§1.prop.7ἐπὶ τῆς αὐτῆς εὐθείας δύο ταῖς αὐταῖς εὐθείαις ἄλλαι δύο εὐθεῖαι ἴσαι ἑκατέρα ἑκατέρᾳ οὐ συσταθήσονται πρὸς ἄλλῳ καὶ ἄλλῳ σημείῳ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη τὰ αὐτὰ πέρατα ἔχουσαι ταῖς ἐξ ἀρχῆς εὐθείαις.
동일한 직선 위에, 동일한 두 직선과 각각 같은 다른 두 직선이, 서로 다른 점에서, 같은 쪽에, 원래의 직선들과 같은 단점을 가지도록 세워질 수는 없다.
εἰ γὰρ δυνατόν, ἐπὶ τῆς αὐτῆς εὐθείας τῆς ΑΒ δύο ταῖς αὐταῖς εὐθείαις ταῖς ΑΓ, ΓΒ ἄλλαι δύο εὐθεῖαι αἱ ΑΔ, ΔΒ ἴσαι ἑκατέρα ἑκατέρᾳ συνεστάτωσαν πρὸς ἄλλῳ καὶ ἄλλῳ σημείῳ τῷ τε Γ καὶ Δ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη τὰ αὐτὰ πέρατα ἔχουσαι, ὥστε ἴσην εἶναι τὴν μὲν ΓΑ τῇ ΔΑ τὸ αὐτὸ πέρας ἔχουσαν αὐτῇ τὸ Α, τὴν δὲ ΓΒ τῇ ΔΒ τὸ αὐτὸ πέρας ἔχουσαν αὐτῇ τὸ Β, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΓΔ.
ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ΑΓ τῇ ΑΔ, ἴση ἐστὶ καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΑΓΔ τῇ ὑπὸ ΑΔΓ·
왜냐하면 만약 가능하다면, 동일한 직선 AB 위에, 동일한 두 직선 AC, CB와 각각 같은 다른 두 직선 AD, DB가, 서로 다른 점 C와 D에서, 같은 쪽에, 같은 단점을 가지도록 세워진다고 하자. 그리하여 CA는 이와 같은 단점 A를 가지는 DA와 같고, CB는 이와 같은 단점 B를 가지는 DB와 같게 되며, CD가 이어지게 하라. 그러므로 AC가 AD와 같기 때문에, 각 ACD도 각 ADC와 같다.
μείζων ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΔΓ τῆς ὑπὸ ΔΓΒ·
그러므로 각 ADC는 각 DCB보다 크다.
πολλῷ ἄρα ἡ ὑπὸ ΓΔΒ μείζων ἐστὶ τῆς ὑπὸ ΔΓΒ. πάλιν ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΓΒ τῇ ΔΒ, ἴση ἐστὶ καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΓΔΒ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΔΓΒ. ἐδείχθη δὲ αὐτῆς καὶ πολλῷ μείζων·
그러므로 각 CDB는 각 DCB보다 훨씬 더 크다. 다시, CB가 DB와 같기 때문에, 각 CDB도 각 DCB와 같다. 그런데 이것이 그 각보다 훨씬 더 크다고도 증명되었다.
ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.
이는 불가능하다.
οὐκ ἄρα ἐπὶ τῆς αὐτῆς εὐθείας δύο ταῖς αὐταῖς εὐθείαις ἄλλαι δύο εὐθεῖαι ἴσαι ἑκατέρα ἑκατέρᾳ συσταθήσονται πρὸς ἄλλῳ καὶ ἄλλῳ σημείῳ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη τὰ αὐτὰ πέρατα ἔχουσαι ταῖς ἐξ ἀρχῆς εὐθείαις·
그러므로 동일한 직선 위에, 동일한 두 직선과 각각 같은 다른 두 직선이, 서로 다른 점에서, 같은 쪽에, 원래의 직선들과 같은 단점을 가지도록 세워질 수는 없다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
- 이것이 증명하고자 했던 일이다.
§1.prop.8ἐὰν δύο τρίγωνα τὰς δύο πλευρὰς δύο πλευραῖς ἴσας ἔχῃ ἑκατέραν ἑκατέρα, ἔχῃ δὲ καὶ τὴν βάσιν τῇ βάσει ἴσην, καὶ τὴν γωνίαν τῇ γωνίᾳ ἴσην ἕξει τὴν ὑπὸ τῶν ἴσων εὐθειῶν περιεχομένην.
만약 두 삼각형이 두 변을 다른 두 변과 각각 같게 하고, 밑변도 밑변과 같게 하면, 같은 직선들에 둘러싸인 각도 서로 같을 것이다.
ἔστω δύο τρίγωνα τὰ ΑΒΓ, ΔΕΖ τὰς δύο πλευρὰς τὰς ΑΒ, ΑΓ ταῖς δύο πλευραῖς ταῖς ΔΕ, ΔΖ ἴσας ἔχοντα ἑκατέραν ἑκατέρᾳ, τὴν μὲν ΑΒ τῇ ΔΕ τὴν δὲ ΑΓ τῇ ΔΖ·
두 삼각형 ABC, DEF가 있어서 두 변 AB, AC를 두 변 DE, DF와 각각 같게 하여, AB는 DE와 같고 AC는 DF와 같게 한다고 하자.
ἐχέτω δὲ καὶ βάσιν τὴν ΒΓ βάσει τῇ ΕΖ ἴσην·
그리고 밑변 BC도 밑변 EF와 같게 하자.
λέγω, ὅτι καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΒΑΓ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΕΔΖ ἐστιν ἴση.
나는 말한다, 각 BAC도 각 EDF와 같다고.
Ἐφαρμοζομένου γὰρ τοῦ ΑΒΓ τριγώνου ἐπὶ τὸ ΔΕΖ τρίγωνον καὶ τιθεμένου τοῦ μὲν Β σημείου ἐπὶ τὸ Ε σημεῖον τῆς δὲ ΒΓ εὐθείας ἐπὶ τὴν ΕΖ ἐφαρμόσει καὶ τὸ Γ σημεῖον ἐπὶ τὸ Ζ διὰ τὸ ἴσην εἶναι τὴν ΒΓ τῇ ΕΖ·
왜냐하면 삼각형 ABC를 삼각형 DEF 위에 포개어 놓고, 점 B를 점 E 위에, 직선 BC를 EF 위에 놓으면, 점 C도 점 F 위에 포개어질 것인데, 이는 BC가 EF와 같기 때문이다.
ἐφαρμοσάσης δὴ τῆς ΒΓ ἐπὶ τὴν ΕΖ ἐφαρμόσουσι καὶ αἱ ΒΑ, ΓΑ ἐπὶ τὰς ΕΔ, ΔΖ. εἰ γὰρ βάσις μὲν ἡ ΒΓ ἐπὶ βάσιν τὴν ΕΖ ἐφαρμόσει, αἱ δὲ ΒΑ, ΑΓ πλευραὶ ἐπὶ τὰς ΕΔ, ΔΖ οὐκ ἐφαρμόσουσιν ἀλλὰ παραλλάξουσιν ὡς αἱ ΕΗ, ΗΖ, συσταθήσονται ἐπὶ τῆς αὐτῆς εὐθείας δύο ταῖς αὐταῖς εὐθείαις ἄλλαι δύο εὐθεῖαι ἴσαι ἑκατέρα ἑκατέρᾳ πρὸς ἄλλῳ καὶ ἄλλῳ σημείῳ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη τὰ αὐτὰ πέρατα ἔχουσαι.
그리하여 BC가 EF 위에 포개어졌을 때, BA, CA도 ED, DF 위에 포개어질 것이다. 왜냐하면 만약 밑변 BC가 밑변 EF 위에 포개어지는 반면, 변 BA, AC는 ED, DF 위에 포개어지지 않고 EH, HF처럼 어긋난다면, 동일한 직선 위에, 동일한 두 직선과 각각 같은 다른 두 직선이 서로 다른 점에서, 같은 쪽에, 같은 단점을 가지도록 세워지는 셈이 되기 때문이다.
οὐ συνίστανται δέ·
그러나 이들은 세워질 수 없다.
οὐκ ἄρα ἐφαρμοζομένης τῆς ΒΓ βάσεως ἐπὶ τὴν ΕΖ βάσιν οὐκ ἐφαρμόσουσι καὶ αἱ ΒΑ, ΑΓ πλευραὶ ἐπὶ τὰς ΕΔ, ΔΖ. ἐφαρμόσουσιν ἄρα·
그러므로 밑변 BC가 밑변 EF 위에 포개어질 때, 변 BA, AC가 ED, DF 위에 포개어지지 않을 수는 없다. 그러므로 포개어질 것이다.
ὥστε καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΒΑΓ ἐπὶ γωνίαν τὴν ὑπὸ ΕΔΖ ἐφαρμόσει καὶ ἴση αὐτῇ ἔσται.
그리하여 각 BAC도 각 EDF 위에 포개어질 것이고 그 각과 같을 것이다.
ἐὰν ἄρα δύο τρίγωνα τὰς δύο πλευρὰς δύο πλευραῖς ἴσας ἔχῃ ἑκατέραν ἑκατέρᾳ καὶ τὴν βάσιν τῇ βάσει ἴσην ἔχῃ, καὶ τὴν γωνίαν τῇ γωνίᾳ ἴσην ἕξει τὴν ὑπὸ τῶν ἴσων εὐθειῶν περιεχομένην·
그러므로 만약 두 삼각형이 두 변을 다른 두 변과 각각 같게 하고 밑변도 밑변과 같게 하면, 같은 직선들에 둘러싸인 각도 서로 같을 것이다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
- 이것이 증명하고자 했던 일이다.