§10.def1.1σύμμετρα μεγέθη λέγεται τὰ τῷ αὐτῷ μέτρῳ μετρούμενα, ἀσύμμετρα δέ, ὧν μηδὲν ἐνδέχεται κοινὸν μέτρον γενέσθαι.
공통척도를 가진 크기들(통약가능한 크기들)은 같은 척도로 측정되는 것들을 말하며, 공통척도를 가지지 않는 크기들(통약불가능한 크기들)은 그것들의 공통된 척도가 전혀 생겨날 수 없는 것들을 말한다.
§10.def1.2εὐθεῖαι δυνάμει σύμμετροί εἰσιν, ὅταν τὰ ἀπʼ αὐτῶν τετράγωνα τῷ αὐτῷ χωρίῳ μετρῆται, ἀσύμμετροι δέ, ὅταν τοῖς ἀπʼ αὐτῶν τετραγώνοις μηδὲν ἐνδέχηται χωρίον κοινὸν μέτρον γενέσθαι.
직선들이 제곱에 있어서 통약가능하다는 것은 그것들로 만들어진 정사각형들이 같은 면적에 의해 측정될 때를 말하며, 제곱에 있어서 통약불가능하다는 것은 그것들로 만들어진 정사각형들의 공통된 척도로서 어떤 면적도 생겨날 수 없을 때를 말한다.
§10.def1.3τούτων ὑποκειμένων δείκνυται, ὅτι τῇ προτεθείσῃ εὐθείᾳ ὑπάρχουσιν εὐθεῖαι πλήθει ἄπειροι σύμμετροί τε καὶ ἀσύμμετροι αἱ μὲν μήκει μόνον, αἱ δὲ καὶ δυνάμει.
이것들이 가정될 때, 제시된 직선에 대하여 개수에 있어서 무한하고 통약가능하거나 통약불가능한 직선들이 존재한다는 것이 증명된다. 그것들은 한편으로는 길이에 있어서만, 다른 한편으로는 제곱에 있어서도 그러하다.
καλείσθω οὖν ἡ μὲν προτεθεῖσα εὐθεῖα ῥητή, καὶ αἱ ταύτῃ σύμμετροι εἴτε μήκει καὶ δυνάμει εἴτε δυνάμει μόνον ῥηταί, αἱ δὲ ταύτῃ ἀσύμμετροι ἄλογοι καλείσθωσαν.
그러므로 제시된 직선은 유리선이라 불려야 하고, 이것과 길이에 있어서나 제곱에 있어서, 혹은 제곱에 있어서만 통약가능한 직선들도 유리선이라 불려야 하며, 이것과 통약불가능한 직선들은 무리선이라 불려야 한다.
§10.def1.4καὶ τὸ μὲν ἀπὸ τῆς προτεθείσης εὐθείας τετράγωνον ῥητόν, καὶ τὰ τούτῳ σύμμετρα ῥητά, τὰ δὲ τούτῳ ἀσύμμετρα ἄλογα καλείσθω, καὶ αἱ δυνάμεναι αὐτὰ ἄλογοι, εἰ μὲν τετράγωνα εἴη, αὐταὶ αἱ πλευραί, εἰ δὲ ἕτερά τινα εὐθύγραμμα, αἱ ἴσα αὐτοῖς τετράγωνα ἀναγράφουσαι.
그리고 제시된 직선으로 만들어진 정사각형은 유리정사각형이라 불려야 하고, 이것과 통약가능한 면적들도 유리면적, 이것과 통약불가능한 면적들은 무리면적이라 불려야 하며, 그것들을 제곱할 수 있는 직선들도 무리선이라 불려야 한다. 만약 그것들이 정사각형이라면 그 변 자체를 말하며, 만약 어떤 다른 직선도형들이라면 그것들과 같은 정사각형들을 그려내는 직선들을 말한다.