΓ가 있고, 그것들 중 긴 쪽을 ΒΓ라 하자. 그리고 짧은 쪽 Α 위의 정사각형의 4분의 1, 즉 Α의 절반 위의 정사각형과 같은 평행사변형이 ΒΓ에 대고 정사각형 모양만큼 부족하게 붙여졌다고 하고, 그것을 ΒΔ, ΔΓ로 둘러싸인 직사각형이라 하자. 그리고 ΒΔ는 ΔΓ와 길이에서 통약가능하다고 하자.
λέγω, ὅτι ἡ ΒΓ τῆς Α μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ.
나는 ΒΓ가 Α보다 자신과 통약가능한 직선 위의 정사각형만큼 더 크게 평방된다고 말한다.
τετμήσθω γὰρ ἡ ΒΓ δίχα κατὰ τὸ Ε σημεῖον, καὶ κείσθω τῇ ΔΕ ἴση ἡ ΕΖ. λοιπὴ ἄρα ἡ ΔΓ ἴση ἐστὶ τῇ ΒΖ. καὶ ἐπεὶ εὐθεῖα ἡ ΒΓ τέτμηται εἰς μὲν ἴσα κατὰ τὸ Ε, εἰς δὲ ἄνισα κατὰ τὸ Δ, τὸ ἄρα ὑπὸ ΒΔ, ΔΓ περιεχόμενον ὀρθογώνιον μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΕΔ τετραγώνου ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΕΓ τετραγώνῳ·
왜냐하면 ΒΓ가 점 Ε에서 이등분된다고 하고, ΔΕ와 같은 ΕΖ를 놓자. 그러므로 남은 ΔΓ는 ΒΖ와 같다. 그리고 직선 ΒΓ는 Ε에서 등분되었고, Δ에서 부등분되었으므로, ΒΔ, ΔΓ로 둘러싸인 직사각형과 ΕΔ 위의 정사각형의 합은 ΕΓ 위의 정사각형과 같다.
καὶ τὰ τετραπλάσια·
그리고 그것들의 네 배도 같다.
τὸ ἄρα τετράκις ὑπὸ τῶν ΒΔ, ΔΓ μετὰ τοῦ τετραπλασίου τοῦ ἀπὸ τῆς ΔΕ ἴσον ἐστὶ τῷ τετράκις ἀπὸ τῆς ΕΓ τετραγώνῳ.
그러므로 ΒΔ, ΔΓ로 둘러싸인 직사각형의 네 배와 ΔΕ 위의 정사각형의 네 배의 합은 ΕΓ 위의 정사각형의 네 배와 같다.
ἀλλὰ τῷ μέν τετραπλασίῳ τοῦ ὑπὸ τῶν ΒΔ, ΔΓ ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς Α τετράγωνον, τῷ δὲ τετραπλασίῳ τοῦ ἀπὸ τῆς ΔΕ ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΔΖ τετράγωνον·
그런데 ΒΔ, ΔΓ로 둘러싸인 직사각형의 네 배에는 Α 위의 정사각형이 같고, ΔΕ 위의 정사각형의 네 배에는 ΔΖ 위의 정사각형이 같다.
διπλασίων γάρ ἐστιν ἡ ΔΖ τῆς ΔΕ. τῷ δὲ τετραπλασίῳ τοῦ ἀπὸ τῆς ΕΓ ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ τετράγωνον·
왜냐하면 ΔΖ는 ΔΕ의 두 배이기 때문이다. 그리고 ΕΓ 위의 정사각형의 네 배에는 ΒΓ 위의 정사각형이 같다.
διπλασίων γάρ ἐστι πάλιν ἡ ΒΓ τῆς ΓΕ. τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν Α, ΔΖ τετράγωνα ἴσα ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΒΓ τετραγώνῳ·
왜냐하면 다시 ΒΓ는 ΓΕ의 두 배이기 때문이다. 그러므로 Α, ΔΖ 위의 정사각형들의 합은 ΒΓ 위의 정사각형과 같다.
ὥστε τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ τοῦ ἀπὸ τῆς Α μεῖζόν ἐστι τῷ ἀπὸ τῆς ΔΖ·
그래서 ΒΓ 위의 정사각형은 Α 위의 정사각형보다 ΔΖ 위의 정사각형만큼 더 크다.
ἡ ΒΓ ἄρα τῆς Α μεῖζον δύναται τῇ ΔΖ. δεικτέον, ὅτι καὶ σύμμετρός ἐστιν ἡ ΒΓ τῇ ΔΖ. ἐπεὶ γὰρ σύμμετρός ἐστιν ἡ ΒΔ τῇ ΔΓ μήκει, σύμμετρος ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΒΓ τῇ ΓΔ μήκει.
그러므로 ΒΓ는 Α보다 ΔΖ만큼 더 크게 평방된다. 이제 ΒΓ가 ΔΖ와 통약가능하다는 것도 보여야 한다. 왜냐하면 ΒΔ는 ΔΓ와 길이에서 통약가능하므로, 따라서 ΒΓ도 ΓΔ와 길이에서 통약가능하다.
ἀλλὰ ἡ ΓΔ ταῖς ΓΔ, ΒΖ ἐστι σύμμετρος μήκει·
그런데 ΓΔ는 ΓΔ, ΒΖ의 합과 길이에서 통약가능하다.
ἴση γάρ ἐστιν ἡ ΓΔ τῇ ΒΖ. καὶ ἡ ΒΓ ἄρα σύμμετρός ἐστι ταῖς ΒΖ, ΓΔ μήκει·
왜냐하면 ΓΔ는 ΒΖ와 같기 때문이다. 그러므로 ΒΓ도 ΒΖ, ΓΔ의 합과 길이에서 통약가능하다.
ὥστε καὶ λοιπῇ τῇ ΖΔ σύμμετρός ἐστιν ἡ ΒΓ μήκει·
그래서 남은 ΖΔ와도 ΒΓ는 길이에서 통약가능하다.
ἡ ΒΓ ἄρα τῆς Α μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ.
그러므로 ΒΓ는 Α보다 자신과 통약가능한 직선 위의 정사각형만큼 더 크게 평방된다.
ἀλλὰ δὴ ἡ ΒΓ τῆς Α μεῖζον δυνάσθω τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ, τῷ δὲ τετάρτῳ τοῦ ἀπὸ τῆς Α ἴσον παρὰ τὴν ΒΓ παραβεβλήσθω ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ, καὶ ἔστω τὸ ὑπὸ τῶν ΒΔ, ΔΓ. δεικτέον, ὅτι σύμμετρός ἐστιν ἡ ΒΔ τῇ ΔΓ μήκει.
그러나 이제 ΒΓ가 Α보다 자신과 통약가능한 직선 위의 정사각형만큼 더 크게 평방된다고 하자. 그리고 Α 위의 정사각형의 4분의 1과 같은 평행사변형이 ΒΓ에 대고 정사각형 모양만큼 부족하게 붙여졌다고 하고, 그것을 ΒΔ, ΔΓ로 둘러싸인 직사각형이라 하자. 이제 ΒΔ가 ΔΓ와 길이에서 통약가능하다는 것을 보여야 한다.
τῶν γὰρ αὐτῶν κατασκευασθέντων ὁμοίως δείξομεν, ὅτι ἡ ΒΓ τῆς Α μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ τῆς ΖΔ. δύναται δὲ ἡ ΒΓ τῆς Α μεῖζον τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ.
왜냐하면 같은 작도를 하면, 마찬가지로 ΒΓ가 Α보다 ΖΔ 위의 정사각형만큼 더 크게 평방된다는 것을 보일 수 있기 때문이다. 그런데 ΒΓ는 Α보다 자신과 통약가능한 직선 위의 정사각형만큼 더 크게 평방된다.
σύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΓ τῇ ΖΔ μήκει·
그러므로 ΒΓ는 ΖΔ와 길이에서 통약가능하다.
ὥστε καὶ λοιπῇ συναμφοτέρῳ τῇ ΒΖ, ΔΓ σύμμετρός ἐστιν ἡ ΒΓ μήκει.
그래서 남은 ΒΖ, ΔΓ의 합과도 ΒΓ는 길이에서 통약가능하다.
ἀλλὰ συναμφότερος ἡ ΒΖ, ΔΓ σύμμετρός ἐστι τῇ ΔΓ.
그런데 ΒΖ, ΔΓ의 합은 ΔΓ와 통약가능하다.
ὥστε καὶ ἡ ΒΓ τῇ ΓΔ σύμμετρός ἐστι μήκει·
그래서 ΒΓ도 ΓΔ와 길이에서 통약가능하다.
καὶ διελόντι ἄρα ἡ ΒΔ τῇ ΔΓ ἐστι σύμμετρος μήκει.
그러므로 비를 나누면, ΒΔ도 ΔΓ와 길이에서 통약가능하다.
ἐὰν ἄρα ὦσι δύο εὐθεῖαι ἄνισοι, καὶ τὰ ἑξῆς.
그러므로 만일 두지 않은 직선이 있고, 그리고 그 이하의 것들.