§1.prop.9τὴν δοθεῖσαν γωνίαν εὐθύγραμμον δίχα τεμεῖν.
주어진 직선각을 이등분하는 것.
ἔστω ἡ δοθεῖσα γωνία εὐθύγραμμος ἡ ὑπὸ ΒΑΓ. δεῖ δὴ αὐτὴν δίχα τεμεῖν.
주어진 직선각을 각 BAC라 하자. 이 각을 이등분해야 한다.
εἰλήφθω ἐπὶ τῆς ΑΒ τυχὸν σημεῖον τὸ Δ, καὶ ἀφῃρήσθω ἀπὸ τῆς ΑΓ τῇ ΑΔ ἴση ἡ ΑΕ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΔΕ, καὶ συνεστάτω ἐπὶ τῆς ΔΕ τρίγωνον ἰσόπλευρον τὸ ΔΕΖ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΖ·
AB 위에 임의의 점 D를 잡고, AC에서 AD와 같은 AE를 잘라내라. 그리고 DE를 잇고, DE 위에 정삼각형 DEF를 만들어라. 그리고 AF를 이어라.
λέγω, ὅτι ἡ ὑπὸ ΒΑΓ γωνία δίχα τέτμηται ὑπὸ τῆς ΑΖ εὐθείας.
나는 말한다, 각 BAC가 직선 AF에 의해 이등분되었다고.
ἐπεὶ γὰρ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΔ τῇ ΑΕ, κοινὴ δὲ ἡ ΑΖ, δύο δὴ αἱ ΔΑ, ΑΖ δυσὶ ταῖς ΕΑ, ΑΖ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ.
왜냐하면 AD가 AE와 같고, AF가 공통이므로, 두 변 DA, AF는 두 변 EA, AF와 각각 같다.
καὶ βάσις ἡ ΔΖ βάσει τῇ ΕΖ ἴση ἐστίν·
그리고 밑변 DF는 밑변 EF와 같다.
γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΔΑΖ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΕΑΖ ἴση ἐστίν.
그러므로 각 DAF는 각 EAF와 같다.
ἡ ἄρα δοθεῖσα γωνία εὐθύγραμμος ἡ ὑπὸ ΒΑΓ δίχα τέτμηται ὑπὸ τῆς ΑΖ εὐθείας·
그러므로 주어진 직선각 BAC는 직선 AF에 의해 이등분되었다.
ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.
- 이것이 작도하고자 했던 일이다.
§1.prop.10τὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν πεπερασμένην δίχα τεμεῖν.
주어진 유한한 직선을 이등분하는 것.
ἔστω ἡ δοθεῖσα εὐθεῖα πεπερασμένη ἡ ΑΒ· δεῖ δὴ τὴν ΑΒ εὐθεῖαν πεπερασμένην δίχα τεμεῖν.
주어진 유한한 직선 AB를 이등분해야 한다.
συνεστάτω ἐπʼ αὐτῆς τρίγωνον ἰσόπλευρον τὸ ΑΒΓ, καὶ τετμήσθω ἡ ὑπὸ ΑΓΒ γωνία δίχα τῇ ΓΔ εὐθείᾳ·
그 위에 정삼각형 ABC를 만들어라. 그리고 각 ACB를 직선 CD에 의해 이등분하라.
λέγω, ὅτι ἡ ΑΒ εὐθεῖα δίχα τέτμηται κατὰ τὸ Δ σημεῖον.
나는 말한다, 직선 AB가 점 D에서 이등분되었다고.
ἐπεὶ γὰρ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΓ τῇ ΓΒ, κοινὴ δὲ ἡ ΓΔ, δύο δὴ αἱ ΑΓ, ΓΔ δύο ταῖς ΒΓ, ΓΔ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ·
왜냐하면 AC가 CB와 같고, CD가 공통이므로, 두 변 AC, CD는 두 변 BC, CD와 각각 같다.
καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΑΓΔ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΒΓΔ ἴση ἐστίν·
그리고 각 ACD는 각 BCD와 같다.
βάσις ἄρα ἡ ΑΔ βάσει τῇ ΒΔ ἴση ἐστίν.
그러므로 밑변 AD는 밑변 BD와 같다.
ἡ ἄρα δοθεῖσα εὐθεῖα πεπερασμένη ἡ ΑΒ δίχα τέτμηται κατὰ τὸ Δ·
그러므로 주어진 유한한 직선 AB는 점 D에서 이등분되었다.
ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.
- 이것이 작도하고자 했던 일이다.
§1.prop.11τῇ δοθείσῃ εὐθείᾳ ἀπὸ τοῦ πρὸς αὐτῇ δοθέντος σημείου πρὸς ὀρθὰς γωνίας εὐθεῖαν γραμμὴν ἀγαγεῖν.
주어진 직선에, 그 위의 주어진 점으로부터 직각으로 직선을 긋는 것.
ἔστω ἡ μὲν δοθεῖσα εὐθεῖα ἡ ΑΒ τὸ δὲ δοθὲν σημεῖον ἐπʼ αὐτῆς τὸ Γ·
주어진 직선을 AB라 하고, 그 위의 주어진 점을 C라 하자.
δεῖ δὴ ἀπὸ τοῦ Γ σημείου τῇ ΑΒ εὐθείᾳ πρὸς ὀρθὰς γωνίας εὐθεῖαν γραμμὴν ἀγαγεῖν.
점 C로부터 직선 AB에 직각으로 직선을 그어야 한다.
εἰλήφθω ἐπὶ τῆς ΑΓ τυχὸν σημεῖον τὸ Δ, καὶ κείσθω τῇ ΓΔ ἴση ἡ ΓΕ, καὶ συνεστάτω ἐπὶ τῆς ΔΕ τρίγωνον ἰσόπλευρον τὸ ΖΔΕ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΖΓ·
AC 위에 임의의 점 D를 잡고, CD와 같게 CE를 놓아라. 그리고 DE 위에 정삼각형 FDE를 만들고, FC를 이어라.
λέγω, ὅτι τῇ δοθείσῃ εὐθείᾳ τῇ ΑΒ ἀπὸ τοῦ πρὸς αὐτῇ δοθέντος σημείου τοῦ Γ πρὸς ὀρθὰς γωνίας εὐθεῖα γραμμὴ ἦκται ἡ ΖΓ.
ἐπεὶ γὰρ ἴση ἐστὶν ἡ ΔΓ τῇ ΓΕ, κοινὴ δὲ ἡ ΓΖ, δύο δὴ αἱ ΔΓ, ΓΖ δυσὶ ταῖς ΕΓ, ΓΖ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ·
나는 말한다, 주어진 직선 AB에, 그 위의 주어진 점 C로부터 직각으로 직선 FC가 그어졌다고. 왜냐하면 DC가 CE와 같고, CF가 공통이므로, 두 변 DC, CF는 두 변 EC, CF와 각각 같다.
καὶ βάσις ἡ ΔΖ βάσει τῇ ΖΕ ἴση ἐστίν·
그리고 밑변 DF는 밑변 FE와 같다.
γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΔΓΖ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΕΓΖ ἴση ἐστίν·
그러므로 각 DCF는 각 ECF와 같다.
καί εἰσιν ἐφεξῆς.
그리고 이들은 인접해 있다.
ὅταν δὲ εὐθεῖα ἐπʼ εὐθεῖαν σταθεῖσα τὰς ἐφεξῆς γωνίας ἴσας ἀλλήλαις ποιῇ, ὀρθὴ ἑκατέρα τῶν ἴσων γωνιῶν ἐστιν·
그런데 어떤 직선이 다른 직선 위에 세워져서 인접한 각들을 서로 같게 할 때, 그 같은 각들의 각각은 직각이다.
ὀρθὴ ἄρα ἐστὶν ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΔΓΖ, ΖΓΕ.
τῇ ἄρα δοθείσῃ εὐθείᾳ τῇ ΑΒ ἀπὸ τοῦ πρὸς αὐτῇ δοθέντος σημείου τοῦ Γ πρὸς ὀρθὰς γωνίας εὐθεῖα γραμμὴ ἦκται ἡ ΓΖ·
그러므로 각 DCF, FCE의 각각은 직각이다. 그러므로 주어진 직선 AB에, 그 위의 주어진 점 C로부터 직각으로 직선 FC가 그어졌다.
ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.
- 이것이 작도하고자 했던 일이다.