§1.prop.26ἐὰν δύο τρίγωνα τὰς δύο γωνίας δυσὶ γωνίαις ἴσας ἔχῃ ἑκατέραν ἑκατέρᾳ καὶ μίαν πλευρὰν μιᾷ πλευρᾷ ἴσην ἤτοι τὴν πρὸς ταῖς ἴσαις γωνίαις ἢ τὴν ὑποτείνουσαν ὑπὸ μίαν τῶν ἴσων γωνιῶν, καὶ τὰς λοιπὰς πλευρὰς ταῖς λοιπαῖς πλευραῖς ἴσας ἕξει καὶ τὴν λοιπὴν γωνίαν τῇ λοιπῇ γωνίᾳ.
만약 두 삼각형이 두 각을 두 각과 각각 같게 하고, 한 변을 한 변과 같게 하되, 등각들 사이에 끼인 변이나 또는 등각들 중 하나가 마주 보는 변 중 하나를 같게 하면, 나머지 변들도 나머지 변들과 각각 같을 것이며, 나머지 각도 나머지 각과 같을 것이다.
ἔστω δύο τρίγωνα τὰ ΑΒΓ, ΔΕΖ τὰς δύο γωνίας τὰς ὑπὸ ΑΒΓ, ΒΓΑ δυσὶ ταῖς ὑπὸ ΔΕΖ, ΕΖΔ ἴσας ἔχοντα ἑκατέραν ἑκατέρᾳ, τὴν μὲν ὑπὸ ΑΒΓ τῇ ὑπὸ ΔΕΖ, τὴν δὲ ὑπὸ ΒΓΑ τῇ ὑπὸ ΕΖΔ·
두 삼각형 ΑΒΓ, ΔΕΖ가 있어 두 각 ΑΒΓ, ΒΓΑ를 두 각 ΔΕΖ, ΕΖΔ와 각각 같게 하여, 각 ΑΒΓ는 각 ΔΕΖ와 같고, 각 ΒΓΑ는 각 ΕΖΔ와 같다고 하자.
ἐχέτω δὲ καὶ μίαν πλευρὰν μιᾷ πλευρᾷ ἴσην, πρότερον τὴν πρὸς ταῖς ἴσαις γωνίαις τὴν ΒΓ τῇ ΕΖ·
또한 한 변도 한 변과 같게 하여, 우선 등각들 사이에 끼인 변으로서 ΒΓ가 ΕΖ와 같다고 하자.
λέγω, ὅτι καὶ τὰς λοιπὰς πλευρὰς ταῖς λοιπαῖς πλευραῖς ἴσας ἕξει ἑκατέραν ἑκατέρᾳ, τὴν μὲν ΑΒ τῇ ΔΕ τὴν δὲ ΑΓ τῇ ΔΖ, καὶ τὴν λοιπὴν γωνίαν τῇ λοιπῇ γωνίᾳ, τὴν ὑπὸ ΒΑΓ τῇ ὑπὸ ΕΔΖ.
εἰ γὰρ ἄνισός ἐστιν ἡ ΑΒ τῇ ΔΕ, μία αὐτῶν μείζων ἐστίν.
나는 말한다, 나머지 변들도 나머지 변들과 각각 같아, ΑΒ는 ΔΕ와 같고 ΑΓ는 ΔΖ와 같으며, 나머지 각도 나머지 각과 같아, 각 ΒΑΓ는 각 ΕΔΖ와 같을 것이다. 왜냐하면 만약 ΑΒ가 ΔΕ와 같지 않다면, 그것들 중 하나가 더 크다.
ἔστω μείζων ἡ ΑΒ, καὶ κείσθω τῇ ΔΕ ἴση ἡ ΒΗ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΗΓ.
ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ΒΗ τῇ ΔΕ, ἡ δὲ ΒΓ τῇ ΕΖ, δύο δὴ αἱ ΒΗ, ΒΓ δυσὶ ταῖς ΔΕ, ΕΖ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ·
ΑΒ가 더 크다고 하고, ΔΕ와 같은 ΒΗ가 잘려 놓이게 하고, ΗΓ를 연결하자. 그러므로 ΒΗ는 ΔΕ와 같고, ΒΓ는 ΕΖ와 같으므로, 두 변 ΒΗ, ΒΓ는 두 변 ΔΕ, ΕΖ와 각각 같다.
καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΗΒΓ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΔΕΖ ἴση ἐστίν·
그리고 각 ΗΒΓ는 각 ΔΕΖ와 같다.
βάσις ἄρα ἡ ΗΓ βάσει τῇ ΔΖ ἴση ἐστίν, καὶ τὸ ΗΒΓ τρίγωνον τῷ ΔΕΖ τριγώνῳ ἴσον ἐστίν, καὶ αἱ λοιπαὶ γωνίαι ταῖς λοιπαῖς γωνίαις ἴσαι ἔσονται, ὑφʼ ἃς αἱ ἴσαι πλευραὶ ὑποτείνουσιν·
그러므로 밑변 ΗΓ는 밑변 ΔΖ와 같고, 삼각형 ΗΒΓ는 삼각형 ΔΕΖ와 같으며, 나머지 각들도 나머지 각들, 즉 같은 변들이 마주 보는 각들과 각각 같을 것이다.
ἴση ἄρα ἡ ὑπὸ ΗΓΒ γωνία τῇ ὑπὸ ΔΖΕ. ἀλλὰ ἡ ὑπὸ ΔΖΕ τῇ ὑπὸ ΒΓΑ ὑπόκειται ἴση·
그러므로 각 ΗΓΒ는 각 ΔΖΕ와 같다. 그런데 각 ΔΖΕ는 각 ΒΓΑ와 같다고 가정되었다.
καὶ ἡ ὑπὸ ΒΓΗ ἄρα τῇ ὑπὸ ΒΓΑ ἴση ἐστίν, ἡ ἐλάσσων τῇ μείζονι·
그러므로 각 ΒΓΗ 역시 각 ΒΓΑ와 같게 되어, 더 작은 각이 더 큰 각과 같게 되는데, 이것은 불가능하다.
ὅπερ ἀδύνατον. οὐκ ἄρα ἄνισός ἐστιν ἡ ΑΒ τῇ ΔΕ. ἴση ἄρα.
그러므로 ΑΒ가 ΔΕ와 같지 않다는 것은 성립하지 않는다. 그러므로 같다.
ἔστι δὲ καὶ ἡ ΒΓ τῇ ΕΖ ἴση·
그리고 ΒΓ 역시 ΕΖ와 같다.
δύο δὴ αἱ ΑΒ, ΒΓ δυσὶ ταῖς ΔΕ, ΕΖ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ·
그러므로 두 변 ΑΒ, ΒΓ는 두 변 ΔΕ, ΕΖ와 각각 같다.
καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΑΒΓ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΔΕΖ ἐστιν ἴση·
그리고 각 ΑΒΓ는 각 ΔΕΖ와 같다.
βάσις ἄρα ἡ ΑΓ βάσει τῇ ΔΖ ἴση ἐστίν, καὶ λοιπὴ γωνία ἡ ὑπὸ ΒΑΓ τῇ λοιπῇ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΕΔΖ ἴση ἐστίν.
그러므로 밑변 ΑΓ는 밑변 ΔΖ와 같고, 나머지 각 ΒΑΓ 역시 나머지 각 ΕΔΖ와 같다.
ἀλλὰ δὴ πάλιν ἔστωσαν αἱ ὑπὸ τὰς ἴσας γωνίας πλευραὶ ὑποτείνουσαι ἴσαι, ὡς ἡ ΑΒ τῇ ΔΕ·
그러나 다시, 등각들을 마주 보는 변들이 같다고 하여, 이를테면 ΑΒ가 ΔΕ와 같다고 하자.
λέγω πάλιν, ὅτι καὶ αἱ λοιπαὶ πλευραὶ ταῖς λοιπαῖς πλευραῖς ἴσαι ἔσονται, ἡ μὲν ΑΓ τῇ ΔΖ, ἡ δὲ ΒΓ τῇ ΕΖ καὶ ἔτι ἡ λοιπὴ γωνία ἡ ὑπὸ ΒΑΓ τῇ λοιπῇ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΕΔΖ ἴση ἐστίν.
나는 다시 말한다, 나머지 변들도 나머지 변들과 각각 같아, ΑΓ는 ΔΖ와 같고, ΒΓ는 ΕΖ와 같으며, 나아가 나머지 각 ΒΑΓ 역시 나머지 각 ΕΔΖ와 같을 것이다.
εἰ γὰρ ἄνισός ἐστιν ἡ ΒΓ τῇ ΕΖ, μία αὐτῶν μείζων ἐστίν.
왜냐하면 만약 ΒΓ가 ΕΖ와 같지 않다면, 그것들 중 하나가 더 크다.
ἔστω μείζων, εἰ δυνατόν, ἡ ΒΓ, καὶ κείσθω τῇ ΕΖ ἴση ἡ ΒΘ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΘ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ΒΘ τῇ ΕΖ ἡ δὲ ΑΒ τῇ ΔΕ, δύο δὴ αἱ ΑΒ, ΒΘ δυσὶ ταῖς ΔΕ, ΕΖ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ·
가능하다면 ΒΓ가 더 크다고 하고, ΕΖ와 같은 ΒΘ가 잘려 놓이게 하고, ΑΘ를 연결하자. 그리고 ΒΘ가 ΕΖ와 같고 ΑΒ가 ΔΕ와 같으므로, 두 변 ΑΒ, ΒΘ는 두 변 ΔΕ, ΕΖ와 각각 같다.
καὶ γωνίας ἴσας περιέχουσιν·
그리고 그것들은 같은 각을 끼고 있다.
βάσις ἄρα ἡ ΑΘ βάσει τῇ ΔΖ ἴση ἐστίν, καὶ τὸ ΑΒΘ τρίγωνον τῷ ΔΕΖ τριγώνῳ ἴσον ἐστίν, καὶ αἱ λοιπαὶ γωνίαι ταῖς λοιπαῖς γωνίαις ἴσαι ἔσονται, ὑφʼ ἃς αἱ ἴσαι πλευραὶ ὑποτείνουσιν·
그러므로 밑변 ΑΘ는 밑변 ΔΖ와 같고, 삼각형 ΑΒΘ는 삼각형 ΔΕΖ와 같으며, 나머지 각들도 나머지 각들, 즉 같은 변들이 마주 보는 각들과 각각 같을 것이다.
ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΒΘΑ γωνία τῇ ὑπὸ ΕΖΔ. ἀλλὰ ἡ ὑπὸ ΕΖΔ τῇ ὑπὸ ΒΓΑ ἐστιν ἴση·
그러므로 각 ΒΘΑ는 각 ΕΖΔ와 같다. 그런데 각 ΕΖΔ는 각 ΒΓΑ와 같다.
τριγώνου δὴ τοῦ ΑΘΓ ἡ ἐκτὸς γωνία ἡ ὑπὸ ΒΘΑ ἴση ἐστὶ τῇ ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον τῇ ὑπὸ ΒΓΑ·
그러면 삼각형 ΑΘΓ에서 외각 ΒΘΑ가 내대각인 각 ΒΓΑ와 같게 되는데, 이것은 불가능하다.
ὅπερ ἀδύνατον. οὐκ ἄρα ἄνισός ἐστιν ἡ ΒΓ τῇ ΕΖ·
그러므로 ΒΓ가 ΕΖ와 같지 않다는 것은 성립하지 않는다.
ἴση ἄρα.
그러므로 같다.
ἐστὶ δὲ καὶ ἡ ΑΒ τῇ ΔΕ ἴση.
그리고 ΑΒ 역시 ΔΕ와 같다.
δύο δὴ αἱ ΑΒ, ΒΓ δύο ταῖς ΔΕ, ΕΖ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ·
그러므로 두 변 ΑΒ, ΒΓ는 두 변 ΔΕ, ΕΖ와 각각 같다.
καὶ γωνίας ἴσας περιέχουσι·
그리고 그것들은 같은 각을 끼고 있다.
βάσις ἄρα ἡ ΑΓ βάσει τῇ ΔΖ ἴση ἐστίν, καὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΔΕΖ τριγώνῳ ἴσον καὶ λοιπὴ γωνία ἡ ὑπὸ ΒΑΓ τῇ λοιπῇ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΕΔΖ ἴση.
그러므로 밑변 ΑΓ는 밑변 ΔΖ와 같고, 삼각형 ΑΒΓ는 삼각형 ΔΕΖ와 같으며, 나머지 각 ΒΑΓ 역시 나머지 각 ΕΔΖ와 같다.
ἐὰν ἄρα δύο τρίγωνα τὰς δύο γωνίας δυσὶ γωνίαις ἴσας ἔχῃ ἑκατέραν ἑκατέρᾳ καὶ μίαν πλευρὰν μιᾷ πλευρᾷ ἴσην ἤτοι τὴν πρὸς ταῖς ἴσαις γωνίαις, ἢ τὴν ὑποτείνουσαν ὑπὸ μίαν τῶν ἴσων γωνιῶν, καὶ τὰς λοιπὰς πλευρὰς ταῖς λοιπαῖς πλευραῖς ἴσας ἕξει καὶ τὴν λοιπὴν γωνίαν τῇ λοιπῇ γωνίᾳ·
그러므로 만약 두 삼각형이 두 각을 두 각과 각각 같게 하고, 한 변을 한 변과 같게 하되, 등각들 사이에 끼인 변이나 또는 등각들 중 하나가 마주 보는 변 중 하나를 같게 하면, 나머지 변들도 나머지 변들과 각각 같을 것이며, 나머지 각도 나머지 각과 같을 것이다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
- 이것이 증명하고자 했던 일이다.