에우클레이데스 · 기하학 원론 §10.prop1.14

비례하는 네 직선의 제곱의 차와 통약가능성

316개 구절 중 170번째 · 그리스어

요약

비례하는 네 직선에 대하여, 첫째 직선이 둘째 직선보다 자신과 통약가능한(또는 불가능한) 직선의 제곱만큼 더 크게 제곱될 수 있다면, 셋째 직선도 넷째 직선에 대하여 같은 성질을 가짐을 기하학적으로 증명한다.

§10.prop1.14ἐὰν τέσσαρες εὐθεῖαι ἀνάλογον ὦσιν, δύνηται δὲ ἡ πρώτη τῆς δευτέρας μεῖζον τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ, καὶ ἡ τρίτη τῆς τετάρτης μεῖζον δυνήσεται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ.

만일 네 직선이 비례하고, 첫째 직선이 둘째 직선보다 자신과 통약가능한 직선의 제곱만큼 더 크게 제곱될 수 있다면, 셋째 직선도 넷째 직선보다 자신과 통약가능한 직선의 제곱만큼 더 크게 제곱될 수 있을 것이다.

καὶ ἐὰν ἡ πρώτη τῆς δευτέρας μεῖζον δύνηται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ, καὶ ἡ τρίτη τῆς τετάρτης μεῖζον δυνήσεται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ.

그리고 만일 첫째 직선이 둘째 직선보다 자신과 통약불가능한 직선의 제곱만큼 더 크게 제곱될 수 있다면, 셋째 직선도 넷째 직선보다 자신과 통약불가능한 직선의 제곱만큼 더 크게 제곱될 수 있을 것이다.

ἔστωσαν τέσσαρες εὐθεῖαι ἀνάλογον αἱ Α, Β, Γ, Δ, ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Β, οὕτως ἡ Γ πρὸς τὴν Δ, καὶ ἡ Α μὲν τῆς β μεῖζον δυνάσθω τῷ ἀπὸ τῆς Ε, ἡ δὲ Γ τῆς Δ μεῖζον δυνάσθω τῷ ἀπὸ τῆς Ζ·

비례하는 네 직선을 Α, Β, Γ, Δ라 하고, Α가 Β에 대하는 것과 같이 그렇게 Γ가 Δ에 대한다고 하자. 그리고 Α는 Β보다 Ε의 제곱만큼 더 크게 제곱되고, Γ는 Δ보다 Ζ의 제곱만큼 더 크게 제곱된다고 하자.

λέγω, ὅτι, εἴτε σύμμετρός ἐστιν ἡ Α τῇ Ε, σύμμετρός ἐστι καὶ ἡ Γ τῇ Ζ, εἴτε ἀσύμμετρός ἐστιν ἡ Α τῇ Ε, ἀσύμμετρός ἐστι καὶ ἡ Γ τῇ Ζ. ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Β, οὕτως ἡ Γ πρὸς τὴν Δ, ἔστιν ἄρα καὶ ὡς τὸ ἀπὸ τῆς Α πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Β, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς Γ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Δ. ἀλλὰ τῷ μὲν ἀπὸ τῆς Α ἴσα ἐστὶ τὰ ἀπὸ τῶν Ε, Β, τῷ δὲ ἀπὸ τῆς Γ ἴσα ἐστὶ τὰ ἀπὸ τῶν Δ, Ζ. ἔστιν ἄρα ὡς τὰ ἀπὸ τῶν Ε, Β πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Β, οὕτως τὰ ἀπὸ τῶν Δ, Ζ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Δ·

나는, Α가 Ε와 통약가능하면 Γ도 Ζ와 통약가능하고, Α가 Ε와 통약불가능하면 Γ도 Ζ와 통약불가능하다고 말한다. 왜냐하면 Α가 Β에 대하는 것과 같이 그렇게 Γ가 Δ에 대하므로, 따라서 Α 위의 정사각형이 Β 위의 정사각형에 대하는 것과 같이 그렇게 Γ 위의 정사각형도 Δ 위의 정사각형에 대한다. 그런데 Α 위의 정사각형에는 Ε, Β 위의 정사각형들의 합이 같고, Γ 위의 정사각형에는 Δ, Ζ 위의 정사각형들의 합이 같다. 그러므로 Ε, Β 위의 정사각형들의 합이 Β 위의 정사각형에 대하는 것과 같이 그렇게 Δ, Ζ 위의 정사각형들의 합이 Δ 위의 정사각형에 대한다.

διελόντι ἄρα ἐστὶν ὡς τὸ ἀπὸ τῆς Ε πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Β, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς Ζ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Δ·

그러므로 비를 나누면, Ε 위의 정사각형이 Β 위의 정사각형에 대하는 것과 같이 그렇게 Ζ 위의 정사각형이 Δ 위의 정사각형에 대한다.

ἔστιν ἄρα καὶ ὡς ἡ Ε πρὸς τὴν Β, οὕτως ἡ Ζ πρὸς τὴν Δ·

그러므로 또한 Ε가 Β에 대하는 것과 같이 그렇게 Ζ가 Δ에 대한다.

ἀνάπαλιν ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ Β πρὸς τὴν Ε, οὕτως ἡ Δ πρὸς τὴν Ζ. ἔστι δὲ καὶ ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Β, οὕτως ἡ Γ πρὸς τὴν Δ· διʼ ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Ε, οὕτως ἡ Γ πρὸς τὴν Ζ. εἴτε οὖν σύμμετρός ἐστιν ἡ Α τῇ Ε, σύμμετρός ἐστι καὶ ἡ Γ τῇ Ζ, εἴτε ἀσύμμετρός ἐστιν ἡ Α τῇ Ε, ἀσύμμετρός ἐστι καὶ ἡ Γ τῇ Ζ. ἐὰν ἄρα, καὶ τὰ ἑξῆς.

그러므로 반대로 하면, Β가 Ε에 대하는 것과 같이 그렇게 Δ가 Ζ에 대한다. 그런데 Α가 Β에 대하는 것과 같이 그렇게 Γ가 Δ에 대하므로, 그러므로 등비에 의해, Α가 Ε에 대하는 것과 같이 그렇게 Γ가 Ζ에 대한다. 그러므로 만일 Α가 Ε와 통약가능하면 Γ도 Ζ와 통약가능하고, 만일 Α가 Ε와 통약불가능하면 Γ도 Ζ와 통약불가능하다. 그러므로 만일 ~라면, 그리고 그 이하의 것들.

어휘·문법 주석

§10.prop1.14δύνηται δὲ ἡ πρώτη τῆς δευτέρας μεῖζον τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ — "첫째 직선이 둘째 직선보다 자신과 통약가능한 직선의 제곱만큼 더 크게 제곱될 수 있다"라는 뜻이다. 동사 δύναμαι(제곱으로 가능하다)는 두 선분 $x, y$와 그 제곱의 차를 나타내는 선분 $z$에 대해 $x^2 = y^2 + z^2$의 관계가 성립함을 가리키며, 여기서는 $x$(첫째 직선)와 $z$가 통약가능함을 의미한다. 여격 구문 τῷ ἀπὸ ...는 제곱들의 차이의 정도를 나타낸다.
§10.prop1.14διελόντι — "비를 나누면", 즉 분비비례(separando)를 뜻한다. 비 $a:b = c:d$로부터 $(a-b):b = (c-d):d$를 이끌어내는 비례식 변형 조작을 가리킨다. 여기서는 $(E^2 + B^2) : B^2 = (Δ^2 + Z^2) : Δ^2$로부터 $E^2 : B^2 = Z^2 : Δ^2$를 유도하는 데 쓰였다.
§10.prop1.14διʼ ἴσου — "등비에 의해", 즉 등비비례(ex aequali)를 뜻한다. 비의 열 $a:b = d:e$ 및 $b:c = e:f$로부터 중간 항을 제외하고 $a:c = d:f$를 이끌어내는 조작이다. 여기서는 $A:B = Γ:Δ$와 $B:E = Δ:Z$로부터 $A:E = Γ:Z$를 유도하는 데 쓰였다.

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에우클레이데스, 기하학 원론 §10.prop1.14. Humanitext Reader, https://reader.humanitext.ai/ko/text/urn:cts:greekLit:tlg1799.tlg001.humanitext-grc2:10.prop1.14

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