§1.prop.1ἐπὶ τῆς δοθείσης εὐθείας πεπερασμένης τρίγωνον ἰσόπλευρον συστήσασθαι.
与えられた有限の直線の上に正三角形を構成すること。
ἔστω ἡ δοθεῖσα εὐθεῖα πεπερασμένη ἡ ΑΒ.
δεῖ δὴ ἐπὶ τῆς ΑΒ εὐθείας τρίγωνον ἰσόπλευρον συστήσασθαι.
与えられた有限の直線をΑΒとせよ。 そこで、直線ΑΒの上に正三角形を構成しなければならない。
κέντρῳ μὲν τῷ Α διαστήματι δὲ τῷ ΑΒ κύκλος γεγράφθω ὁ ΒΓΔ, καὶ πάλιν κέντρῳ μὲν τῷ Β διαστήματι δὲ τῷ ΒΑ κύκλος γεγράφθω ὁ ΑΓΕ, καὶ ἀπὸ τοῦ Γ σημείου, καθʼ ὃ τέμνουσιν ἀλλήλους οἱ κύκλοι, ἐπὶ τὰ Α, Β σημεῖα ἐπεζεύχθωσαν εὐθεῖαι αἱ ΓΑ, ΓΒ.
καὶ ἐπεὶ τὸ Α σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ ΓΔΒ κύκλου, ἴση ἐστὶν ἡ ΑΓ τῇ ΑΒ·
Aを中心とし、ΑΒを半径とする円ΒΓΔが描かれよ。 そしてさらに、Bを中心とし、ΒΑを半径とする円ΑΓΕが描かれよ。 そして、それらの円が互いに交わる点Γから、点A, Bへ直線ΓΑ, ΓΒが結ばれよ。 そして、点Aは円ΓΔΒの中心であるから、 ΑΓはΑΒに等しい。
πάλιν, ἐπεὶ τὸ Β σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ ΓΑΕ κύκλου, ἴση ἐστὶν ἡ ΒΓ τῇ ΒΑ. ἐδείχθη δὲ καὶ ἡ ΓΑ τῇ ΑΒ ἴση·
さらに、点Bは円ΓΑΕの中心であるから、ΒΓはΒΑに等しい。 だが、ΓΑもΑΒに等しいと示された。
ἑκατέρα ἄρα τῶν ΓΑ, ΓΒ τῇ ΑΒ ἐστὶν ἴση.
したがって、ΓΑ, ΓΒのそれぞれはΑΒに等しい。
τὰ δὲ τῷ αὐτῷ ἴσα καὶ ἀλλήλοις ἐστὶν ἴσα·
同じものに等しいものはまた互いに等しい。
καὶ ἡ ΓΑ ἄρα τῇ ΓΒ ἐστὶν ἴση·
それゆえ、 ΓΑもΓΒに等しい。
αἱ τρεῖς ἄρα αἱ ΓΑ, ΑΒ, ΒΓ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν.
したがって、三つの直線ΓΑ, ΑΒ, ΒΓは互いに等しい。
ἰσόπλευρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον, καὶ συνέσταται ἐπὶ τῆς δοθείσης εὐθείας πεπερασμένης τῆς ΑΒ.
·
ゆえに、三角形ΑΒΓは正三角形であり、与えられた有限の直線ΑΒの上に構成されている。
ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.
・これこそ作図すべきものであった。
§1.prop.2πρὸς τῷ δοθέντι σημείῳ τῇ δοθείσῃ εὐθείᾳ ἴσην εὐθεῖαν θέσθαι.
与えられた点に、与えられた直線に等しい直線を置くこと。
ἔστω τὸ μὲν δοθὲν σημεῖον τὸ Α, ἡ δὲ δοθεῖσα εὐθεῖα ἡ ΒΓ·
与えられた点をA、与えられた直線をΒΓとせよ。
δεῖ δὴ πρὸς τῷ Α σημείῳ τῇ δοθείσῃ εὐθείᾳ τῇ ΒΓ ἴσην εὐθεῖαν θέσθαι.
そこで、点Aに、与えられた直線ΒΓに等しい直線を置かなければならない。
ἐπεζεύχθω γὰρ ἀπὸ τοῦ Α σημείου ἐπὶ τὸ Β σημεῖον εὐθεῖα ἡ ΑΒ, καὶ συνεστάτω ἐπʼ αὐτῆς τρίγωνον ἰσόπλευρον τὸ ΔΑΒ, καὶ ἐκβεβλήσθωσαν ἐπʼ εὐθείας ταῖς ΔΑ, ΔΒ εὐθεῖαι αἱ ΑΕ, ΒΖ, καὶ κέντρῳ μὲν τῷ Β διαστήματι δὲ τῷ ΒΓ κύκλος γεγράφθω ὁ ΓΗΘ, καὶ πάλιν κέντρῳ τῷ Δ καὶ διαστήματι τῷ ΔΗ κύκλος γεγράφθω ὁ ΗΚΛ.
ἐπεὶ οὖν τὸ Β σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ ΓΗΘ κύκλου, ἴση ἐστὶν ἡ ΒΓ τῇ ΒΗ. πάλιν, ἐπεὶ τὸ Δ σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ ΚΛΗ κύκλου, ἴση ἐστὶν ἡ ΔΛ τῇ ΔΗ, ὧν ἡ ΔΑ τῇ ΔΒ ἴση ἐστίν.
なぜなら、点Aから点Bへ直線ΑΒが結ばれ、その上に正三角形ΔΑΒが構成されよ。 そして、直線ΔΑ, ΔΒの延長上に直線ΑΕ, ΒΖが引き伸ばされよ。 そして、Bを中心とし、 ΒΓを半径とする円ΓΗΘが描かれよ。 そしてさらに、Δを中心とし、ΔΗを半径とする円ΗΚΛが描かれよ。 そこで、点Bは円ΓΗΘの中心であるから、ΒΓはΒΗに等しい。 さらに、点 Δは円ΚΛΗの中心であるから、ΔΛはΔΗに等しい。 そしてそれらのうち、ΔΑはΔΒに等しい。
λοιπὴ ἄρα ἡ ΑΛ λοιπῇ τῇ ΒΗ ἐστὶν ἴση.
したがって、残りのΑΛは残りのΒΗに等しい。
ἐδείχθη δὲ καὶ ἡ ΒΓ τῇ ΒΗ ἴση·
だが、ΒΓもΒΗに等しいと示された。
ἑκατέρα ἄρα τῶν ΑΛ, ΒΓ τῇ ΒΗ ἐστὶν ἴση.
したがって、ΑΛ, ΒΓのそれぞれはΒΗに等しい。
τὰ δὲ τῷ αὐτῷ ἴσα καὶ ἀλλήλοις ἐστὶν ἴσα·
同じものに等しいものはまた互いに等しい。
καὶ ἡ ΑΛ ἄρα τῇ ΒΓ ἐστὶν ἴση.
それゆえ、ΑΛもΒΓに等しい。
πρὸς ἄρα τῷ δοθέντι σημείῳ τῷ Α τῇ δοθείσῃ εὐθείᾳ τῇ ΒΓ ἴση εὐθεῖα κεῖται ἡ ΑΛ·
したがって、与えられた点Aに、与えられた直線 ΒΓに等しい直線ΑΛが置かれている。
ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.
これこそ作図すべきものであった。
§1.prop.3δύο δοθεισῶν εὐθειῶν ἀνίσων ἀπὸ τῆς μείζονος τῇ ἐλάσσονι ἴσην εὐθεῖαν ἀφελεῖν.
与えられた二つの不等な直線のうち、大きい方から小さい方に等しい直線を切り取ること。
ἔστωσαν αἱ δοθεῖσαι δύο εὐθεῖαι ἄνισοι αἱ ΑΒ, Γ, ὧν μείζων ἔστω ἡ ΑΒ·
与えられた二つの不等な直線をΑΒ, Γとし、それらのうちΑΒを大きい方とせよ。
δεῖ δὴ ἀπὸ τῆς μείζονος τῆς ΑΒ τῇ ἐλάσσονι τῇ Γ ἴσην εὐθεῖαν ἀφελεῖν.
そこで、大きい方のΑΒから、小さい方のΓに等しい直線を切り取らなければならない。
κείσθω πρὸς τῷ Α σημείῳ τῇ Γ εὐθείᾳ ἴση ἡ ΑΔ·
点Aに、直線Γに等しいΑΔが置かれよ。
καὶ κέντρῳ μὲν τῷ Α διαστήματι δὲ τῷ ΑΔ κύκλος γεγράφθω ὁ ΔΕΖ.
καὶ ἐπεὶ τὸ Α σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ ΔΕΖ κύκλου, ἴση ἐστὶν ἡ ΑΕ τῇ ΑΔ·
そして、Aを中心とし、ΑΔを半径とする円 ΔΕΖが描かれよ。 そして、点Aは円ΔΕΖの中心であるから、ΑΕはΑΔに等しい。
ἀλλὰ καὶ ἡ Γ τῇ ΑΔ ἐστιν ἴση.
しかし、ΓもまたΑΔに等しい。
ἑκατέρα ἄρα τῶν ΑΕ, Γ τῇ ΑΔ ἐστιν ἴση·
したがって、ΑΕ, ΓのそれぞれはΑΔに等しい。
ὥστε καὶ ἡ ΑΕ τῇ Γ ἐστιν ἴση.
その結果、ΑΕもΓに等しい。
δύο ἄρα δοθεισῶν εὐθειῶν ἀνίσων τῶν ΑΒ, Γ ἀπὸ τῆς μείζονος τῆς ΑΒ τῇ ἐλάσσονι τῇ Γ ἴση ἀφῄρηται ἡ ΑΕ·
したがって、与えられた二つの不等な直線ΑΒ, Γのうち、大きい方のΑΒから、小さい方のΓに等しい［直線］ΑΕが切り取られた。
ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.
これこそ作図すべきものであった。