§1.prop.19παντὸς τριγώνου ὑπὸ τὴν μείζονα γωνίαν ἡ μείζων πλευρὰ ὑποτείνει.
いかなる三角形においても、大きい方の角には、大きい方の辺が対向する。
ἔστω τρίγωνον τὸ ΑΒΓ μείζονα ἔχον τὴν ὑπὸ ΑΒΓ γωνίαν τῆς ὑπὸ ΒΓΑ·
三角形ΑΒΓは、角ΑΒΓが角ΒΓΑよりも大きいものとせよ。
λέγω, ὅτι καὶ πλευρὰ ἡ ΑΓ πλευρᾶς τῆς ΑΒ μείζων ἐστίν.
私は言う、辺ΑΓも辺ΑΒよりも大きいと。
εἰ γὰρ μή, ἤτοι ἴση ἐστὶν ἡ ΑΓ τῇ ΑΒ ἢ ἐλάσσων·
なぜなら、もしそうでなければ、ΑΓはΑΒに等しいか、または小さいかのいずれかである。
ἴση μὲν οὖν οὐκ ἔστιν ἡ ΑΓ τῇ ΑΒ·
さて、ΑΓはΑΒに等しくはない。
ἴση γὰρ ἂν ἦν καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΑΒΓ τῇ ὑπὸ ΑΓΒ·
なぜなら、もし等しいならば、角ΑΒΓも角ΑΓΒに等しかったであろうからである。
οὐκ ἔστι δέ·
しかし［実際には］そうではない。
οὐκ ἄρα ἴση ἐστὶν ἡ ΑΓ τῇ ΑΒ. οὐδὲ μὴν ἐλάσσων ἐστὶν ἡ ΑΓ τῆς ΑΒ·
したがってΑΓはΑΒに等しくはない。 また、ΑΓがΑΒよりも小さいことも決してない。
ἐλάσσων γὰρ ἂν ἦν καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΑΒΓ τῆς ὑπὸ ΑΓΒ·
なぜなら、もし小さいならば、角ΑΒΓも角ΑΓΒよりも小さかったであろうからである。
οὐκ ἔστι δέ·
しかし［実際には］そうではない。
οὐκ ἄρα ἐλάσσων ἐστὶν ἡ ΑΓ τῆς ΑΒ. ἐδείχθη δέ, ὅτι οὐδὲ ἴση ἐστίν.
したがってΑΓはΑΒよりも小さくはない。 そして、等しくもないことが示されていた。
μείζων ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΓ τῆς ΑΒ.
παντὸς ἄρα τριγώνου ὑπὸ τὴν μείζονα γωνίαν ἡ μείζων πλευρὰ ὑποτείνει·
したがって、 ΑΓはΑΒよりも大きい。 したがって、いかなる三角形においても、大きい方の角には、大きい方の辺が対向する。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これこそ示すべきことであった。
§1.prop.20παντὸς τριγώνου αἱ δύο πλευραὶ τῆς λοιπῆς μείζονές εἰσι πάντῃ μεταλαμβανόμεναι.
いかなる三角形においても、二つの辺は、どのようにとっても、残りの［一辺］よりも大きい。
ἔστω γὰρ τρίγωνον τὸ ΑΒΓ· λέγω, ὅτι τοῦ ΑΒΓ τριγώνου αἱ δύο πλευραὶ τῆς λοιπῆς μείζονές εἰσι πάντῃ μεταλαμβανόμεναι, αἱ μὲν ΒΑ, ΑΓ τῆς ΒΓ, αἱ δὲ ΑΒ, ΒΓ τῆς ΑΓ, αἱ δὲ ΒΓ, ΓΑ τῆς ΑΒ.
διήχθω γὰρ ἡ ΒΑ ἐπὶ τὸ Δ σημεῖον, καὶ κείσθω τῇ ΓΑ ἴση ἡ ΑΔ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΔΓ.
ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ΔΑ τῇ ΑΓ, ἴση ἐστὶ καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΑΔΓ τῇ ὑπὸ ΑΓΔ·
なぜなら、三角形ΑΒΓがあるとし、私は言う、三角形ΑΒΓの二つの辺は、残りの［一辺］よりもどのようにとっても大きい、すなわちΒΑ, ΑΓはΒΓよりも、ΑΒ, ΒΓはΑΓよりも、ΒΓ, ΓΑはΑΒよりも大きいと。 なぜなら、ΒΑが点Δまで延長され、ΓΑに等しいΑΔが置かれ、ΔΓが結ばれよ。 したがって、ΔΑがΑΓに等しいから、角ΑΔΓも角ΑΓΔに等しい。
μείζων ἄρα ἡ ὑπὸ ΒΓΔ τῆς ὑπὸ ΑΔΓ·
したがって、角ΒΓΔは角ΑΔΓよりも大きい。
καὶ ἐπεὶ τρίγωνόν ἐστι τὸ ΔΓΒ μείζονα ἔχον τὴν ὑπὸ ΒΓΔ γωνίαν τῆς ὑπὸ ΒΔΓ, ὑπὸ δὲ τὴν μείζονα γωνίαν ἡ μείζων πλευρὰ ὑποτείνει, ἡ ΔΒ ἄρα τῆς ΒΓ ἐστι μείζων.
そして、三角形ΔΓΒは、角ΒΓΔを角ΒΔΓよりも大きく持っており、かつ大きい方の角には大きい方の辺が対向するから、したがってΔΒはΒΓよりも大きい。
ἴση δὲ ἡ ΔΑ τῇ ΑΓ·
しかしΔΑはΑΓに等しい。
μείζονες ἄρα αἱ ΒΑ, ΑΓ τῆς ΒΓ·
したがってΒΑ, ΑΓはΒΓよりも大きい。
ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ αἱ μὲν ΑΒ, ΒΓ τῆς ΓΑ μείζονές εἰσιν, αἱ δὲ ΒΓ, ΓΑ τῆς ΑΒ.
παντὸς ἄρα τριγώνου αἱ δύο πλευραὶ τῆς λοιπῆς μείζονές εἰσι πάντῃ μεταλαμβανόμεναι·
同様にして、ΑΒ, ΒΓがΓΑよりも大きく、ΒΓ, ΓΑがΑΒよりも大きいことも示すであろう。 したがって、いかなる三角形においても、二つの辺は、どのようにとっても、残りの［一辺］よりも大きい。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これこそ示すべきことであった。
§1.prop.21ἐὰν τριγώνου ἐπὶ μιᾶς τῶν πλευρῶν ἀπὸ τῶν περάτων δύο εὐθεῖαι ἐντὸς συσταθῶσιν, αἱ συσταθεῖσαι τῶν λοιπῶν τοῦ τριγώνου δύο πλευρῶν ἐλάττονες μὲν ἔσονται, μείζονα δὲ γωνίαν περιέξουσιν.
もし三角形の辺の一つにおいて、端点から二つの直線が内部に建設されるならば、そのように建設された［二線］は、三角形の残りの二つの辺よりも小さいが、より大きい角を囲むであろう。
τριγώνου γὰρ τοῦ ΑΒΓ ἐπὶ μιᾶς τῶν πλευρῶν τῆς ΒΓ ἀπὸ τῶν περάτων τῶν Β, Γ δύο εὐθεῖαι ἐντὸς συνεστάτωσαν αἱ ΒΔ, ΔΓ·
なぜなら、三角形ΑΒΓの辺の一つであるΒΓの上で、端点Β, Γから二つの直線ΒΔ, ΔΓが内部に建設されたとせよ。
λέγω, ὅτι αἱ ΒΔ, ΔΓ τῶν λοιπῶν τοῦ τριγώνου δύο πλευρῶν τῶν ΒΑ, ΑΓ ἐλάσσονες μέν εἰσιν, μείζονα δὲ γωνίαν περιέχουσι τὴν ὑπὸ ΒΔΓ τῆς ὑπὸ ΒΑΓ.
διήχθω γὰρ ἡ ΒΔ ἐπὶ τὸ Ε. καὶ ἐπεὶ παντὸς τριγώνου αἱ δύο πλευραὶ τῆς λοιπῆς μείζονές εἰσιν, τοῦ ΑΒΕ ἄρα τριγώνου αἱ δύο πλευραὶ αἱ ΑΒ, ΑΕ τῆς ΒΕ μείζονές εἰσιν·
私は言う、ΒΔ, ΔΓは三角形の残りの二つの辺であるΒΑ, ΑΓよりも小さく、かつ角ΒΔΓは角ΒΑΓよりも大きい角を囲んでいると。 なぜなら、ΒΔが［点］Εまで延長されよ。 そして、いかなる三角形においても二つの辺は残りの［一辺］よりも大きいから、三角形ΑΒΕの二つの辺ΑΒ, ΑΕはΒΕよりも大きい。
κοινὴ προσκείσθω ἡ ΕΓ·
共通の［辺］ΕΓが加えられよ。
αἱ ἄρα ΒΑ, ΑΓ τῶν ΒΕ, ΕΓ μείζονές εἰσιν.
したがって、［辺］ΒΑ, ΑΓはΒΕ, ΕΓよりも大きい。
πάλιν, ἐπεὶ τοῦ ΓΕΔ τριγώνου αἱ δύο πλευραὶ αἱ ΓΕ, ΕΔ τῆς ΓΔ μείζονές εἰσιν, κοινὴ προσκείσθω ἡ ΔΒ·
再び、三角形ΓΕΔの二つの辺ΓΕ, ΕΔはΓΔよりも大きいから、共通の［辺］ΔΒが加えられよ。
αἱ ΓΕ, ΕΒ ἄρα τῶν ΓΔ, ΔΒ μείζονές εἰσιν.
したがって、［辺］ΓΕ, ΕΒはΓΔ, ΔΒよりも大きい。
ἀλλὰ τῶν ΒΕ, ΕΓ μείζονες ἐδείχθησαν αἱ ΒΑ, ΑΓ·
しかし、［辺］ΒΑ, ΑΓはΒΕ, ΕΓよりも大きいことが示されていた。
πολλῷ ἄρα αἱ ΒΑ, ΑΓ τῶν ΒΔ, ΔΓ μείζονές εἰσιν.
したがって、はるかに［辺］ΒΑ, ΑΓはΒΔ, ΔΓよりも大きい。
πάλιν, ἐπεὶ παντὸς τριγώνου ἡ ἐκτὸς γωνία τῆς ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον μείζων ἐστίν, τοῦ ΓΔΕ ἄρα τριγώνου ἡ ἐκτὸς γωνία ἡ ὑπὸ ΒΔΓ μείζων ἐστὶ τῆς ὑπὸ ΓΕΔ. διὰ ταὐτὰ τοίνυν καὶ τοῦ ΑΒΕ τριγώνου ἡ ἐκτὸς γωνία ἡ ὑπὸ ΓΕΒ μείζων ἐστὶ τῆς ὑπὸ ΒΑΓ. ἀλλὰ τῆς ὑπὸ ΓΕΒ μείζων ἐδείχθη ἡ ὑπὸ ΒΔΓ·
再び、いかなる三角形においても外角は内対角よりも大きいから、三角形ΓΔΕの外角である角ΒΔΓは、角ΓΕΔよりも大きい。 それゆえ同じ理由により、三角形ΑΒΕの外角である角ΓΕΒも角ΒΑΓよりも大きい。 しかし、角ΒΔΓは角ΓΕΒよりも大きいことが示されていた。
πολλῷ ἄρα ἡ ὑπὸ ΒΔΓ μείζων ἐστὶ τῆς ὑπὸ ΒΑΓ.
ἐὰν ἄρα τριγώνου ἐπὶ μιᾶς τῶν πλευρῶν ἀπὸ τῶν περάτων δύο εὐθεῖαι ἐντὸς συσταθῶσιν, αἱ συσταθεῖσαι τῶν λοιπῶν τοῦ τριγώνου δύο πλευρῶν ἐλάττονες μέν εἰσιν, μείζονα δὲ γωνίαν περιέχουσιν·
したがって、はるかに角 ΒΔΓは角ΒΑΓよりも大きい。 もししたがって三角形の辺の一つにおいて、端点から二つの直線が内部に建設されるならば、そのように建設された［二線］は、三角形の残りの二つの辺よりも小さく、かつ、より大きい角を囲む。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これこそ示すべきことであった。