§1.prop.12ἐπὶ τὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν ἄπειρον ἀπὸ τοῦ δοθέντος σημείου, ὃ μή ἐστιν ἐπʼ αὐτῆς, κάθετον εὐθεῖαν γραμμὴν ἀγαγεῖν.
与えられた無限直線の上に、その上にない与えられた点から、垂線を引き出すこと。
ἔστω ἡ μὲν δοθεῖσα εὐθεῖα ἄπειρος ἡ ΑΒ τὸ δὲ δοθὲν σημεῖον, ὃ μή ἐστιν ἐπʼ αὐτῆς, τὸ Γ·
与えられた無限直線をΑΒ、その上にない与えられた点をΓとせよ。
δεῖ δὴ ἐπὶ τὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν ἄπειρον τὴν ΑΒ ἀπὸ τοῦ δοθέντος σημείου τοῦ Γ, ὃ μή ἐστιν ἐπʼ αὐτῆς, κάθετον εὐθεῖαν γραμμὴν ἀγαγεῖν.
与えられた無限直線ΑΒの上に、その上にない与えられた点Γから、垂線を引き出さなければならない。
εἰλήφθω γὰρ ἐπὶ τὰ ἕτερα μέρη τῆς ΑΒ εὐθείας τυχὸν σημεῖον τὸ Δ, καὶ κέντρῳ μὲν τῷ Γ διαστήματι δὲ τῷ ΓΔ κύκλος γεγράφθω ὁ ΕΖΗ, καὶ τετμήσθω ἡ ΕΗ εὐθεῖα δίχα κατὰ τὸ Θ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΓΗ, ΓΘ, ΓΕ εὐθεῖαι·
なぜなら、直線ΑΒの反対の側に任意に点Δを取れ、そしてΓを中心とし、ΓΔを半径とする円ΕΖΗが描かれよ。 そして直線ΕΗをΘにおいて二等分せよ。 そして直線ΓΗ, ΓΘ, ΓΕを結べ。
λέγω, ὅτι ἐπὶ τὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν ἄπειρον τὴν ΑΒ ἀπὸ τοῦ δοθέντος σημείου τοῦ Γ, ὃ μή ἐστιν ἐπʼ αὐτῆς, κάθετος ἦκται ἡ ΓΘ.
ἐπεὶ γὰρ ἴση ἐστὶν ἡ ΗΘ τῇ ΘΕ, κοινὴ δὲ ἡ ΘΓ, δύο δὴ αἱ ΗΘ, ΘΓ δύο ταῖς ΕΘ, ΘΓ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ·
私は言う、与えられた無限直線ΑΒの上に、その上にない与えられた点Γから、垂線ΓΘが引き出されたと。 なぜなら、ΗΘはΘΕに等しく、ΘΓは共通であるから、二つの［辺］ΗΘ, ΘΓは二つの［辺］ΕΘ, ΘΓにそれぞれ等しい。
καὶ βάσις ἡ ΓΗ βάσει τῇ ΓΕ ἐστιν ἴση·
また底辺ΓΗは底辺ΓΕに等しい。
γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΓΘΗ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΕΘΓ ἐστιν ἴση.
したがって、角ΓΘΗは角ΕΘΓに等しい。
καί εἰσιν ἐφεξῆς.
そしてこれらは隣接している。
ὅταν δὲ εὐθεῖα ἐπʼ εὐθεῖαν σταθεῖσα τὰς ἐφεξῆς γωνίας ἴσας ἀλλήλαις ποιῇ, ὀρθὴ ἑκατέρα τῶν ἴσων γωνιῶν ἐστιν, καὶ ἡ ἐφεστηκυῖα εὐθεῖα κάθετος καλεῖται ἐφʼ ἣν ἐφέστηκεν.
ところが、直線が直線の上に立てられて、隣接する角を互いに等しくするとき、それらの等しい角の各々は直角であり、その上に立つ直線は、それが立っている［直線］に対する垂線と呼ばれる。
ἐπὶ τὴν δοθεῖσαν ἄρα εὐθεῖαν ἄπειρον τὴν ΑΒ ἀπὸ τοῦ δοθέντος σημείου τοῦ Γ, ὃ μή ἐστιν ἐπʼ αὐτῆς, κάθετος ἦκται ἡ ΓΘ·
したがって、与えられた無限直線ΑΒの上に、その上にない与えられた点Γから、垂線ΓΘが引き出された。
ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.
これこそなすべきことであった。
§1.prop.13ἐὰν εὐθεῖα ἐπʼ εὐθεῖαν σταθεῖσα γωνίας ποιῇ, ἤτοι δύο ὀρθὰς ἢ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσας ποιήσει.
直線が直線の上に立てられて角を作るとき、それらは二つの直角であるか、または二つの直角に等しい。
εὐθεῖα γάρ τις ἡ ΑΒ ἐπʼ εὐθεῖαν τὴν ΓΔ σταθεῖσα γωνίας ποιείτω τὰς ὑπὸ ΓΒΑ, ΑΒΔ·
なぜなら、ある直線ΑΒが直線ΓΔの上に立てられて、角ΓΒΑ, ΑΒΔを作るとせよ。
λέγω, ὅτι αἱ ὑπὸ ΓΒΑ, ΑΒΔ γωνίαι ἤτοι δύο ὀρθαί εἰσιν ἢ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι.
私は言う、角ΓΒΑ, ΑΒΔは、二つの直角であるか、または二つの直角に等しいと。
εἰ μὲν οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΓΒΑ τῇ ὑπὸ ΑΒΔ, δύο ὀρθαί εἰσιν.
もし、角ΓΒΑが角ΑΒΔに等しいならば、それらは二つの直角である。
εἰ δὲ οὔ, ἤχθω ἀπὸ τοῦ Β σημείου τῇ ΓΔ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΒΕ·
もしそうでなければ、点Βから直線ΓΔに直角にΒΕが引き出されよ。
αἱ ἄρα ὑπὸ ΓΒΕ, ΕΒΔ δύο ὀρθαί εἰσιν·
したがって、角ΓΒΕ, ΕΒΔは二つの直角である。
καὶ ἐπεὶ ἡ ὑπὸ ΓΒΕ δυσὶ ταῖς ὑπὸ ΓΒΑ, ΑΒΕ ἴση ἐστίν, κοινὴ προσκείσθω ἡ ὑπὸ ΕΒΔ·
そして、角ΓΒΕは二つの角ΓΒΑ, ΑΒΔに等しいから、共通の［角］ΕΒΔが加えられよ。
αἱ ἄρα ὑπὸ ΓΒΕ, ΕΒΔ τρισὶ ταῖς ὑπὸ ΓΒΑ, ΑΒΕ, ΕΒΔ ἴσαι εἰσίν.
したがって、角ΓΒΕ, ΕΒΔは三つの角ΓΒΑ, ΑΒΕ, ΕΒΔに等しい。
πάλιν, ἐπεὶ ἡ ὑπὸ ΔΒΑ δυσὶ ταῖς ὑπὸ ΔΒΕ, ΕΒΑ ἴση ἐστίν, κοινὴ προσκείσθω ἡ ὑπὸ ΑΒΓ·
他方、角ΔΒΑは二つの角ΔΒΕ, ΕΒΑに等しいから、共通の［角］ΑΒΓが加えられよ。
αἱ ἄρα ὑπὸ ΔΒΑ, ΑΒΓ τρισὶ ταῖς ὑπὸ ΔΒΕ, ΕΒΑ, ΑΒΓ ἴσαι εἰσίν.
したがって、角ΔΒΑ, ΑΒΓは三つの角ΔΒΕ, ΕΒΑ, ΑΒΓに等しい。
ἐδείχθησαν δὲ καὶ αἱ ὑπὸ ΓΒΕ, ΕΒΔ τρισὶ ταῖς αὐταῖς ἴσαι·
また、角ΓΒΕ, ΕΒΔもこれら同じ三つの角に等しいことが示された。
τὰ δὲ τῷ αὐτῷ ἴσα καὶ ἀλλήλοις ἐστὶν ἴσα·
同じものに等しいものは互いに等しい。
καὶ αἱ ὑπὸ ΓΒΕ, ΕΒΔ ἄρα ταῖς ὑπὸ ΔΒΑ, ΑΒΓ ἴσαι εἰσίν·
したがって、角ΓΒΕ, ΕΒΔもまた角ΔΒΑ, ΑΒΓに等しい。
ἀλλὰ αἱ ὑπὸ ΓΒΕ, ΕΒΔ δύο ὀρθαί εἰσιν·
ところが、角ΓΒΕ, ΕΒΔは二つの直角である。
καὶ αἱ ὑπὸ ΔΒΑ, ΑΒΓ ἄρα δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν.
したがって、角ΔΒΑ, ΑΒΓもまた二つの直角に等しい。
ἐὰν ἄρα εὐθεῖα ἐπʼ εὐθεῖαν σταθεῖσα γωνίας ποιῇ, ἤτοι δύο ὀρθὰς ἢ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσας ποιήσει·
したがって、もし直線が直線の上に立てられて角を作るとき、それらは二つの直角であるか、または二つの直角に等しい。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これこそ示すべきことであった。