§1.prop.24ἐὰν δύο τρίγωνα τὰς δύο πλευρὰς δύο πλευραῖς ἴσας ἔχῃ ἑκατέραν ἑκατέρᾳ, τὴν δὲ γωνίαν τῆς γωνίας μείζονα ἔχῃ τὴν ὑπὸ τῶν ἴσων εὐθειῶν περιεχομένην, καὶ τὴν βάσιν τῆς βάσεως μείζονα ἕξει.
もし二つの三角形が、二つの辺を［他の三角形の］二つの辺にそれぞれ等しく持ち、等しい直線によって挟まれた角を［他方の］角よりも大きく持つならば、底辺も［他方の］底辺よりも大きくなるであろう。
ἔστω δύο τρίγωνα τὰ ΑΒΓ, ΔΕΖ τὰς δύο πλευρὰς τὰς ΑΒ, ΑΓ ταῖς δύο πλευραῖς ταῖς ΔΕ, ΔΖ ἴσας ἔχοντα ἑκατέραν ἑκατέρᾳ, τὴν μὲν ΑΒ τῇ ΔΕ τὴν δὲ ΑΓ τῇ ΔΖ, ἡ δὲ πρὸς τῷ Α γωνία τῆς πρὸς τῷ Δ γωνίας μείζων ἔστω·
二つの三角形ΑΒΓ, ΔΕΖがあり、二つの辺ΑΒ, ΑΓを二つの辺ΔΕ, ΔΖにそれぞれ等しく持っている、すなわちΑΒはΔΕに、ΑΓはΔΖに等しいとし、Αにおける角はΔにおける角よりも大きいとせよ。
λέγω, ὅτι καὶ βάσις ἡ ΒΓ βάσεως τῆς ΕΖ μείζων ἐστίν.
私は言う、底辺ΒΓも底辺ΕΖより大きいと。
ἐπεὶ γὰρ μείζων ἡ ὑπὸ ΒΑΓ γωνία τῆς ὑπὸ ΕΔΖ γωνίας, συνεστάτω πρὸς τῇ ΔΕ εὐθείᾳ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ Δ τῇ ὑπὸ ΒΑΓ γωνίᾳ ἴση ἡ ὑπὸ ΕΔΗ, καὶ κείσθω ὁποτέρᾳ τῶν ΑΓ, ΔΖ ἴση ἡ ΔΗ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΕΗ, ΖΗ.
ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ΑΒ τῇ ΔΕ, ἡ δὲ ΑΓ τῇ ΔΗ, δύο δὴ αἱ ΒΑ, ΑΓ δυσὶ ταῖς ΕΔ, ΔΗ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ·
なぜなら、角ΒΑΓは角ΕΔΖよりも大きいから、直線ΔΕの上で、かつその上の点Δにおいて、角ΒΑΓに等しい角ΕΔΗが構成され、ΑΓ, ΔΖのいずれか一方に等しいΔΗが置かれ、 ΕΗ, ΖΗが結ばれよ。 したがって、ΑΒはΔΕに等しく、ΑΓはΔΗに等しいから、二つのΒΑ, ΑΓは二つのΕΔ, ΔΗにそれぞれ等しい。
καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΒΑΓ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΕΔΗ ἴση·
そして角ΒΑΓは角ΕΔΗに等しい。
βάσις ἄρα ἡ ΒΓ βάσει τῇ ΕΗ ἐστιν ἴση.
したがって、底辺ΒΓは底辺ΕΗに等しい。
πάλιν, ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΔΖ τῇ ΔΗ, ἴση ἐστὶ καὶ ἡ ὑπὸ ΔΗΖ γωνία τῇ ὑπὸ ΔΖΗ·
再び、ΔΖはΔΗに等しいから、角ΔΗΖも角ΔΖΗに等しい。
μείζων ἄρα ἡ ὑπὸ ΔΖΗ τῆς ὑπὸ ΕΗΖ·
したがって、角ΔΖΗは角 ΕΗΖよりも大きい。
πολλῷ ἄρα μείζων ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΕΖΗ τῆς ὑπὸ ΕΗΖ. καὶ ἐπεὶ τρίγωνόν ἐστι τὸ ΕΖΗ μείζονα ἔχον τὴν ὑπὸ ΕΖΗ γωνίαν τῆς ὑπὸ ΕΗΖ, ὑπὸ δὲ τὴν μείζονα γωνίαν ἡ μείζων πλευρὰ ὑποτείνει, μείζων ἄρα καὶ πλευρὰ ἡ ΕΗ τῆς ΕΖ. ἴση δὲ ἡ ΕΗ τῇ ΒΓ·
したがって、角ΕΖΗは角ΕΗΖよりもはるかに大きい。 そして、ΕΖΗは、角ΕΖΗを角ΕΗΖよりも大きく持つ三角形であり、大きな角に対しては大きな辺が対するから、辺ΕΗもΕΖより大きい。 しかし、ΕΗはΒΓに等しい。
μείζων ἄρα καὶ ἡ ΒΓ τῆς ΕΖ.
ἐὰν ἄρα δύο τρίγωνα τὰς δύο πλευρὰς δυσὶ πλευραῖς ἴσας ἔχῃ ἑκατέραν ἑκατέρᾳ, τὴν δὲ γωνίαν τῆς γωνίας μείζονα ἔχῃ τὴν ὑπὸ τῶν ἴσων εὐθειῶν περιεχομένην, καὶ τὴν βάσιν τῆς βάσεως μείζονα ἕξει·
したがって、 ΒΓもΕΖよりも大きい。 したがって、もし二つの三角形が、二つの辺を二つの辺にそれぞれ等しく持ち、等しい直線によって挟まれた角を［他方の］角よりも大きく持つならば、底辺も底辺よりも大きくなるであろう。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これこそ示すべきことであった。
§1.prop.25ἐὰν δύο τρίγωνα τὰς δύο πλευρὰς δυσὶ πλευραῖς ἴσας ἔχῃ ἑκατέραν ἑκατέρᾳ, τὴν δὲ βάσιν τῆς βάσεως μείζονα ἔχῃ, καὶ τὴν γωνίαν τῆς γωνίας μείζονα ἕξει τὴν ὑπὸ τῶν ἴσων εὐθειῶν περιεχομένην.
もし二つの三角形が、二つの辺を二つの辺にそれぞれ等しく持ち、底辺を底辺よりも大きく持つならば、等しい直線によって挟まれた角も［他方の］角よりも大きくなるであろう。
ἔστω δύο τρίγωνα τὰ ΑΒΓ, ΔΕΖ τὰς δύο πλευρὰς τὰς ΑΒ, ΑΓ ταῖς δύο πλευραῖς ταῖς ΔΕ, ΔΖ ἴσας ἔχοντα ἑκατέραν ἑκατέρᾳ, τὴν μὲν ΑΒ τῇ ΔΕ, τὴν δὲ ΑΓ τῇ ΔΖ· βάσις δὲ ἡ ΒΓ βάσεως τῆς ΕΖ μείζων ἔστω·
二つの三角形ΑΒΓ, ΔΕΖがあり、二つの辺ΑΒ, ΑΓを二つの辺ΔΕ, ΔΖにそれぞれ等しく持っている、すなわちΑΒはΔΕに、ΑΓはΔΖに等しいとし、底辺ΒΓは底辺ΕΖよりも大きいとせよ。
λέγω, ὅτι καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΒΑΓ γωνίας τῆς ὑπὸ ΕΔΖ μείζων ἐστίν·
私は言う、角ΒΑΓも角ΕΔΖより大きいと。
εἰ γὰρ μή, ἤτοι ἴση ἐστὶν αὐτῇ ἢ ἐλάσσων·
なぜなら、もしそうでなければ、それは［他方に］等しいか、または小さいかのいずれかである。
ἴση μὲν οὖν οὐκ ἔστιν ἡ ὑπὸ ΒΑΓ τῇ ὑπὸ ΕΔΖ·
しかし、角ΒΑΓは角ΕΔΖに等しくはない。
ἴση γὰρ ἂν ἦν καὶ βάσις ἡ ΒΓ βάσει τῇ ΕΖ·
なぜなら、もし等しかったなら、底辺 ΒΓも底辺ΕΖに等しかったであろうから。
οὐκ ἔστι δέ.
しかし、等しくはない。
οὐκ ἄρα ἴση ἐστὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΒΑΓ τῇ ὑπὸ ΕΔΖ·
したがって、角ΒΑΓは角ΕΔΖに等しくはない。
οὐδὲ μὴν ἐλάσσων ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΒΑΓ τῆς ὑπὸ ΕΔΖ·
また、角ΒΑΓは角ΕΔΖよりも小さくもない。
ἐλάσσων γὰρ ἂν ἦν καὶ βάσις ἡ ΒΓ βάσεως τῆς ΕΖ·
なぜなら、もし小さかったなら、底辺ΒΓも底辺ΕΖよりも小さかったであろうから。
οὐκ ἔστι δέ·
しかし、小さくはない。
οὐκ ἄρα ἐλάσσων ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΒΑΓ γωνία τῆς ὑπὸ ΕΔΖ. ἐδείχθη δὲ ὅτι οὐδὲ ἴση·
したがって、角ΒΑΓは角ΕΔΖよりも小さくはない。 そして、等しくもないことが示された。
μείζων ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΒΑΓ τῆς ὑπὸ ΕΔΖ.
ἐὰν ἄρα δύο τρίγωνα τὰς δύο πλευρὰς δυσὶ πλευραῖς ἴσας ἔχῃ ἑκατέραν ἑκάτερᾳ, τὴν δὲ βάσιν τῆς βάσεως μείζονα ἔχῃ, καὶ τὴν γωνίαν τῆς γωνίας μείζονα ἕξει τὴν ὑπὸ τῶν ἴσων εὐθειῶν περιεχομένην·
したがって、角ΒΑΓは角ΕΔΖよりも大きい。 したがって、もし二つの三角形が、二つの辺を二つの辺にそれぞれ等しく持ち、底辺を底辺よりも大きく持つならば、等しい直線によって挟まれた角も［他方の］角よりも大きくなるであろう。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これこそ示すべきことであった。