§1.prop.4ἐὰν δύο τρίγωνα τὰς δύο πλευρὰς δυσὶ πλευραῖς ἴσας ἔχῃ ἑκατέραν ἑκατέρᾳ καὶ τὴν γωνίαν τῇ γωνίᾳ ἴσην ἔχῃ τὴν ὑπὸ τῶν ἴσων εὐθειῶν περιεχομένην, καὶ τὴν βάσιν τῇ βάσει ἴσην ἕξει, καὶ τὸ τρίγωνον τῷ τριγώνῳ ἴσον ἔσται, καὶ αἱ λοιπαὶ γωνίαι ταῖς λοιπαῖς γωνίαις ἴσαι ἔσονται ἑκατέρα ἑκατέρᾳ, ὑφʼ ἃς αἱ ἴσαι πλευραὶ ὑποτείνουσιν.
만약 두 삼각형이 두 변을 각각 다른 두 변과 같게 하고, 그 같은 직선들에 의해 둘러싸인 각을 각과 같게 하면, 밑변도 밑변과 같을 것이고, 삼각형도 삼각형과 같을 것이며, 남은 각들도 남은 각들과 각각 같을 것인데, 이들은 같은 변들이 마주 보는 각들이다.
ἔστω δύο τρίγωνα τὰ ΑΒΓ, ΔΕΖ τὰς δύο πλευρὰς τὰς ΑΒ, ΑΓ ταῖς δυσὶ πλευραῖς ταῖς ΔΕ, ΔΖ ἴσας ἔχοντα ἑκατέραν ἑκατέρᾳ τὴν μὲν ΑΒ τῇ ΔΕ τὴν δὲ ΑΓ τῇ ΔΖ καὶ γωνίαν τὴν ὑπὸ ΒΑΓ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΕΔΖ ἴσην.
두 삼각형 ABC, DEF가 있어서, 두 변 AB, AC를 두 변 DE, DF와 각각 같게 하되, AB는 DE와 같고 AC는 DF와 같게 하며, 각 BAC를 각 EDF와 같게 한다고 하자.
λέγω, ὅτι καὶ βάσις ἡ ΒΓ βάσει τῇ ΕΖ ἴση ἐστίν, καὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΔΕΖ τριγώνῳ ἴσον ἔσται, καὶ αἱ λοιπαὶ γωνίαι ταῖς λοιπαῖς γωνίαις ἴσαι ἔσονται ἑκατέρα ἑκατέρᾳ, ὑφʼ ἃς αἱ ἴσαι πλευραὶ ὑποτείνουσιν, ἡ μὲν ὑπὸ ΑΒΓ τῇ ὑπὸ ΔΕΖ, ἡ δὲ ὑπὸ ΑΓΒ τῇ ὑπὸ ΔΖΕ.
Ἐφαρμοζομένου γὰρ τοῦ ΑΒΓ τριγώνου ἐπὶ τὸ ΔΕΖ τρίγωνον καὶ τιθεμένου τοῦ μὲν Α σημείου ἐπὶ τὸ Δ σημεῖον τῆς δὲ ΑΒ εὐθείας ἐπὶ τὴν ΔΕ, ἐφαρμόσει καὶ τὸ Β σημεῖον ἐπὶ τὸ Ε διὰ τὸ ἴσην εἶναι τὴν ΑΒ τῇ ΔΕ·
나는 말한다, 밑변 BC도 밑변 EF와 같고, 삼각형 ABC는 삼각형 DEF와 같을 것이며, 남은 각들도 남은 각들과 각각 같을 것인데, 이들은 같은 변들이 마주 보는 각들이니, 곧 각 ABC는 각 DEF와 같고, 각 ACB는 각 DFE와 같을 것이다.
ἐφαρμοσάσης δὴ τῆς ΑΒ ἐπὶ τὴν ΔΕ ἐφαρμόσει καὶ ἡ ΑΓ εὐθεῖα ἐπὶ τὴν ΔΖ διὰ τὸ ἴσην εἶναι τὴν ὑπὸ ΒΑΓ γωνίαν τῇ ὑπὸ ΕΔΖ·
왜냐하면 삼각형 ABC를 삼각형 DEF에 포개어 놓고, 점 A를 점 D 위에, 직선 AB를 직선 DE 위에 놓는다고 하면, AB가 DE와 같기 때문에 점 B도 점 E와 포개어질 것이다. 그러면 AB가 DE 위에 포개어지므로, 각 BAC가 각 EDF와 같기 때문에 직선 AC 도 직선 DF 위에 포개어질 것이다.
ὥστε καὶ τὸ Γ σημεῖον ἐπὶ τὸ Ζ σημεῖον ἐφαρμόσει διὰ τὸ ἴσην πάλιν εἶναι τὴν ΑΓ τῇ ΔΖ. ἀλλὰ μὴν καὶ τὸ Β ἐπὶ τὸ Ε ἐφηρμόκει·
그리하여 AC가 다시 DF와 같기 때문에 점 C도 점 F 위에 포개어질 것이다. 그런데 참으로 B도 E 위에 포개어졌었다.
ὥστε βάσις ἡ ΒΓ ἐπὶ βάσιν τὴν ΕΖ ἐφαρμόσει.
그러므로 밑변 BC는 밑변 EF 위에 포개어질 것이다.
εἰ γὰρ τοῦ μὲν Β ἐπὶ τὸ Ε ἐφαρμόσαντος τοῦ δὲ Γ ἐπὶ τὸ Ζ ἡ ΒΓ βάσις ἐπὶ τὴν ΕΖ οὐκ ἐφαρμόσει, δύο εὐθεῖαι χωρίον περιέξουσιν· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.
왜냐하면 만약 B가 E 위에 포개어지고 C가 F 위에 포개어졌는데도 밑변 BC가 EF 위에 포개어지지 않는다면, 두 직선이 영역을 둘러싸게 될 것인데, 이것은 불가능하다.
ἐφαρμόσει ἄρα ἡ ΒΓ βάσις ἐπὶ τὴν ΕΖ καὶ ἴση αὐτῇ ἔσται·
그러므로 밑변 BC는 EF 위에 포개어지고 이와 같을 것이다.
ὥστε καὶ ὅλον τὸ ΑΒΓ τρίγωνον ἐπὶ ὅλον τὸ ΔΕΖ τρίγωνον ἐφαρμόσει καὶ ἴσον αὐτῷ ἔσται, καὶ αἱ λοιπαὶ γωνίαι ἐπὶ τὰς λοιπὰς γωνίας ἐφαρμόσουσι καὶ ἴσαι αὐταῖς ἔσονται, ἡ μὲν ὑπὸ ΑΒΓ τῇ ὑπὸ ΔΕΖ ἡ δὲ ὑπὸ ΑΓΒ τῇ ὑπὸ ΔΖΕ.
ἐὰν ἄρα δύο τρίγωνα τὰς δύο πλευρὰς δύο πλευραῖς ἴσας ἔχῃ ἑκατέραν ἑκατέρᾳ καὶ τὴν γωνίαν τῇ γωνίᾳ ἴσην ἔχῃ τὴν ὑπὸ τῶν ἴσων εὐθειῶν περιεχομένην, καὶ τὴν βάσιν τῇ βάσει ἴσην ἕξει, καὶ τὸ τρίγωνον τῷ τριγώνῳ ἴσον ἔσται, καὶ αἱ λοιπαὶ γωνίαι ταῖς λοιπαῖς γωνίαις ἴσαι ἔσονται ἑκατέρα ἑκατέρᾳ, ὑφʼ ἃς αἱ ἴσαι πλευραὶ ὑποτείνουσιν·
그리하여 전체 삼각형 ABC도 전체 삼각형 DEF 위에 포개어지고 이와 같을 것이며, 남은 각들도 남은 각들 위에 포개어지고 그것들과 같을 것이니, 곧 각 ABC는 각 DEF와 같고, 각 ACB는 각 DFE와 같을 것이다. 그러므로 만약 두 삼각형이 두 변을 각각 두 변과 같게 하고, 그 같은 직선들에 의해 둘러싸인 각을 각과 같게 하면, 밑변도 밑변과 같을 것이고, 삼각형도 삼각형과 같을 것이며, 남은 각들도 남은 각들과 각각 같을 것인데, 이들은 같은 변들이 마주 보는 각들이다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
- 이것이 증명하고자 했던 일이다.