§1.prop.9τὴν δοθεῖσαν γωνίαν εὐθύγραμμον δίχα τεμεῖν.
与えられた直線角を二等分すること。
ἔστω ἡ δοθεῖσα γωνία εὐθύγραμμος ἡ ὑπὸ ΒΑΓ. δεῖ δὴ αὐτὴν δίχα τεμεῖν.
与えられた直線角を角ΒΑΓとせよ。 これを二等分しなければならない。
εἰλήφθω ἐπὶ τῆς ΑΒ τυχὸν σημεῖον τὸ Δ, καὶ ἀφῃρήσθω ἀπὸ τῆς ΑΓ τῇ ΑΔ ἴση ἡ ΑΕ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΔΕ, καὶ συνεστάτω ἐπὶ τῆς ΔΕ τρίγωνον ἰσόπλευρον τὸ ΔΕΖ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΖ·
ΑΒ上に任意に点Δを取れ、そして ΑΓからΑΔに等しいΑΕを切り取れ、そしてΔΕを結べ、そしてΔΕの上に正三角形ΔΕΖを作れ、そしてΑΖを結べ。
λέγω, ὅτι ἡ ὑπὸ ΒΑΓ γωνία δίχα τέτμηται ὑπὸ τῆς ΑΖ εὐθείας.
私は言う、角ΒΑΓは直線ΑΖによって二等分されたと。
ἐπεὶ γὰρ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΔ τῇ ΑΕ, κοινὴ δὲ ἡ ΑΖ, δύο δὴ αἱ ΔΑ, ΑΖ δυσὶ ταῖς ΕΑ, ΑΖ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ.
なぜなら、ΑΔはΑΕに等しく、ΑΖは共通であるから、二つの［辺］ΔΑ, ΑΖは二つの［辺］ΕΑ, ΑΖにそれぞれ等しい。
καὶ βάσις ἡ ΔΖ βάσει τῇ ΕΖ ἴση ἐστίν·
また底辺ΔΖは底辺ΕΖに等しい。
γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΔΑΖ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΕΑΖ ἴση ἐστίν.
したがって、角ΔΑΖは角ΕΑΖに等しい。
ἡ ἄρα δοθεῖσα γωνία εὐθύγραμμος ἡ ὑπὸ ΒΑΓ δίχα τέτμηται ὑπὸ τῆς ΑΖ εὐθείας·
したがって、与えられた直線角ΒΑΓは直線ΑΖによって二等分された。
ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.
これこそなすべきことであった。
§1.prop.10τὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν πεπερασμένην δίχα τεμεῖν.
与えられた有限な直線を二等分すること。
ἔστω ἡ δοθεῖσα εὐθεῖα πεπερασμένη ἡ ΑΒ·
与えられた有限な直線をΑΒとせよ。
δεῖ δὴ τὴν ΑΒ εὐθεῖαν πεπερασμένην δίχα τεμεῖν.
この有限な直線ΑΒを二等分しなければならない。
συνεστάτω ἐπʼ αὐτῆς τρίγωνον ἰσόπλευρον τὸ ΑΒΓ, καὶ τετμήσθω ἡ ὑπὸ ΑΓΒ γωνία δίχα τῇ ΓΔ εὐθείᾳ·
その上に正三角形 ΑΒΓを作れ。 そして角ΑΓΒを直線ΓΔによって二等分せよ。
λέγω, ὅτι ἡ ΑΒ εὐθεῖα δίχα τέτμηται κατὰ τὸ Δ σημεῖον.
私は言う、直線ΑΒは点Δにおいて二等分されたと。
ἐπεὶ γὰρ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΓ τῇ ΓΒ, κοινὴ δὲ ἡ ΓΔ, δύο δὴ αἱ ΑΓ, ΓΔ δύο ταῖς ΒΓ, ΓΔ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ·
なぜなら、ΑΓはΓΒに等しく、 ΓΔは共通であるから、二つの［辺］ΑΓ, ΓΔは二つの［辺］ΒΓ, ΓΔにそれぞれ等しい。
καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΑΓΔ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΒΓΔ ἴση ἐστίν·
そして角ΑΓΔは角ΒΓΔに等しい。
βάσις ἄρα ἡ ΑΔ βάσει τῇ ΒΔ ἴση ἐστίν.
したがって、底辺ΑΔは底辺ΒΔに等しい。
ἡ ἄρα δοθεῖσα εὐθεῖα πεπερασμένη ἡ ΑΒ δίχα τέτμηται κατὰ τὸ Δ·
したがって、与えられた有限な直線ΑΒは点Δにおいて二等分された。
ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.
これこそなすべきことであった。
§1.prop.11τῇ δοθείσῃ εὐθείᾳ ἀπὸ τοῦ πρὸς αὐτῇ δοθέντος σημείου πρὸς ὀρθὰς γωνίας εὐθεῖαν γραμμὴν ἀγαγεῖν.
与えられた直線に、その上の与えられた点から、直角に直線を引き出すこと。
ἔστω ἡ μὲν δοθεῖσα εὐθεῖα ἡ ΑΒ τὸ δὲ δοθὲν σημεῖον ἐπʼ αὐτῆς τὸ Γ·
与えられた直線をΑΒ、その上の与えられた点をΓとせよ。
δεῖ δὴ ἀπὸ τοῦ Γ σημείου τῇ ΑΒ εὐθείᾳ πρὸς ὀρθὰς γωνίας εὐθεῖαν γραμμὴν ἀγαγεῖν.
点Γから直線ΑΒに直角に直線を引き出さなければならない。
εἰλήφθω ἐπὶ τῆς ΑΓ τυχὸν σημεῖον τὸ Δ, καὶ κείσθω τῇ ΓΔ ἴση ἡ ΓΕ, καὶ συνεστάτω ἐπὶ τῆς ΔΕ τρίγωνον ἰσόπλευρον τὸ ΖΔΕ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΖΓ·
ΑΓ上に任意に点Δを取れ、そしてΓΔに等しいΓΕを置け、そしてΔΕの上に正三角形ΖΔΕを作れ、そしてΖΓを結べ。
λέγω, ὅτι τῇ δοθείσῃ εὐθείᾳ τῇ ΑΒ ἀπὸ τοῦ πρὸς αὐτῇ δοθέντος σημείου τοῦ Γ πρὸς ὀρθὰς γωνίας εὐθεῖα γραμμὴ ἦκται ἡ ΖΓ.
ἐπεὶ γὰρ ἴση ἐστὶν ἡ ΔΓ τῇ ΓΕ, κοινὴ δὲ ἡ ΓΖ, δύο δὴ αἱ ΔΓ, ΓΖ δυσὶ ταῖς ΕΓ, ΓΖ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ·
私は言う、与えられた直線ΑΒに、その上の与えられた点Γから、直角に直線ΖΓが引き出されたと。 なぜなら、ΔΓは ΓΕに等しく、ΓΖは共通であるから、二つの［辺］ΔΓ, ΓΖは二つの［辺］ΕΓ, ΓΖにそれぞれ等しい。
καὶ βάσις ἡ ΔΖ βάσει τῇ ΖΕ ἴση ἐστίν·
また底辺ΔΖは底辺ΖΕに等しい。
γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΔΓΖ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΕΓΖ ἴση ἐστίν·
したがって、角ΔΓΖは角ΕΓΖに等しい。
καί εἰσιν ἐφεξῆς.
そしてこれらは隣接している。
ὅταν δὲ εὐθεῖα ἐπʼ εὐθεῖαν σταθεῖσα τὰς ἐφεξῆς γωνίας ἴσας ἀλλήλαις ποιῇ, ὀρθὴ ἑκατέρα τῶν ἴσων γωνιῶν ἐστιν·
ところが、直線が直線の上に立てられて、隣接する角を互いに等しくするとき、それらの等しい角の各々は直角である。
ὀρθὴ ἄρα ἐστὶν ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΔΓΖ, ΖΓΕ.
τῇ ἄρα δοθείσῃ εὐθείᾳ τῇ ΑΒ ἀπὸ τοῦ πρὸς αὐτῇ δοθέντος σημείου τοῦ Γ πρὸς ὀρθὰς γωνίας εὐθεῖα γραμμὴ ἦκται ἡ ΓΖ·
したがって、角ΔΓΖ, ΖΓΕの各々は直角である。 したがって、与えられた直線ΑΒに、その上の与えられた点Γから、直角に直線ΓΖが引き出された。
ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.
これこそなすべきことであった。