エウクレイデス · 原論 §10.prop1.14

比例する4直線の平方の差と通約可能性

170 / 316 箇所 · ギリシア語

要旨

比例関係にある4つの直線について、第1の直線が第2の直線よりも、自身と通約可能な（または不可能な）直線の平方（上の正方形）だけ大きく平方されうるならば、第3の直線も第4の直線に対して同様の性質をもつことを幾何学的に証明する。

§10.prop1.14ἐὰν τέσσαρες εὐθεῖαι ἀνάλογον ὦσιν, δύνηται δὲ ἡ πρώτη τῆς δευτέρας μεῖζον τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ, καὶ ἡ τρίτη τῆς τετάρτης μεῖζον δυνήσεται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ.

もし4つの直線が比例し、第一のものが第二のものより、自身と通約可能な［直線］の平方によって大きく平方されうるならば、第三のものも第四のものより、自身と通約可能な［直線］の平方によって大きく平方されうるであろう。

καὶ ἐὰν ἡ πρώτη τῆς δευτέρας μεῖζον δύνηται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ, καὶ ἡ τρίτη τῆς τετάρτης μεῖζον δυνήσεται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ.

そして、もし第一のものが第二のものより、自身と通約不可能な［直線］の平方によって大きく平方されうるならば、第三のものも第四のものより、自身と通約不可能な［直線］の平方によって大きく平方されうるであろう。

ἔστωσαν τέσσαρες εὐθεῖαι ἀνάλογον αἱ Α, Β, Γ, Δ, ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Β, οὕτως ἡ Γ πρὸς τὴν Δ, καὶ ἡ Α μὲν τῆς β μεῖζον δυνάσθω τῷ ἀπὸ τῆς Ε, ἡ δὲ Γ τῆς Δ μεῖζον δυνάσθω τῷ ἀπὸ τῆς Ζ·

比例する4つの直線をΑ, Β, Γ, Δとし、ΑがΒに対するように、そのようにΓがΔに対するものとせよ。そして、Αは ΒよりもΕの平方によって大きく平方され、ΓはΔよりもΖの平方によって大きく平方されるとせよ。

λέγω, ὅτι, εἴτε σύμμετρός ἐστιν ἡ Α τῇ Ε, σύμμετρός ἐστι καὶ ἡ Γ τῇ Ζ, εἴτε ἀσύμμετρός ἐστιν ἡ Α τῇ Ε, ἀσύμμετρός ἐστι καὶ ἡ Γ τῇ Ζ. ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Β, οὕτως ἡ Γ πρὸς τὴν Δ, ἔστιν ἄρα καὶ ὡς τὸ ἀπὸ τῆς Α πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Β, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς Γ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Δ. ἀλλὰ τῷ μὲν ἀπὸ τῆς Α ἴσα ἐστὶ τὰ ἀπὸ τῶν Ε, Β, τῷ δὲ ἀπὸ τῆς Γ ἴσα ἐστὶ τὰ ἀπὸ τῶν Δ, Ζ. ἔστιν ἄρα ὡς τὰ ἀπὸ τῶν Ε, Β πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Β, οὕτως τὰ ἀπὸ τῶν Δ, Ζ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Δ·

私は、ΑがΕと通約可能であれば、ΓもΖと通約可能であり、ΑがΕと通約不可能であれば、ΓもΖと通約不可能である、と言う。なぜなら、ΑがΒに対するように、そのようにΓがΔに対するのであるから、したがって、Αの平方（上の正方形）がΒの平方に対するように、そのようにΓの平方がΔの平方に対する。しかし、Αの平方には、Ε, Βの平方が等しく、Γの平方には、 Δ, Ζの平方が等しい。したがって、Ε, Βの平方の和がΒの平方に対するように、そのようにΔ, Ζの平方の和がΔの平方に対する。

διελόντι ἄρα ἐστὶν ὡς τὸ ἀπὸ τῆς Ε πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Β, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς Ζ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Δ·

したがって、比を分けると（分比比例により）、Εの平方がΒの平方に対するように、そのようにΖの平方がΔの平方に対する。

ἔστιν ἄρα καὶ ὡς ἡ Ε πρὸς τὴν Β, οὕτως ἡ Ζ πρὸς τὴν Δ·

したがってまた、 ΕがΒに対するように、そのようにΖがΔに対する。

ἀνάπαλιν ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ Β πρὸς τὴν Ε, οὕτως ἡ Δ πρὸς τὴν Ζ. ἔστι δὲ καὶ ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Β, οὕτως ἡ Γ πρὸς τὴν Δ· διʼ ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Ε, οὕτως ἡ Γ πρὸς τὴν Ζ. εἴτε οὖν σύμμετρός ἐστιν ἡ Α τῇ Ε, σύμμετρός ἐστι καὶ ἡ Γ τῇ Ζ, εἴτε ἀσύμμετρός ἐστιν ἡ Α τῇ Ε, ἀσύμμετρός ἐστι καὶ ἡ Γ τῇ Ζ. ἐὰν ἄρα, καὶ τὰ ἑξῆς.

したがって、逆にすると、ΒがΕに対するように、そのようにΔがΖに対する。そして、ΑがΒに対するように、そのようにΓがΔに対するのであるから、したがって、等比より（等比比例により）、ΑがΕに対するように、そのようにΓがΖに対する。したがって、もしΑがΕと通約可能であれば、Γも Ζと通約可能であり、もしΑがΕと通約不可能であれば、ΓもΖと通約不可能である。したがって、もし〜ならば、およびその後に続くもの。

語釈・文法注

§10.prop1.14δύνηται δὲ ἡ πρώτη τῆς δευτέρας μεῖζον τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ — 「第一のものが第二のものより、自身と通約可能な［直線］の平方によって大きく平方されうる」の意。動詞 δύναμαι（〜を平方において可能にする、平方される）は、2つの線分 $x, y$ とその差の平方をなす線分 $z$ に対し $x^2 = y^2 + z^2$ の関係が成り立つことを指し、ここでは $x$（第一の直線）と $z$ が通約可能であることを示す。与格句 τῷ ἀπὸ ... は「〜からの（正方形）によって」という差の程度を表す。
§10.prop1.14διελόντι — 「比を分けると」、すなわち分比比例（separando）による。比 $a:b = c:d$ から $(a-b):b = (c-d):d$ を導く比例式変形操作を指す。ここでは $(E^2 + B^2) : B^2 = (Δ^2 + Z^2) : Δ^2$ から $E^2 : B^2 = Z^2 : Δ^2$ を導き出すために用いられている。
§10.prop1.14διʼ ἴσου — 「等比より」、すなわち等比比例（ex aequali）による。比の列 $a:b = d:e$ および $b:c = e:f$ から、中間の項を抜いて $a:c = d:f$ を導く操作。ここでは $A:B = Γ:Δ$ と $B:E = Δ:Z$ から $A:E = Γ:Z$ を導いている。

この箇所を引用する

エウクレイデス, 原論 §10.prop1.14. Humanitext Reader, https://reader.humanitext.ai/text/urn:cts:greekLit:tlg1799.tlg001.humanitext-grc2:10.prop1.14

AIによる草稿訳である旨と閲覧日を添えてください。

訳文・注・要旨はAIによる草稿で、読者の指摘により改訂されています。