§10.prop1.10τῇ προτεθείσῃ εὐθείᾳ προσευρεῖν δύο εὐθείας ἀσυμμέτρους, τὴν μὲν μήκει μόνον, τὴν δὲ καὶ δυνάμει.
주어진 직선에 대하여 서로 통약불가능한 두 직선을 더 찾아내는 것, 하나는 길이로만, 다른 하나는 제곱으로도 [통약불가능한 것].
ἔστω ἡ προτεθεῖσα εὐθεῖα ἡ Α·
주어진 직선이 Α라 하자.
δεῖ δὴ τῇ Α προσευρεῖν δύο εὐθείας ἀσυμμέτρους, τὴν μὲν μήκει μόνον, τὴν δὲ καὶ δυνάμει.
Α에 대하여 서로 통약불가능한 두 직선을 더 찾아내어야 한다. 하나는 길이로만, 다른 하나는 제곱으로도 [통약불가능한 것이다].
Ἐκκείσθωσαν γὰρ δύο ἀριθμοὶ οἱ Β, Γ πρὸς ἀλλήλους λόγον μὴ ἔχοντες, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν, τουτέστι μὴ ὅμοιοι ἐπίπεδοι, καὶ γεγονέτω ὡς ὁ Β πρὸς τὸν Γ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς Α τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Δ τετράγωνον·
왜냐하면 서로에 대하여 제곱수가 제곱수에 대하여 가지는 비를 가지지 않는, 즉 닮은 평면수가 아닌 두 수 Β, Γ가 놓여 있다고 하자. 그리고 Β가 Γ에 대하는 것과 같이, 그렇게 Α 위의 정사각형이 Δ 위의 정사각형에 대하도록 만들어졌다고 하자.
ἐμάθομεν γάρ·
왜냐하면 우리는 [그 방법을] 배웠기 때문이다.
σύμμετρον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς Α τῷ ἀπὸ τῆς Δ. καὶ ἐπεὶ ὁ Β πρὸς τὸν Γ λόγον οὐκ ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν, οὐδʼ ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς Α πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Δ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν·
그러므로 Α 위의 정사각형은 Δ 위의 정사각형과 통약가능하다. 그리고 Β가 Γ에 대하여 제곱수가 제곱수에 대하여 가지는 비를 가지지 않으므로, 따라서 Α 위의 정사각형도 Δ 위의 정사각형에 대하여 제곱수가 제곱수에 대하여 가지는 비를 가지지 않는다.
ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ Α τῇ Δ μήκει.
그러므로 Α는 Δ와 길이로 통약불가능하다.
εἰλήφθω τῶν Α, Δ μέση ἀνάλογον ἡ Ε·
Α, Δ의 비례중항으로 Ε를 취하자.
ἔστιν ἄρα ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Δ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς Α τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Ε. ἀσύμμετρος δέ ἐστιν ἡ Α τῇ Δ μήκει·
그러므로 Α가 Δ에 대하는 것과 같이, 그렇게 Α 위의 정사각형이 Ε 위의 정사각형에 대한다. 그런데 Α는 Δ와 길이로 통약불가능하다.
ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς Α τετράγωνον τῷ ἀπὸ τῆς Ε τετραγώνῳ·
그러므로 Α 위의 정사각형도 Ε 위의 정사각형과 통약불가능하다.
ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ Α τῇ Ε δυνάμει.
그러므로 Α는 Ε와 제곱으로 통약불가능하다.
τῇ ἄρα προτεθείσῃ εὐθείᾳ τῇ Α προσεύρηνται δύο εὐθεῖαι ἀσύμμετροι αἱ Δ, Ε, μήκει μὲν μόνον ἡ Δ, δυνάμει δὲ καὶ μήκει δηλαδὴ ἡ Ε.
그러므로 주어진 직선 Α에 대하여 서로 통약불가능한 두 직선 Δ, Ε가 더 찾아졌는데, Δ는 길이로만 [통약불가능하고], Ε는 제곱으로도, 그리고 물론 길이로도 [통약불가능하다].
§10.prop1.11ἐὰν τέσσαρα μεγέθη ἀνάλογον ᾖ, τὸ δὲ πρῶτον τῷ δευτέρῳ σύμμετρον ᾖ, καὶ τὸ τρίτον τῷ τετάρτῳ σύμμετρον ἔσται·
만일 네 양이 비례하고, 첫째 양이 둘째 양과 통약가능하다면, 셋째 양도 넷째 양과 통약가능할 것이다.
κἂν τὸ πρῶτον τῷ δευτέρῳ ἀσύμμετρον ᾖ, καὶ τὸ τρίτον τῷ τετάρτῳ ἀσύμμετρον ἔσται.
그리고 만일 첫째 양이 둘째 양과 통약불가능하다면, 셋째 양도 넷째 양과 통약불가능할 것이다.
ἔστωσαν τέσσαρα μεγέθη ἀνάλογον τὰ Α, Β, Γ, Δ, ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Β, οὕτως τὸ Γ πρὸς τὸ Δ, τὸ Α δὲ τῷ Β σύμμετρον ἔστω·
비례하는 네 양을 Α, Β, Γ, Δ라 하고, Α가 Β에 대하는 것과 같이 그렇게 Γ가 Δ에 대한다고 하자. 그리고 Α는 Β와 통약가능하다고 하자.
λέγω, ὅτι καὶ τὸ Γ τῷ Δ σύμμετρον ἔσται.
나는 Γ도 Δ와 통약가능할 것이라고 말한다.
ἐπεὶ γὰρ σύμμετρόν ἐστι τὸ Α τῷ Β, τὸ Α ἄρα πρὸς τὸ Β λόγον ἔχει, ὃν ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμόν.
왜냐하면 Α는 Β와 통약가능하므로, 그러므로 Α는 Β에 대하여 수가 수에 대하여 가지는 비를 가진다.
καί ἐστιν ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Β, οὕτως τὸ Γ πρὸς τὸ Δ·
그리고 Α가 Β에 대하는 것과 같이 그렇게 Γ가 Δ에 대한다.
καὶ τὸ Γ ἄρα πρὸς τὸ Δ λόγον ἔχει, ὃν ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμόν·
그러므로 Γ도 Δ에 대하여 수가 수에 대하여 가지는 비를 가진다.
σύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ Γ τῷ Δ.
ἀλλὰ δὴ τὸ Α τῷ Β ἀσύμμετρον ἔστω·
그러므로 Γ는 Δ와 통약가능하다. 이제 다시 Α가 Β와 통약불가능하다고 하자.
λέγω, ὅτι καὶ τὸ Γ τῷ Δ ἀσύμμετρον ἔσται.
나는 Γ도 Δ와 통약불가능할 것이라고 말한다.
ἐπεὶ γὰρ ἀσύμμετρόν ἐστι τὸ Α τῷ Β, τὸ Α ἄρα πρὸς τὸ Β λόγον οὐκ ἔχει, ὃν ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμόν.
왜냐하면 Α는 Β와 통약불가능하므로, 그러므로 Α는 Β에 대하여 수가 수에 대하여 가지는 비를 가지지 않는다.
καί ἐστιν ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Β, οὕτως τὸ Γ πρὸς τὸ Δ·
그리고 Α가 Β에 대하는 것과 같이 그렇게 Γ가 Δ에 대한다.
οὐδὲ τὸ Γ ἄρα πρὸς τὸ Δ λόγον ἔχει, ὃν ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμόν·
그러므로 Γ도 Δ에 대하여 수가 수에 대하여 가지는 비를 가지지 않는다.
ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ Γ τῷ Δ.
ἐὰν ἄρα τέσσαρα μεγέθη, καὶ τὰ ἑξῆς.
그러므로 Γ는 Δ와 통약불가능하다. 그러므로 만일 네 양이, 그리고 그 이하의 것들