§1.prop.4ἐὰν δύο τρίγωνα τὰς δύο πλευρὰς δυσὶ πλευραῖς ἴσας ἔχῃ ἑκατέραν ἑκατέρᾳ καὶ τὴν γωνίαν τῇ γωνίᾳ ἴσην ἔχῃ τὴν ὑπὸ τῶν ἴσων εὐθειῶν περιεχομένην, καὶ τὴν βάσιν τῇ βάσει ἴσην ἕξει, καὶ τὸ τρίγωνον τῷ τριγώνῳ ἴσον ἔσται, καὶ αἱ λοιπαὶ γωνίαι ταῖς λοιπαῖς γωνίαις ἴσαι ἔσονται ἑκατέρα ἑκατέρᾳ, ὑφʼ ἃς αἱ ἴσαι πλευραὶ ὑποτείνουσιν.
もし二つの三角形が、二つの辺をそれぞれ［もう一方の］二つの辺に等しく持ち、等しい直線によって挟まれた角を［もう一つの］角に等しく持つならば、底辺も底辺に等しくなり、三角形も三角形に等しくなり、残りの角も残りの角に、すなわち等しい辺が対する角がそれぞれ等しくなる。
ἔστω δύο τρίγωνα τὰ ΑΒΓ, ΔΕΖ τὰς δύο πλευρὰς τὰς ΑΒ, ΑΓ ταῖς δυσὶ πλευραῖς ταῖς ΔΕ, ΔΖ ἴσας ἔχοντα ἑκατέραν ἑκατέρᾳ τὴν μὲν ΑΒ τῇ ΔΕ τὴν δὲ ΑΓ τῇ ΔΖ καὶ γωνίαν τὴν ὑπὸ ΒΑΓ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΕΔΖ ἴσην.
二つの三角形ΑΒΓ, ΔΕΖがあり、二つの辺ΑΒ, ΑΓを二つの辺ΔΕ, ΔΖにそれぞれ等しく、すなわちΑΒをΔΕに、ΑΓをΔΖに等しく持ち、また角ΒΑΓを角ΕΔΖに等しく持つとせよ。
λέγω, ὅτι καὶ βάσις ἡ ΒΓ βάσει τῇ ΕΖ ἴση ἐστίν, καὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΔΕΖ τριγώνῳ ἴσον ἔσται, καὶ αἱ λοιπαὶ γωνίαι ταῖς λοιπαῖς γωνίαις ἴσαι ἔσονται ἑκατέρα ἑκατέρᾳ, ὑφʼ ἃς αἱ ἴσαι πλευραὶ ὑποτείνουσιν, ἡ μὲν ὑπὸ ΑΒΓ τῇ ὑπὸ ΔΕΖ, ἡ δὲ ὑπὸ ΑΓΒ τῇ ὑπὸ ΔΖΕ.
Ἐφαρμοζομένου γὰρ τοῦ ΑΒΓ τριγώνου ἐπὶ τὸ ΔΕΖ τρίγωνον καὶ τιθεμένου τοῦ μὲν Α σημείου ἐπὶ τὸ Δ σημεῖον τῆς δὲ ΑΒ εὐθείας ἐπὶ τὴν ΔΕ, ἐφαρμόσει καὶ τὸ Β σημεῖον ἐπὶ τὸ Ε διὰ τὸ ἴσην εἶναι τὴν ΑΒ τῇ ΔΕ·
私は言う、底辺ΒΓも底辺ΕΖに等しく、三角形ΑΒΓは三角形ΔΕΖ に等しくなり、残りの角も残りの角に、すなわち等しい辺が対する角がそれぞれ等しくなり、角ΑΒΓは角ΔΕΖに、角ΑΓΒは角ΔΖΕに等しくなると。 なぜなら、三角形ΑΒΓを三角形ΔΕΖに重ね合わせ、点Aを点Δの上に、直線ΑΒを直線ΔΕの上に置くとすると、ΑΒがΔΕに等しいことにより、点Bも点Εに重なるであろう。
ἐφαρμοσάσης δὴ τῆς ΑΒ ἐπὶ τὴν ΔΕ ἐφαρμόσει καὶ ἡ ΑΓ εὐθεῖα ἐπὶ τὴν ΔΖ διὰ τὸ ἴσην εἶναι τὴν ὑπὸ ΒΑΓ γωνίαν τῇ ὑπὸ ΕΔΖ·
そこで、ΑΒがΔΕの上に重なったならば、角ΒΑΓが角ΕΔΖに等しいことにより、直線ΑΓ も直線ΔΖの上に重なるであろう。
ὥστε καὶ τὸ Γ σημεῖον ἐπὶ τὸ Ζ σημεῖον ἐφαρμόσει διὰ τὸ ἴσην πάλιν εἶναι τὴν ΑΓ τῇ ΔΖ. ἀλλὰ μὴν καὶ τὸ Β ἐπὶ τὸ Ε ἐφηρμόκει·
その結果、さらにΑΓがΔΖに等しいことにより、点Γも点Ζの上に重なるであろう。 しかしまた、BはΕの上に重なっていた。
ὥστε βάσις ἡ ΒΓ ἐπὶ βάσιν τὴν ΕΖ ἐφαρμόσει.
それゆえ、底辺ΒΓは底辺ΕΖの上に重なるであろう。
εἰ γὰρ τοῦ μὲν Β ἐπὶ τὸ Ε ἐφαρμόσαντος τοῦ δὲ Γ ἐπὶ τὸ Ζ ἡ ΒΓ βάσις ἐπὶ τὴν ΕΖ οὐκ ἐφαρμόσει, δύο εὐθεῖαι χωρίον περιέξουσιν·
なぜなら、もしBがΕの上に重なり、ΓがΖの上に重なったのに、底辺ΒΓがΕΖの上に重ならないならば、二つの直線が平坦な領域を囲むことになる。
ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.
だが、これは不可能である。
ἐφαρμόσει ἄρα ἡ ΒΓ βάσις ἐπὶ τὴν ΕΖ καὶ ἴση αὐτῇ ἔσται·
したがって、底辺ΒΓはΕΖの上に重なり、これに等しくなる。
ὥστε καὶ ὅλον τὸ ΑΒΓ τρίγωνον ἐπὶ ὅλον τὸ ΔΕΖ τρίγωνον ἐφαρμόσει καὶ ἴσον αὐτῷ ἔσται, καὶ αἱ λοιπαὶ γωνίαι ἐπὶ τὰς λοιπὰς γωνίας ἐφαρμόσουσι καὶ ἴσαι αὐταῖς ἔσονται, ἡ μὲν ὑπὸ ΑΒΓ τῇ ὑπὸ ΔΕΖ ἡ δὲ ὑπὸ ΑΓΒ τῇ ὑπὸ ΔΖΕ.
ἐὰν ἄρα δύο τρίγωνα τὰς δύο πλευρὰς δύο πλευραῖς ἴσας ἔχῃ ἑκατέραν ἑκατέρᾳ καὶ τὴν γωνίαν τῇ γωνίᾳ ἴσην ἔχῃ τὴν ὑπὸ τῶν ἴσων εὐθειῶν περιεχομένην, καὶ τὴν βάσιν τῇ βάσει ἴσην ἕξει, καὶ τὸ τρίγωνον τῷ τριγώνῳ ἴσον ἔσται, καὶ αἱ λοιπαὶ γωνίαι ταῖς λοιπαῖς γωνίαις ἴσαι ἔσονται ἑκατέρα ἑκατέρᾳ, ὑφʼ ἃς αἱ ἴσαι πλευραὶ ὑποτείνουσιν·
その結果、全体の三角形ΑΒΓも全体の三角形ΔΕΖの上に重なり、これに等しくなり、残りの角も残りの角の上に重なってそれらに等しくなり、角ΑΒΓは角ΔΕΖに、角ΑΓΒは角ΔΖΕに［等しくなる］。 したがって、もし二つの三角形が、二つの辺をそれぞれ二つの辺に等しく持ち、等しい直線によって挟まれた角を角に等しく持つならば、底辺も底辺に等しくなり、三角形も三角形に等しくなり、残りの角も残りの角に、すなわち等しい辺が対する角がそれぞれ等しくなる。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これこそ示すべきものであった。