§1.prop.7ἐπὶ τῆς αὐτῆς εὐθείας δύο ταῖς αὐταῖς εὐθείαις ἄλλαι δύο εὐθεῖαι ἴσαι ἑκατέρα ἑκατέρᾳ οὐ συσταθήσονται πρὸς ἄλλῳ καὶ ἄλλῳ σημείῳ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη τὰ αὐτὰ πέρατα ἔχουσαι ταῖς ἐξ ἀρχῆς εὐθείαις.
同一の直線上に、同じ二つの直線にそれぞれ等しい他の二つの直線が、異なる点において、同一の側に、元の直線と同じ端点を持つようにして、立てられることはない。
εἰ γὰρ δυνατόν, ἐπὶ τῆς αὐτῆς εὐθείας τῆς ΑΒ δύο ταῖς αὐταῖς εὐθείαις ταῖς ΑΓ, ΓΒ ἄλλαι δύο εὐθεῖαι αἱ ΑΔ, ΔΒ ἴσαι ἑκατέρα ἑκατέρᾳ συνεστάτωσαν πρὸς ἄλλῳ καὶ ἄλλῳ σημείῳ τῷ τε Γ καὶ Δ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη τὰ αὐτὰ πέρατα ἔχουσαι, ὥστε ἴσην εἶναι τὴν μὲν ΓΑ τῇ ΔΑ τὸ αὐτὸ πέρας ἔχουσαν αὐτῇ τὸ Α, τὴν δὲ ΓΒ τῇ ΔΒ τὸ αὐτὸ πέρας ἔχουσαν αὐτῇ τὸ Β, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΓΔ.
ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ΑΓ τῇ ΑΔ, ἴση ἐστὶ καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΑΓΔ τῇ ὑπὸ ΑΔΓ·
なぜなら、もし可能であるなら、同一の直線ΑΒの上に、同じ二つの直線ΑΓ, ΓΒにそれぞれ等しい他の二つの直線ΑΔ, ΔΒが、異なる点ΓおよびΔにおいて、同一の側に、同じ端点を持つようにして立てられるとせよ。 その結果、ΓΑはそれと同じ端点Αを持つΔΑに等しく、ΓΒはそれと同じ端点Βを持つΔΒに等しいとし、ΓΔが結ばれるとせよ。 そこで、ΑΓはΑΔに等しいので、角ΑΓΔも角ΑΔΓに等しい。
μείζων ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΔΓ τῆς ὑπὸ ΔΓΒ·
したがって、角ΑΔΓは角ΔΓΒよりも大きい。
πολλῷ ἄρα ἡ ὑπὸ ΓΔΒ μείζων ἐστὶ τῆς ὑπὸ ΔΓΒ. πάλιν ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΓΒ τῇ ΔΒ, ἴση ἐστὶ καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΓΔΒ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΔΓΒ. ἐδείχθη δὲ αὐτῆς καὶ πολλῷ μείζων·
それゆえ、角ΓΔΒは角ΔΓΒよりもはるかに大きい。 他方、ΓΒはΔΒに等しいので、角ΓΔΒも角ΔΓΒに等しい。 しかし、それは角ΔΓΒよりもはるかに大きいとも示された。
ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.
これは不可能である。
οὐκ ἄρα ἐπὶ τῆς αὐτῆς εὐθείας δύο ταῖς αὐταῖς εὐθείαις ἄλλαι δύο εὐθεῖαι ἴσαι ἑκατέρα ἑκατέρᾳ συσταθήσονται πρὸς ἄλλῳ καὶ ἄλλῳ σημείῳ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη τὰ αὐτὰ πέρατα ἔχουσαι ταῖς ἐξ ἀρχῆς εὐθείαις·
したがって、同一の直線上に、同じ二つの直線にそれぞれ等しい他の二つの直線が、異なる点において、同一の側に、元の直線と同じ端点を持つようにして、立てられることはない。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これこそ示すべきものであった。
§1.prop.8ἐὰν δύο τρίγωνα τὰς δύο πλευρὰς δύο πλευραῖς ἴσας ἔχῃ ἑκατέραν ἑκατέρα, ἔχῃ δὲ καὶ τὴν βάσιν τῇ βάσει ἴσην, καὶ τὴν γωνίαν τῇ γωνίᾳ ἴσην ἕξει τὴν ὑπὸ τῶν ἴσων εὐθειῶν περιεχομένην.
もし二つの三角形が、二つの辺を他の二つの辺にそれぞれ等しく持ち、かつ底辺を底辺に等しく持つならば、等しい直線に挟まれた角も互いに等しくなる。
ἔστω δύο τρίγωνα τὰ ΑΒΓ, ΔΕΖ τὰς δύο πλευρὰς τὰς ΑΒ, ΑΓ ταῖς δύο πλευραῖς ταῖς ΔΕ, ΔΖ ἴσας ἔχοντα ἑκατέραν ἑκατέρᾳ, τὴν μὲν ΑΒ τῇ ΔΕ τὴν δὲ ΑΓ τῇ ΔΖ·
二つの三角形ΑΒΓ, ΔΕΖがあり、二つの辺ΑΒ, ΑΓを二つの辺ΔΕ, ΔΖにそれぞれ等しく持ち、ΑΒはΔΕに、ΑΓはΔΖに等しいとせよ。
ἐχέτω δὲ καὶ βάσιν τὴν ΒΓ βάσει τῇ ΕΖ ἴσην·
また、底辺ΒΓを底辺 ΕΖに等しく持つとせよ。
λέγω, ὅτι καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΒΑΓ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΕΔΖ ἐστιν ἴση.
私は言う、角ΒΑΓも角ΕΔΖに等しいと。
Ἐφαρμοζομένου γὰρ τοῦ ΑΒΓ τριγώνου ἐπὶ τὸ ΔΕΖ τρίγωνον καὶ τιθεμένου τοῦ μὲν Β σημείου ἐπὶ τὸ Ε σημεῖον τῆς δὲ ΒΓ εὐθείας ἐπὶ τὴν ΕΖ ἐφαρμόσει καὶ τὸ Γ σημεῖον ἐπὶ τὸ Ζ διὰ τὸ ἴσην εἶναι τὴν ΒΓ τῇ ΕΖ·
なぜなら、三角形ΑΒΓを三角形ΔΕΖに重ね合わせ、点Βを点Εの上に、直線ΒΓをΕΖの上に置くとすると、ΒΓがΕΖに等しいことにより、点Γも点Ζに重なるであろう。
ἐφαρμοσάσης δὴ τῆς ΒΓ ἐπὶ τὴν ΕΖ ἐφαρμόσουσι καὶ αἱ ΒΑ, ΓΑ ἐπὶ τὰς ΕΔ, ΔΖ. εἰ γὰρ βάσις μὲν ἡ ΒΓ ἐπὶ βάσιν τὴν ΕΖ ἐφαρμόσει, αἱ δὲ ΒΑ, ΑΓ πλευραὶ ἐπὶ τὰς ΕΔ, ΔΖ οὐκ ἐφαρμόσουσιν ἀλλὰ παραλλάξουσιν ὡς αἱ ΕΗ, ΗΖ, συσταθήσονται ἐπὶ τῆς αὐτῆς εὐθείας δύο ταῖς αὐταῖς εὐθείαις ἄλλαι δύο εὐθεῖαι ἴσαι ἑκατέρα ἑκατέρᾳ πρὸς ἄλλῳ καὶ ἄλλῳ σημείῳ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη τὰ αὐτὰ πέρατα ἔχουσαι.
そこで、ΒΓがΕΖに重なったとき、［辺］ΒΑ, ΓΑも［辺］ΕΔ, ΔΖに重なるであろう。 なぜなら、もし底辺ΒΓが底辺ΕΖに重なる一方で、辺ΒΑ, ΑΓがΕΔ, ΔΖに重ならず、ΕΗ, ΗΖのように位置がずれるならば、同一の直線上に、同じ二つの直線にそれぞれ等しい他の二つの直線が、異なる点において、同一の側に、同じ端点を持つようにして立てられることになるからである。
οὐ συνίστανται δέ·
しかし、それらは立てられない。
οὐκ ἄρα ἐφαρμοζομένης τῆς ΒΓ βάσεως ἐπὶ τὴν ΕΖ βάσιν οὐκ ἐφαρμόσουσι καὶ αἱ ΒΑ, ΑΓ πλευραὶ ἐπὶ τὰς ΕΔ, ΔΖ. ἐφαρμόσουσιν ἄρα·
したがって、底辺ΒΓを底辺ΕΖに重ね合わせるとき、辺ΒΑ, ΑΓがΕΔ, ΔΖに重ならないということはない。 それゆえ、重なるであろう。
ὥστε καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΒΑΓ ἐπὶ γωνίαν τὴν ὑπὸ ΕΔΖ ἐφαρμόσει καὶ ἴση αὐτῇ ἔσται.
したがって、角ΒΑΓも角ΕΔΖに重なり、これに等しくなる。
ἐὰν ἄρα δύο τρίγωνα τὰς δύο πλευρὰς δύο πλευραῖς ἴσας ἔχῃ ἑκατέραν ἑκατέρᾳ καὶ τὴν βάσιν τῇ βάσει ἴσην ἔχῃ, καὶ τὴν γωνίαν τῇ γωνίᾳ ἴσην ἕξει τὴν ὑπὸ τῶν ἴσων εὐθειῶν περιεχομένην·
したがって、もし二つの三角形が、二つの辺を二つの辺にそれぞれ等しく持ち、かつ底辺を底辺に等しく持つならば、等しい直線に挟まれた角も互いに等しくなる。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これこそ示すべきものであった。