§1.prop.26ἐὰν δύο τρίγωνα τὰς δύο γωνίας δυσὶ γωνίαις ἴσας ἔχῃ ἑκατέραν ἑκατέρᾳ καὶ μίαν πλευρὰν μιᾷ πλευρᾷ ἴσην ἤτοι τὴν πρὸς ταῖς ἴσαις γωνίαις ἢ τὴν ὑποτείνουσαν ὑπὸ μίαν τῶν ἴσων γωνιῶν, καὶ τὰς λοιπὰς πλευρὰς ταῖς λοιπαῖς πλευραῖς ἴσας ἕξει καὶ τὴν λοιπὴν γωνίαν τῇ λοιπῇ γωνίᾳ.
もし二つの三角形が、二つの角を二つの角にそれぞれ等しく持ち、かつ一つの辺を一つの辺に等しく、すなわち、等しい角に挟まれた辺か、または等しい角の一つの下に対向する辺のいずれかを等しく持つならば、残りの辺も残りの辺に等しく、残りの角も残りの角に等しくなるであろう。
ἔστω δύο τρίγωνα τὰ ΑΒΓ, ΔΕΖ τὰς δύο γωνίας τὰς ὑπὸ ΑΒΓ, ΒΓΑ δυσὶ ταῖς ὑπὸ ΔΕΖ, ΕΖΔ ἴσας ἔχοντα ἑκατέραν ἑκατέρᾳ, τὴν μὲν ὑπὸ ΑΒΓ τῇ ὑπὸ ΔΕΖ, τὴν δὲ ὑπὸ ΒΓΑ τῇ ὑπὸ ΕΖΔ·
二つの三角形ΑΒΓ, ΔΕΖがあり、二つの角ΑΒΓ, ΒΓΑを二つの角ΔΕΖ, ΕΖΔにそれぞれ等しく持っている、すなわち角ΑΒΓは角ΔΕΖに、角ΒΓΑは角ΕΖΔに等しいとせよ。
ἐχέτω δὲ καὶ μίαν πλευρὰν μιᾷ πλευρᾷ ἴσην, πρότερον τὴν πρὸς ταῖς ἴσαις γωνίαις τὴν ΒΓ τῇ ΕΖ·
また、一つの辺も一つの辺に等しく持っているとし、まずは等しい角に挟まれた辺として、ΒΓがΕΖに等しいとせよ。
λέγω, ὅτι καὶ τὰς λοιπὰς πλευρὰς ταῖς λοιπαῖς πλευραῖς ἴσας ἕξει ἑκατέραν ἑκατέρᾳ, τὴν μὲν ΑΒ τῇ ΔΕ τὴν δὲ ΑΓ τῇ ΔΖ, καὶ τὴν λοιπὴν γωνίαν τῇ λοιπῇ γωνίᾳ, τὴν ὑπὸ ΒΑΓ τῇ ὑπὸ ΕΔΖ.
εἰ γὰρ ἄνισός ἐστιν ἡ ΑΒ τῇ ΔΕ, μία αὐτῶν μείζων ἐστίν.
私は言う、残りの辺も残りの辺にそれぞれ等しく、すなわちΑΒはΔΕに、ΑΓはΔΖに等しく、また残りの角も残りの角に等しい、すなわち角ΒΑΓは角ΕΔΖに等しくなるであろうと。 なぜなら、もしΑΒがΔΕと等しくないならば、それらのうちの一方が大きい。
ἔστω μείζων ἡ ΑΒ, καὶ κείσθω τῇ ΔΕ ἴση ἡ ΒΗ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΗΓ.
ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ΒΗ τῇ ΔΕ, ἡ δὲ ΒΓ τῇ ΕΖ, δύο δὴ αἱ ΒΗ, ΒΓ δυσὶ ταῖς ΔΕ, ΕΖ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ·
ΑΒが大きいとし、ΔΕに等しいΒΗが切り取られ、ΗΓが結ばれよ。 したがって、ΒΗはΔΕに等しく、ΒΓはΕΖに等しいから、二つのΒΗ, ΒΓは二つのΔΕ, ΕΖにそれぞれ等しい。
καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΗΒΓ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΔΕΖ ἴση ἐστίν·
そして、角ΗΒΓは角ΔΕΖに等しい。
βάσις ἄρα ἡ ΗΓ βάσει τῇ ΔΖ ἴση ἐστίν, καὶ τὸ ΗΒΓ τρίγωνον τῷ ΔΕΖ τριγώνῳ ἴσον ἐστίν, καὶ αἱ λοιπαὶ γωνίαι ταῖς λοιπαῖς γωνίαις ἴσαι ἔσονται, ὑφʼ ἃς αἱ ἴσαι πλευραὶ ὑποτείνουσιν·
したがって、底辺ΗΓは底辺ΔΖに等しく、三角形ΗΒΓは三角形ΔΕΖに等しく、また残りの角も残りの角、すなわち等しい辺が対向する角に等しくなる。
ἴση ἄρα ἡ ὑπὸ ΗΓΒ γωνία τῇ ὑπὸ ΔΖΕ. ἀλλὰ ἡ ὑπὸ ΔΖΕ τῇ ὑπὸ ΒΓΑ ὑπόκειται ἴση·
したがって、角ΗΓΒは角ΔΖΕに等しい。 しかし、角ΔΖΕは角ΒΓΑに等しいと仮定されている。
καὶ ἡ ὑπὸ ΒΓΗ ἄρα τῇ ὑπὸ ΒΓΑ ἴση ἐστίν, ἡ ἐλάσσων τῇ μείζονι·
したがって、角ΒΓΗも角ΒΓΑに等しく、小さい方が大きい方に等しいことになるが、これは不可能である。
ὅπερ ἀδύνατον. οὐκ ἄρα ἄνισός ἐστιν ἡ ΑΒ τῇ ΔΕ. ἴση ἄρα.
したがって、ΑΒはΔΕに等しくないということはない。 したがって等しい。
ἔστι δὲ καὶ ἡ ΒΓ τῇ ΕΖ ἴση·
そして、ΒΓもΕΖに等しい。
δύο δὴ αἱ ΑΒ, ΒΓ δυσὶ ταῖς ΔΕ, ΕΖ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ·
したがって、二つのΑΒ, ΒΓは二つのΔΕ, ΕΖにそれぞれ等しい。
καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΑΒΓ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΔΕΖ ἐστιν ἴση·
そして角ΑΒΓは角ΔΕΖに等しい。
βάσις ἄρα ἡ ΑΓ βάσει τῇ ΔΖ ἴση ἐστίν, καὶ λοιπὴ γωνία ἡ ὑπὸ ΒΑΓ τῇ λοιπῇ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΕΔΖ ἴση ἐστίν.
したがって、底辺 ΑΓは底辺ΔΖに等しく、残りの角ΒΑΓも残りの角ΕΔΖに等しい。
ἀλλὰ δὴ πάλιν ἔστωσαν αἱ ὑπὸ τὰς ἴσας γωνίας πλευραὶ ὑποτείνουσαι ἴσαι, ὡς ἡ ΑΒ τῇ ΔΕ·
しかしさらに、再び、等しい角に対向する辺が等しいとし、例えばΑΒがΔΕに等しいとせよ。
λέγω πάλιν, ὅτι καὶ αἱ λοιπαὶ πλευραὶ ταῖς λοιπαῖς πλευραῖς ἴσαι ἔσονται, ἡ μὲν ΑΓ τῇ ΔΖ, ἡ δὲ ΒΓ τῇ ΕΖ καὶ ἔτι ἡ λοιπὴ γωνία ἡ ὑπὸ ΒΑΓ τῇ λοιπῇ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΕΔΖ ἴση ἐστίν.
私は再び言う、残りの辺も残りの辺に等しく、つまりΑΓはΔΖに、ΒΓはΕΖに等しく、さらに残りの角ΒΑΓも残りの角ΕΔΖに等しいと。
εἰ γὰρ ἄνισός ἐστιν ἡ ΒΓ τῇ ΕΖ, μία αὐτῶν μείζων ἐστίν.
なぜなら、もしΒΓがΕΖに等しくないならば、それらのうちの一方が大きい。
ἔστω μείζων, εἰ δυνατόν, ἡ ΒΓ, καὶ κείσθω τῇ ΕΖ ἴση ἡ ΒΘ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΘ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ΒΘ τῇ ΕΖ ἡ δὲ ΑΒ τῇ ΔΕ, δύο δὴ αἱ ΑΒ, ΒΘ δυσὶ ταῖς ΔΕ, ΕΖ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ·
もし可能ならΒΓが大きいとし、ΕΖに等しいΒΘが切り取られ、ΑΘが結ばれよ。 そして、 ΒΘはΕΖに等しく、ΑΒはΔΕに等しいから、二つのΑΒ, ΒΘは二つのΔΕ, ΕΖにそれぞれ等しい。
καὶ γωνίας ἴσας περιέχουσιν·
そしてそれらは等しい角を挟んでいる。
βάσις ἄρα ἡ ΑΘ βάσει τῇ ΔΖ ἴση ἐστίν, καὶ τὸ ΑΒΘ τρίγωνον τῷ ΔΕΖ τριγώνῳ ἴσον ἐστίν, καὶ αἱ λοιπαὶ γωνίαι ταῖς λοιπαῖς γωνίαις ἴσαι ἔσονται, ὑφʼ ἃς αἱ ἴσαι πλευραὶ ὑποτείνουσιν·
したがって、底辺ΑΘは底辺ΔΖに等しく、三角形ΑΒΘは三角形ΔΕΖに等しく、また残りの角も残りの角、すなわち等しい辺が対向する角に等しくなる。
ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΒΘΑ γωνία τῇ ὑπὸ ΕΖΔ. ἀλλὰ ἡ ὑπὸ ΕΖΔ τῇ ὑπὸ ΒΓΑ ἐστιν ἴση·
したがって、角ΒΘΑは角ΕΖΔに等しい。 しかし、角ΕΖΔは角ΒΓΑに等しい。
τριγώνου δὴ τοῦ ΑΘΓ ἡ ἐκτὸς γωνία ἡ ὑπὸ ΒΘΑ ἴση ἐστὶ τῇ ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον τῇ ὑπὸ ΒΓΑ·
すると、三角形ΑΘΓの外角ΒΘΑが、内対角の角ΒΓΑに等しくなるが、これは不可能である。
ὅπερ ἀδύνατον. οὐκ ἄρα ἄνισός ἐστιν ἡ ΒΓ τῇ ΕΖ·
したがって、ΒΓはΕΖに等しくないということはない。
ἴση ἄρα.
したがって等しい。
ἐστὶ δὲ καὶ ἡ ΑΒ τῇ ΔΕ ἴση.
そして、ΑΒもΔΕに等しい。
δύο δὴ αἱ ΑΒ, ΒΓ δύο ταῖς ΔΕ, ΕΖ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ·
したがって、二つのΑΒ, ΒΓは二つのΔΕ, ΕΖにそれぞれ等しい。
καὶ γωνίας ἴσας περιέχουσι·
そしてそれらは等しい角を挟んでいる。
βάσις ἄρα ἡ ΑΓ βάσει τῇ ΔΖ ἴση ἐστίν, καὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΔΕΖ τριγώνῳ ἴσον καὶ λοιπὴ γωνία ἡ ὑπὸ ΒΑΓ τῇ λοιπῇ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΕΔΖ ἴση.
したがって、底辺ΑΓは底辺ΔΖに等しく、三角形ΑΒΓは三角形ΔΕΖに等しく、かつ残りの角ΒΑΓも残りの角ΕΔΖに等しい。
ἐὰν ἄρα δύο τρίγωνα τὰς δύο γωνίας δυσὶ γωνίαις ἴσας ἔχῃ ἑκατέραν ἑκατέρᾳ καὶ μίαν πλευρὰν μιᾷ πλευρᾷ ἴσην ἤτοι τὴν πρὸς ταῖς ἴσαις γωνίαις, ἢ τὴν ὑποτείνουσαν ὑπὸ μίαν τῶν ἴσων γωνιῶν, καὶ τὰς λοιπὰς πλευρὰς ταῖς λοιπαῖς πλευραῖς ἴσας ἕξει καὶ τὴν λοιπὴν γωνίαν τῇ λοιπῇ γωνίᾳ·
したがって、もし二つの三角形が、二つの角を二つの角にそれぞれ等しく持ち、かつ一つの辺を一つの辺に等しく、すなわち、等しい角に挟まれた辺か、または等しい角の一つの下に対向する辺のいずれかを等しく持つならば、残りの辺も残りの辺に等しく、残りの角も残りの角に等しくなるであろう。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これこそ示すべきことであった。