§1.prop.19παντὸς τριγώνου ὑπὸ τὴν μείζονα γωνίαν ἡ μείζων πλευρὰ ὑποτείνει.
임의의 삼각형에서 더 큰 각은 더 큰 변을 대면한다.
ἔστω τρίγωνον τὸ ΑΒΓ μείζονα ἔχον τὴν ὑπὸ ΑΒΓ γωνίαν τῆς ὑπὸ ΒΓΑ·
삼각행 ABC는 각 ABC가 BCA보다 큰 것이라고 하자.
λέγω, ὅτι καὶ πλευρὰ ἡ ΑΓ πλευρᾶς τῆς ΑΒ μείζων ἐστίν.
나는 말한다, 변 AC 역시 변 AB보다 크다고.
εἰ γὰρ μή, ἤτοι ἴση ἐστὶν ἡ ΑΓ τῇ ΑΒ ἢ ἐλάσσων·
왜냐하면 그렇지 않다면, AC는 AB와 같거나 혹은 더 작다.
ἴση μὲν οὖν οὐκ ἔστιν ἡ ΑΓ τῇ ΑΒ·
이제 AC는 AB와 같지 않다.
ἴση γὰρ ἂν ἦν καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΑΒΓ τῇ ὑπὸ ΑΓΒ·
왜냐하면 [만약 같다면] 각 ABC 역시 각 ACB와 같았을 것이기 때문이다.
οὐκ ἔστι δέ·
그러나 그렇지 않다.
οὐκ ἄρα ἴση ἐστὶν ἡ ΑΓ τῇ ΑΒ. οὐδὲ μὴν ἐλάσσων ἐστὶν ἡ ΑΓ τῆς ΑΒ·
그러므로 AC는 AB와 같지 않다. 또한 AC가 AB보다 작은 것도 아니다.
ἐλάσσων γὰρ ἂν ἦν καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΑΒΓ τῆς ὑπὸ ΑΓΒ·
왜냐하면 [만약 작다면] 각 ABC 역시 각 ACB보다 작았을 것이기 때문이다.
οὐκ ἔστι δέ·
그러나 그렇지 않다.
οὐκ ἄρα ἐλάσσων ἐστὶν ἡ ΑΓ τῆς ΑΒ. ἐδείχθη δέ, ὅτι οὐδὲ ἴση ἐστίν.
그러므로 AC는 AB보다 작지 않다. 그리고 같지도 않다는 것이 증명되었다.
μείζων ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΓ τῆς ΑΒ.
παντὸς ἄρα τριγώνου ὑπὸ τὴν μείζονα γωνίαν ἡ μείζων πλευρὰ ὑποτείνει·
그러므로 AC는 AB보다 크다. 그러므로 임의의 삼각형에서 더 큰 각은 더 큰 변을 대면한다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
- 이것이 증명하고자 했던 일이다.
§1.prop.20παντὸς τριγώνου αἱ δύο πλευραὶ τῆς λοιπῆς μείζονές εἰσι πάντῃ μεταλαμβανόμεναι.
임의의 삼각형에서 두 변은 어떻게 둘을 택하더라도 남은 한 변보다 크다.
ἔστω γὰρ τρίγωνον τὸ ΑΒΓ·
왜냐하면 삼각형 ABC가 있다고 하자.
λέγω, ὅτι τοῦ ΑΒΓ τριγώνου αἱ δύο πλευραὶ τῆς λοιπῆς μείζονές εἰσι πάντῃ μεταλαμβανόμεναι, αἱ μὲν ΒΑ, ΑΓ τῆς ΒΓ, αἱ δὲ ΑΒ, ΒΓ τῆς ΑΓ, αἱ δὲ ΒΓ, ΓΑ τῆς ΑΒ.
διήχθω γὰρ ἡ ΒΑ ἐπὶ τὸ Δ σημεῖον, καὶ κείσθω τῇ ΓΑ ἴση ἡ ΑΔ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΔΓ.
ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ΔΑ τῇ ΑΓ, ἴση ἐστὶ καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΑΔΓ τῇ ὑπὸ ΑΓΔ·
나는 말한다, 삼각형 ABC의 두 변은 어떻게 둘을 택하더라도 남은 한 변보다 크니, 곧 BA, AC는 BC보다 크고, AB, BC는 AC보다 크며, BC, CA는 AB보다 크다고. 왜냐하면 BA가 점 D까지 연장되게 하고, CA와 같은 AD가 놓이게 하며, DC를 연결하자. 그러므로 DA는 AC와 같으므로, 각 ADC 역시 각 ACD와 같다.
μείζων ἄρα ἡ ὑπὸ ΒΓΔ τῆς ὑπὸ ΑΔΓ·
그러므로 각 BCD는 각 ADC보다 크다.
καὶ ἐπεὶ τρίγωνόν ἐστι τὸ ΔΓΒ μείζονα ἔχον τὴν ὑπὸ ΒΓΔ γωνίαν τῆς ὑπὸ ΒΔΓ, ὑπὸ δὲ τὴν μείζονα γωνίαν ἡ μείζων πλευρὰ ὑποτείνει, ἡ ΔΒ ἄρα τῆς ΒΓ ἐστι μείζων.
그리고 DCB는 각 BCD를 각 BDC보다 크게 가지는 삼각형이고, 더 큰 각에는 더 큰 변이 대면하므로, 그러므로 DB는 BC보다 크다.
ἴση δὲ ἡ ΔΑ τῇ ΑΓ·
그런데 DA는 AC와 같다.
μείζονες ἄρα αἱ ΒΑ, ΑΓ τῆς ΒΓ·
그러므로 BA, AC는 BC보다 크다.
ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ αἱ μὲν ΑΒ, ΒΓ τῆς ΓΑ μείζονές εἰσιν, αἱ δὲ ΒΓ, ΓΑ τῆς ΑΒ.
παντὸς ἄρα τριγώνου αἱ δύο πλευραὶ τῆς λοιπῆς μείζονές εἰσι πάντῃ μεταλαμβανόμεναι·
마찬가지로 AB, BC가 CA보다 크고, BC, CA가 AB보다 크다는 것도 증명할 것이다. 그러므로 임의의 삼각형에서 두 변은 어떻게 둘을 택하더라도 남은 한 변보다 크다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
- 이것이 증명하고자 했던 일이다.
§1.prop.21ἐὰν τριγώνου ἐπὶ μιᾶς τῶν πλευρῶν ἀπὸ τῶν περάτων δύο εὐθεῖαι ἐντὸς συσταθῶσιν, αἱ συσταθεῖσαι τῶν λοιπῶν τοῦ τριγώνου δύο πλευρῶν ἐλάττονες μὲν ἔσονται, μείζονα δὲ γωνίαν περιέξουσιν.
만약 삼각형의 한 변 위에서 그 양끝점으로부터 두 직선이 내부에서 만나도록 세워진다면, 그렇게 세워진 직선들은 삼각형의 남은 두 변보다 작을 것이나, 더 큰 각을 포함할 것이다.
τριγώνου γὰρ τοῦ ΑΒΓ ἐπὶ μιᾶς τῶν πλευρῶν τῆς ΒΓ ἀπὸ τῶν περάτων τῶν Β, Γ δύο εὐθεῖαι ἐντὸς συνεστάτωσαν αἱ ΒΔ, ΔΓ·
왜냐하면 삼각형 ABC의 한 변 BC 위에서, 양끝점 B, C로부터 두 직선 BD, DC가 내부에서 만나도록 세워졌다고 하자.
λέγω, ὅτι αἱ ΒΔ, ΔΓ τῶν λοιπῶν τοῦ τριγώνου δύο πλευρῶν τῶν ΒΑ, ΑΓ ἐλάσσονες μέν εἰσιν, μείζονα δὲ γωνίαν περιέχουσι τὴν ὑπὸ ΒΔΓ τῆς ὑπὸ ΒΑΓ.
διήχθω γὰρ ἡ ΒΔ ἐπὶ τὸ Ε. καὶ ἐπεὶ παντὸς τριγώνου αἱ δύο πλευραὶ τῆς λοιπῆς μείζονές εἰσιν, τοῦ ΑΒΕ ἄρα τριγώνου αἱ δύο πλευραὶ αἱ ΑΒ, ΑΕ τῆς ΒΕ μείζονές εἰσιν·
나는 말한다, BD, DC는 삼각형의 남은 두 변 BA, AC보다 작으나, 더 큰 각을 포함하니, 곧 각 BDC가 각 BAC보다 크다고. 왜냐하면 BD가 점 E까지 연장되게 하자. 그리고 임의의 삼각형에서 두 변은 남은 변보다 크므로, 삼각형 ABE에서 두 변 AB, AE는 BE보다 크다.
κοινὴ προσκείσθω ἡ ΕΓ·
공통인 EC가 더해지자.
αἱ ἄρα ΒΑ, ΑΓ τῶν ΒΕ, ΕΓ μείζονές εἰσιν.
그러므로 BA, AC는 BE, EC보다 크다.
πάλιν, ἐπεὶ τοῦ ΓΕΔ τριγώνου αἱ δύο πλευραὶ αἱ ΓΕ, ΕΔ τῆς ΓΔ μείζονές εἰσιν, κοινὴ προσκείσθω ἡ ΔΒ·
다시, 삼각형 CED에서 두 변 CE, ED는 CD보다 크므로, 공통인 DB가 더해지자.
αἱ ΓΕ, ΕΒ ἄρα τῶν ΓΔ, ΔΒ μείζονές εἰσιν.
그러므로 CE, EB는 CD, DB보다 크다.
ἀλλὰ τῶν ΒΕ, ΕΓ μείζονες ἐδείχθησαν αἱ ΒΑ, ΑΓ·
그런데 BA, AC는 BE, EC보다 크다는 것이 증명되었다.
πολλῷ ἄρα αἱ ΒΑ, ΑΓ τῶν ΒΔ, ΔΓ μείζονές εἰσιν.
그러므로 훨씬 더 BA, AC는 BD, DC보다 크다.
πάλιν, ἐπεὶ παντὸς τριγώνου ἡ ἐκτὸς γωνία τῆς ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον μείζων ἐστίν, τοῦ ΓΔΕ ἄρα τριγώνου ἡ ἐκτὸς γωνία ἡ ὑπὸ ΒΔΓ μείζων ἐστὶ τῆς ὑπὸ ΓΕΔ. διὰ ταὐτὰ τοίνυν καὶ τοῦ ΑΒΕ τριγώνου ἡ ἐκτὸς γωνία ἡ ὑπὸ ΓΕΒ μείζων ἐστὶ τῆς ὑπὸ ΒΑΓ. ἀλλὰ τῆς ὑπὸ ΓΕΒ μείζων ἐδείχθη ἡ ὑπὸ ΒΔΓ·
다시, 임의의 삼각형에서 외각은 내대각 보다 크므로, 삼각형 CDE의 외각인 각 BDC는 각 CED보다 크다. 그러므로 같은 이유로, 삼각형 ABE의 외각인 각 CEB 역시 각 BAC보다 크다. 그런데 각 BDC는 각 CEB보다 크다는 것이 증명되었다.
πολλῷ ἄρα ἡ ὑπὸ ΒΔΓ μείζων ἐστὶ τῆς ὑπὸ ΒΑΓ.
ἐὰν ἄρα τριγώνου ἐπὶ μιᾶς τῶν πλευρῶν ἀπὸ τῶν περάτων δύο εὐθεῖαι ἐντὸς συσταθῶσιν, αἱ συσταθεῖσαι τῶν λοιπῶν τοῦ τριγώνου δύο πλευρῶν ἐλάττονες μέν εἰσιν, μείζονα δὲ γωνίαν περιέχουσιν·
그러므로 훨씬 더 각 BDC는 각 BAC보다 크다. 그러므로 만약 삼각형의 한 변 위에서 그 양끝점으로부터 두 직선이 내부에서 만나도록 세워진다면, 그렇게 세워진 직선들은 삼각형의 남은 두 변보다 작으나, 더 큰 각을 포함한다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
- 이것이 증명하고자 했던 일이다.