§1.prop.5τῶν ἰσοσκελῶν τριγώνων αἱ πρὸς τῇ βάσει γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν, καὶ προσεκβληθεισῶν τῶν ἴσων εὐθειῶν αἱ ὑπὸ τὴν βάσιν γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις ἔσονται.
二等辺三角形においては、底辺にある角は互いに等しく、また、等しい直線が延長された場合、底辺の下にある角も互いに等しくなる。
ἔστω τρίγωνον ἰσοσκελὲς τὸ ΑΒΓ ἴσην ἔχον τὴν ΑΒ πλευρὰν τῇ ΑΓ πλευρᾷ, καὶ προσεκβεβλήσθωσαν ἐπʼ εὐθείας ταῖς ΑΒ, ΑΓ εὐθεῖαι αἱ ΒΔ, ΓΕ·
二等辺三角形ΑΒΓがあり、辺ΑΒを辺ΑΓに等しく持つとせよ。 そして、直線ΑΒ, ΑΓの一直線上に直線ΒΔ, ΓΕが延長されるとせよ。
λέγω, ὅτι ἡ μὲν ὑπὸ ΑΒΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΑΓΒ ἴση ἐστίν, ἡ δὲ ὑπὸ ΓΒΔ τῇ ὑπὸ ΒΓΕ.
εἰλήφθω γὰρ ἐπὶ τῆς ΒΔ τυχὸν σημεῖον τὸ Ζ, καὶ ἀφῃρήσθω ἀπὸ τῆς μείζονος τῆς ΑΕ τῇ ἐλάσσονι τῇ ΑΖ ἴση ἡ ΑΗ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΖΓ, ΗΒ εὐθεῖαι.
私は言う、角ΑΒΓは角ΑΓΒに等しく、角ΓΒΔは角ΒΓΕに等しいと。 なぜなら、ΒΔの上に任意の点Ζが取られ、より大きいΑΕから、より小さいΑΖに等しいΑΗが切り取られるとせよ。 そして、直線ΖΓ, ΗΒが結ばれるとせよ。
ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ΑΖ τῇ ΑΗ ἡ δὲ ΑΒ τῇ ΑΓ, δύο δὴ αἱ ΖΑ, ΑΓ δυσὶ ταῖς ΗΑ, ΑΒ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ·
そこで、ΑΖはΑΗに、ΑΒはΑΓに等しいので、二つの［直線］ΖΑ, ΑΓは二つの［直線］ΗΑ, ΑΒにそれぞれ等しい。
καὶ γωνίαν κοινὴν περιέχουσι τὴν ὑπὸ ΖΑΗ·
そして、それらは共通の角ΖΑΗを挟んでいる。
βάσις ἄρα ἡ ΖΓ βάσει τῇ ΗΒ ἴση ἐστίν, καὶ τὸ ΑΖΓ τρίγωνον τῷ ΑΗΒ τριγώνῳ ἴσον ἔσται, καὶ αἱ λοιπαὶ γωνίαι ταῖς λοιπαῖς γωνίαις ἴσαι ἔσονται ἑκατέρα ἑκατέρᾳ, ὑφʼ ἃς αἱ ἴσαι πλευραὶ ὑποτείνουσιν, ἡ μὲν ὑπὸ ΑΓΖ τῇ ὑπὸ ΑΒΗ, ἡ δὲ ὑπὸ ΑΖΓ τῇ ὑπὸ ΑΗΒ. καὶ ἐπεὶ ὅλη ἡ ΑΖ ὅλῃ τῇ ΑΗ ἐστιν ἴση, ὧν ἡ ΑΒ τῇ ΑΓ ἐστιν ἴση, λοιπὴ ἄρα ἡ ΒΖ λοιπῇ τῇ ΓΗ ἐστιν ἴση.
したがって、底辺ΖΓは底辺ΗΒに等しく、三角形ΑΖΓは三角形ΑΗΒに等しくなり、残りの角も残りの角に、すなわち等しい辺が対する角がそれぞれ等しくなり、角ΑΓΖは角ΑΒΗに、角ΑΖΓは角ΑΗΒに等しくなる。 そして、全体のΑΖは全体のΑΗに等しく、そのうちのΑΒはΑΓに等しいので、残りのΒΖは残りのΓΗに等しい。
ἐδείχθη δὲ καὶ ἡ ΖΓ τῇ ΗΒ ἴση·
そして、 ΖΓがΗΒに等しいことも示された。
δύο δὴ αἱ ΒΖ, ΖΓ δυσὶ ταῖς ΓΗ, ΗΒ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ·
それゆえ、二つの［直線］ΒΖ, ΖΓは二つの［直線］ΓΗ, ΗΒにそれぞれ等しい。
καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΒΖΓ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΓΗΒ ἴση, καὶ βάσις αὐτῶν κοινὴ ἡ ΒΓ·
そして、角ΒΖΓは角ΓΗΒに等しく、それらの底辺ΒΓは共通である。
καὶ τὸ ΒΖΓ ἄρα τρίγωνον τῷ ΓΗΒ τριγώνῳ ἴσον ἔσται, καὶ αἱ λοιπαὶ γωνίαι ταῖς λοιπαῖς γωνίαις ἴσαι ἔσονται ἑκατέρα ἑκατέρᾳ, ὑφʼ ἃς αἱ ἴσαι πλευραὶ ὑποτείνουσιν·
したがって、三角形ΒΖΓは三角形ΓΗΒに等しくなり、残りの角も残りの角に、すなわち等しい辺が対する角がそれぞれ等しくなる。
ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ μὲν ὑπὸ ΖΒΓ τῇ ὑπὸ ΗΓΒ ἡ δὲ ὑπὸ ΒΓΖ τῇ ὑπὸ ΓΒΗ. ἐπεὶ οὖν ὅλη ἡ ὑπὸ ΑΒΗ γωνία ὅλῃ τῇ ὑπὸ ΑΓΖ γωνίᾳ ἐδείχθη ἴση, ὧν ἡ ὑπὸ ΓΒΗ τῇ ὑπὸ ΒΓΖ ἴση, λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΒΓ λοιπῇ τῇ ὑπὸ ΑΓΒ ἐστιν ἴση·
それゆえ、角ΖΒΓは角ΗΓΒに等しく、角ΒΓΖは角ΓΒΗに等しい。 そこで、全体の角ΑΒΗは全体の角ΑΓΖに等しいことが示され、そのうちの角ΓΒΗは角ΒΓΖに等しいので、残りの角ΑΒΓは残りの角ΑΓΒ に等しい。
καί εἰσι πρὸς τῇ βάσει τοῦ ΑΒΓ τριγώνου.
そして、これらは三角形ΑΒΓの底辺にある。
ἐδείχθη δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΖΒΓ τῇ ὑπὸ ΗΓΒ ἴση·
また、角ΖΒΓが角ΗΓΒに等しいことも示された。
καί εἰσιν ὑπὸ τὴν βάσιν.
そして、これらは底辺の下にある。
τῶν ἄρα ἰσοσκελῶν τριγώνων αἱ πρὸς τῇ βάσει γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν, καὶ προσεκβληθεισῶν τῶν ἴσων εὐθειῶν αἱ ὑπὸ τὴν βάσιν γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις ἔσονται·
したがって、二等辺三角形においては、底辺にある角は互いに等しく、また、等しい直線が延長された場合、底辺の下にある角も互いに等しくなる。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これこそ示すべきものであった。
§1.prop.6ἐὰν τριγώνου αἱ δύο γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις ὦσιν, καὶ αἱ ὑπὸ τὰς ἴσας γωνίαις ὑποτείνουσαι πλευραὶ ἴσαι ἀλλήλαις ἔσονται.
もし三角形の二つの角が互いに等しいならば、その等しい角が対する辺もまた互いに等しくなる。
ἔστω τρίγωνον τὸ ΑΒΓ ἴσην ἔχον τὴν ὑπὸ ΑΒΓ γωνίαν τῇ ὑπὸ ΑΓΒ γωνίᾳ·
三角形ΑΒΓがあり、角ΑΒΓを角ΑΓΒに等しく持つとせよ。
λέγω, ὅτι καὶ πλευρὰ ἡ ΑΒ πλευρᾷ τῇ ΑΓ ἐστιν ἴση.
私は言う、辺ΑΒも辺ΑΓに等しいと。
εἰ γὰρ ἄνισός ἐστιν ἡ ΑΒ τῇ ΑΓ, ἡ ἑτέρα αὐτῶν μείζων ἐστίν.
なぜなら、もしΑΒがΑΓと等しくないならば、それらのうちの一方がより大きい。
ἔστω μείζων ἡ ΑΒ, καὶ ἀφῃρήσθω ἀπὸ τῆς μείζονος τῆς ΑΒ τῇ ἐλάττονι τῇ ΑΓ ἴση ἡ ΔΒ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΔΓ.
ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ΔΒ τῇ ΑΓ κοινὴ δὲ ἡ ΒΓ, δύο δὴ αἱ ΔΒ, ΒΓ δύο ταῖς ΑΓ, ΓΒ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ, καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΔΒΓ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΑΓΒ ἐστιν ἴση·
ΑΒをより大きいとし、より大きいΑΒから、より小さいΑΓに等しいΔΒが切り取られるとせよ。 そして、ΔΓが結ばれるとせよ。 そこで、ΔΒはΑΓに等しく、ΒΓは共通なので、二つの［直線］ΔΒ, ΒΓは二つの［直線］ΑΓ, ΓΒにそれぞれ等しい。 そして、角ΔΒΓは角ΑΓΒに等しい。
βάσις ἄρα ἡ ΔΓ βάσει τῇ ΑΒ ἴση ἐστίν, καὶ τὸ ΔΒΓ τρίγωνον τῷ ΑΓΒ τριγώνῳ ἴσον ἔσται, τὸ ἔλασσον τῷ μείζονι·
したがって、底辺ΔΓは底辺ΑΒに等しく、三角形ΔΒΓは三角形ΑΓΒに等しくなり、小さいものが大きいものに等しくなる。
ὅπερ ἄτοπον·
だが、これは不条理である。
οὐκ ἄρα ἄνισός ἐστιν ἡ ΑΒ τῇ ΑΓ·
したがって、ΑΒはΑΓに等しくなくはない。
ἴση ἄρα.
それゆえ、等しい。
ἐὰν ἄρα τριγώνου αἱ δύο γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις ὦσιν, καὶ αἱ ὑπὸ τὰς ἴσας γωνίας ὑποτείνουσαι πλευραὶ ἴσαι ἀλλήλαις ἔσονται·
したがって、もし三角形の二つの角が互いに等しいならば、その等しい角が対する辺もまた互いに等しくなる。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これこそ示すべきものであった。