§1.prop.5τῶν ἰσοσκελῶν τριγώνων αἱ πρὸς τῇ βάσει γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν, καὶ προσεκβληθεισῶν τῶν ἴσων εὐθειῶν αἱ ὑπὸ τὴν βάσιν γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις ἔσονται.
이등변삼각형들에서 밑변에 있는 각들은 서로 같고, 그 같은 직선들이 연장되면 밑변 아래에 있는 각들도 서로 같을 것이다.
ἔστω τρίγωνον ἰσοσκελὲς τὸ ΑΒΓ ἴσην ἔχον τὴν ΑΒ πλευρὰν τῇ ΑΓ πλευρᾷ, καὶ προσεκβεβλήσθωσαν ἐπʼ εὐθείας ταῖς ΑΒ, ΑΓ εὐθεῖαι αἱ ΒΔ, ΓΕ·
이등변삼각형 ABC가 있어서 변 AB를 변 AC와 같게 한다고 하고, 직선 AB, AC의 일직선상으로 직선 BD, CE가 연장된다고 하자.
λέγω, ὅτι ἡ μὲν ὑπὸ ΑΒΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΑΓΒ ἴση ἐστίν, ἡ δὲ ὑπὸ ΓΒΔ τῇ ὑπὸ ΒΓΕ.
εἰλήφθω γὰρ ἐπὶ τῆς ΒΔ τυχὸν σημεῖον τὸ Ζ, καὶ ἀφῃρήσθω ἀπὸ τῆς μείζονος τῆς ΑΕ τῇ ἐλάσσονι τῇ ΑΖ ἴση ἡ ΑΗ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΖΓ, ΗΒ εὐθεῖαι.
나는 말한다, 각 ABC는 각 ACB와 같고, 각 CBD는 각 BCE와 같다고. 왜냐하면 BD 위에 임의의 점 F를 잡고, 더 큰 AE에서 더 작은 AF와 같은 AG를 잘라내며, 직선 FC, GB를 잇는다고 하자.
ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ΑΖ τῇ ΑΗ ἡ δὲ ΑΒ τῇ ΑΓ, δύο δὴ αἱ ΖΑ, ΑΓ δυσὶ ταῖς ΗΑ, ΑΒ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ·
그러므로 AF는 AG와 같고 AB는 AC와 같기 때문에, 두 직선 FA, AC는 두 직선 GA, AB와 각각 같다.
καὶ γωνίαν κοινὴν περιέχουσι τὴν ὑπὸ ΖΑΗ·
그리고 그들은 공통인 각 FAG를 둘러싸고 있다.
βάσις ἄρα ἡ ΖΓ βάσει τῇ ΗΒ ἴση ἐστίν, καὶ τὸ ΑΖΓ τρίγωνον τῷ ΑΗΒ τριγώνῳ ἴσον ἔσται, καὶ αἱ λοιπαὶ γωνίαι ταῖς λοιπαῖς γωνίαις ἴσαι ἔσονται ἑκατέρα ἑκατέρᾳ, ὑφʼ ἃς αἱ ἴσαι πλευραὶ ὑποτείνουσιν, ἡ μὲν ὑπὸ ΑΓΖ τῇ ὑπὸ ΑΒΗ, ἡ δὲ ὑπὸ ΑΖΓ τῇ ὑπὸ ΑΗΒ. καὶ ἐπεὶ ὅλη ἡ ΑΖ ὅλῃ τῇ ΑΗ ἐστιν ἴση, ὧν ἡ ΑΒ τῇ ΑΓ ἐστιν ἴση, λοιπὴ ἄρα ἡ ΒΖ λοιπῇ τῇ ΓΗ ἐστιν ἴση.
그러므로 밑변 FC는 밑변 GB와 같고, 삼각형 AFC는 삼각형 AGB와 같을 것이며, 남은 각들도 남은 각들과 각각 같을 것인데, 이들은 같은 변들이 마주 보는 각들이니, 곧 각 ACF는 각 ABG와 같고, 각 AFC는 각 AGB와 같을 것이다. 그리고 전체 AF가 전체 AG와 같고, 그중 AB가 AC와 같기 때문에, 남은 BF는 남은 CG와 같다.
ἐδείχθη δὲ καὶ ἡ ΖΓ τῇ ΗΒ ἴση·
그리고 FC도 GB와 같음이 증명되었다.
δύο δὴ αἱ ΒΖ, ΖΓ δυσὶ ταῖς ΓΗ, ΗΒ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ·
그러므로 두 변 BF, FC는 두 변 CG, GB와 각각 같다.
καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΒΖΓ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΓΗΒ ἴση, καὶ βάσις αὐτῶν κοινὴ ἡ ΒΓ·
그리고 각 BFC는 각 CGB와 같고, 그들의 밑변 BC는 공통이다.
καὶ τὸ ΒΖΓ ἄρα τρίγωνον τῷ ΓΗΒ τριγώνῳ ἴσον ἔσται, καὶ αἱ λοιπαὶ γωνίαι ταῖς λοιπαῖς γωνίαις ἴσαι ἔσονται ἑκατέρα ἑκατέρᾳ, ὑφʼ ἃς αἱ ἴσαι πλευραὶ ὑποτείνουσιν·
그러므로 삼각형 BFC도 삼각형 CGB와 같을 것이며, 남은 각들도 남은 각들과 각각 같을 것인데, 이들은 같은 변들이 마주 보는 각들이다.
ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ μὲν ὑπὸ ΖΒΓ τῇ ὑπὸ ΗΓΒ ἡ δὲ ὑπὸ ΒΓΖ τῇ ὑπὸ ΓΒΗ. ἐπεὶ οὖν ὅλη ἡ ὑπὸ ΑΒΗ γωνία ὅλῃ τῇ ὑπὸ ΑΓΖ γωνίᾳ ἐδείχθη ἴση, ὧν ἡ ὑπὸ ΓΒΗ τῇ ὑπὸ ΒΓΖ ἴση, λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΒΓ λοιπῇ τῇ ὑπὸ ΑΓΒ ἐστιν ἴση·
그러므로 각 FBC는 각 GCB와 같고, 각 BCF는 각 CBG와 같다. 그러므로 전체 각 ABG가 전체 각 ACF와 같음이 증명되었고, 그중 각 CBG가 각 BCF와 같기 때문에, 남은 각 ABC는 남은 각 ACB와 같다.
καί εἰσι πρὸς τῇ βάσει τοῦ ΑΒΓ τριγώνου.
그리고 이들은 삼각형 ABC의 밑변에 있다.
ἐδείχθη δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΖΒΓ τῇ ὑπὸ ΗΓΒ ἴση·
또한 각 FBC가 각 GCB와 같음이 증명되었다.
καί εἰσιν ὑπὸ τὴν βάσιν.
그리고 이들은 밑변 아래에 있다.
τῶν ἄρα ἰσοσκελῶν τριγώνων αἱ πρὸς τῇ βάσει γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν, καὶ προσεκβληθεισῶν τῶν ἴσων εὐθειῶν αἱ ὑπὸ τὴν βάσιν γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις ἔσονται·
그러므로 이등변삼각형들에서 밑변에 있는 각들은 서로 같고, 그 같은 직선들이 연장되면 밑변 아래에 있는 각들도 서로 같을 것이다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
- 이것이 증명하고자 했던 일이다.
§1.prop.6ἐὰν τριγώνου αἱ δύο γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις ὦσιν, καὶ αἱ ὑπὸ τὰς ἴσας γωνίαις ὑποτείνουσαι πλευραὶ ἴσαι ἀλλήλαις ἔσονται.
만약 삼각형의 두 각이 서로 같으면, 그 같은 각들이 마주 보는 변들도 서로 같을 것이다.
ἔστω τρίγωνον τὸ ΑΒΓ ἴσην ἔχον τὴν ὑπὸ ΑΒΓ γωνίαν τῇ ὑπὸ ΑΓΒ γωνίᾳ·
삼각형 ABC가 있어서 각 ABC를 각 ACB와 같게 한다고 하자.
λέγω, ὅτι καὶ πλευρὰ ἡ ΑΒ πλευρᾷ τῇ ΑΓ ἐστιν ἴση.
나는 말한다, 변 AB도 변 AC와 같다고.
εἰ γὰρ ἄνισός ἐστιν ἡ ΑΒ τῇ ΑΓ, ἡ ἑτέρα αὐτῶν μείζων ἐστίν.
왜냐하면 만약 AB가 AC와 같지 않다면, 그들 중 하나가 더 크다.
ἔστω μείζων ἡ ΑΒ, καὶ ἀφῃρήσθω ἀπὸ τῆς μείζονος τῆς ΑΒ τῇ ἐλάττονι τῇ ΑΓ ἴση ἡ ΔΒ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΔΓ.
ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ΔΒ τῇ ΑΓ κοινὴ δὲ ἡ ΒΓ, δύο δὴ αἱ ΔΒ, ΒΓ δύο ταῖς ΑΓ, ΓΒ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ, καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΔΒΓ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΑΓΒ ἐστιν ἴση·
AB를 더 크다고 하고, 더 큰 AB에서 더 작은 AC와 같은 DB를 잘라내며, DC를 잇는다고 하자. 그러므로 DB는 AC와 같고 BC는 공통이기 때문에, 두 변 DB, BC는 두 변 AC, CB와 각각 같고, 각 DBC는 각 ACB와 같다.
βάσις ἄρα ἡ ΔΓ βάσει τῇ ΑΒ ἴση ἐστίν, καὶ τὸ ΔΒΓ τρίγωνον τῷ ΑΓΒ τριγώνῳ ἴσον ἔσται, τὸ ἔλασσον τῷ μείζονι·
그러므로 밑변 DC는 밑변 AB와 같고, 삼각형 DBC는 삼각형 ACB와 같을 것인데, 더 작은 것이 더 큰 것과 같아지니, 이것은 모순이다.
ὅπερ ἄτοπον· οὐκ ἄρα ἄνισός ἐστιν ἡ ΑΒ τῇ ΑΓ·
그러므로 AB는 AC와 다르지 않다.
ἴση ἄρα.
그러므로 같다.
ἐὰν ἄρα τριγώνου αἱ δύο γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις ὦσιν, καὶ αἱ ὑπὸ τὰς ἴσας γωνίας ὑποτείνουσαι πλευραὶ ἴσαι ἀλλήλαις ἔσονται·
그러므로 만약 삼각형의 두 각이 서로 같으면, 그 같은 각들이 마주 보는 변들도 서로 같을 것이다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
- 이것이 증명하고자 했던 일이다.