§1.prop.16παντὸς τριγώνου μιᾶς τῶν πλευρῶν προσεκβληθείσης ἡ ἐκτὸς γωνία ἑκατέρας τῶν ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον γωνιῶν μείζων ἐστίν.
いかなる三角形においても、一辺が延長されたとき、外角は内対角のそれぞれよりも大きい。
ἔστω τρίγωνον τὸ ΑΒΓ, καὶ προσεκβεβλήσθω αὐτοῦ μία πλευρὰ ἡ ΒΓ ἐπὶ τὸ Δ·
三角形ΑΒΓがあるとし、その一辺ΒΓが［点］Δまで延長されよ。
λέγω, ὅτι ἡ ἐκτὸς γωνία ἡ ὑπὸ ΑΓΔ μείζων ἐστὶν ἑκατέρας τῶν ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον τῶν ὑπὸ ΓΒΑ, ΒΑΓ γωνιῶν.
私は言う、外角ΑΓΔは内対角ΓΒΑ, ΒΑΓのそれぞれよりも大きいと。
τετμήσθω ἡ ΑΓ δίχα κατὰ τὸ Ε, καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΒΕ ἐκβεβλήσθω ἐπʼ εὐθείας ἐπὶ τὸ Ζ, καὶ κείσθω τῇ ΒΕ ἴση ἡ ΕΖ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΖΓ, καὶ διήχθω ἡ ΑΓ ἐπὶ τὸ Η.
ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ΑΕ τῇ ΕΓ, ἡ δὲ ΒΕ τῇ ΕΖ, δύο δὴ αἱ ΑΕ, ΕΒ δυσὶ ταῖς ΓΕ, ΕΖ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ·
ΑΓが点Εにおいて二等分されよ。 そして、結ばれたΒΕが一直線上に［点］Ζまで延長されよ。 そして、ΒΕに等しいΕΖが置かれよ。 そして、ΖΓが結ばれよ。 また、ΑΓが［点］Ηまで引かれよ。 したがって、ΑΕがΕΓに等しく、ΒΕがΕΖに等しいから、二つの［辺］ΑΕ, ΕΒは二つの［辺］ΓΕ, ΕΖにそれぞれ等しい。
καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΑΕΒ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΖΕΓ ἴση ἐστίν·
また角ΑΕΒは角ΖΕΓに等しい。
κατὰ κορυφὴν γάρ·
なぜなら対頂角だからである。
βάσις ἄρα ἡ ΑΒ βάσει τῇ ΖΓ ἴση ἐστίν, καὶ τὸ ΑΒΕ τρίγωνον τῷ ΖΕΓ τριγώνῳ ἐστὶν ἴσον, καὶ αἱ λοιπαὶ γωνίαι ταῖς λοιπαῖς γωνίαις ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ, ὑφʼ ἃς αἱ ἴσαι πλευραὶ ὑποτείνουσιν·
したがって底辺ΑΒは底辺ΖΓに等しく、三角形ΑΒΕは三角形ΖΕΓに等しい。 そして残りの角は、等しい辺が対面する残りの角に、それぞれ等しい。
ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΒΑΕ τῇ ὑπὸ ΕΓΖ. μείζων δέ ἐστιν ἡ ὑπὸ ΕΓΔ τῆς ὑπὸ ΕΓΖ·
したがって角ΒΑΕは角ΕΓΖに等しい。 しかし角ΕΓΔは角ΕΓΖよりも大きい。
μείζων ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΓΔ τῆς ὑπὸ ΒΑΕ. ὁμοίως δὴ τῆς ΒΓ τετμημένης δίχα δειχθήσεται καὶ ἡ ὑπὸ ΒΓΗ, τουτέστιν ἡ ὑπὸ ΑΓΔ, μείζων καὶ τῆς ὑπὸ ΑΒΓ.
παντὸς ἄρα τριγώνου μιᾶς τῶν πλευρῶν προσεκβληθείσης ἡ ἐκτὸς γωνία ἑκατέρας τῶν ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον γωνιῶν μείζων ἐστίν·
したがって、角ΑΓΔは角ΒΑΕよりも大きい。 同様に、ΒΓが二等分されたとき、角ΒΓΗ、すなわち角ΑΓΔが、角ΑΒΓよりも大きいことも示されるであろう。 したがって、いかなる三角形においても、一辺が延長されたとき、外角は内対角のそれぞれよりも大きい。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これこそ示すべきことであった。
§1.prop.17παντὸς τριγώνου αἱ δύο γωνίαι δύο ὀρθῶν ἐλάσσονές εἰσι πάντῃ μεταλαμβανόμεναι.
いかなる三角形においても、二つの角は、どのように［二つを］とっても、二つの直角よりも小さい。
ἔστω τρίγωνον τὸ ΑΒΓ· λέγω, ὅτι τοῦ ΑΒΓ τριγώνου αἱ δύο γωνίαι δύο ὀρθῶν ἐλάττονές εἰσι πάντῃ μεταλαμβανόμεναι.
三角形ΑΒΓがあるとし、私は言う、三角形ΑΒΓの二つの角は、二つの直角よりもどのようにとっても小さいと。
Ἐκβεβλήσθω γὰρ ἡ ΒΓ ἐπὶ τὸ Δ.
καὶ ἐπεὶ τριγώνου τοῦ ΑΒΓ ἐκτός ἐστι γωνία ἡ ὑπὸ ΑΓΔ, μείζων ἐστὶ τῆς ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον τῆς ὑπὸ ΑΒΓ. κοινὴ προσκείσθω ἡ ὑπὸ ΑΓΒ·
なぜなら、ΒΓが［点］Δまで延長されよ。 そして、三角形ΑΒΓの外角は角ΑΓΔであるから、これは内対角である角ΑΒΓよりも大きい。 共通の［角］ΑΓΒが加えられよ。
αἱ ἄρα ὑπὸ ΑΓΔ, ΑΓΒ τῶν ὑπὸ ΑΒΓ, ΒΓΑ μείζονές εἰσιν.
したがって、角ΑΓΔ, ΑΓΒは角ΑΒΓ, ΒΓΑよりも大きい。
ἀλλʼ αἱ ὑπὸ ΑΓΔ, ΑΓΒ δύο ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν·
しかし角ΑΓΔ, ΑΓΒは二つの直角に等しい。
αἱ ἄρα ὑπὸ ΑΒΓ, ΒΓΑ δύο ὀρθῶν ἐλάσσονές εἰσιν.
したがって、角ΑΒΓ, ΒΓΑは二つの直角よりも小さい。
ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ αἱ ὑπὸ ΒΑΓ, ΑΓΒ δύο ὀρθῶν ἐλάσσονές εἰσι καὶ ἔτι αἱ ὑπὸ ΓΑΒ, ΑΒΓ.
παντὸς ἄρα τριγώνου αἱ δύο γωνίαι δύο ὀρθῶν ἐλάσσονές εἰσι πάντῃ μεταλαμβανόμεναι·
同様にして、角ΒΑΓ, ΑΓΒも二つの直角より小さく、さらに角ΓΑΒ, ΑΒΓも同様であることを示すであろう。 したがって、いかなる三角形においても、二つの角は、どのようにとっても、二つの直角よりも小さい。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これこそ示すべきことであった。
§1.prop.18παντὸς τριγώνου ἡ μείζων πλευρὰ τὴν μείζονα γωνίαν ὑποτείνει.
いかなる三角形においても、大きい方の辺は大きい方の角に対向する。
ἔστω γὰρ τρίγωνον τὸ ΑΒΓ μείζονα ἔχον τὴν ΑΓ πλευρὰν τῆς ΑΒ·
なぜなら、三角形ΑΒΓは、辺ΑΓがΑΒよりも大きいものとせよ。
λέγω, ὅτι καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΑΒΓ μείζων ἐστὶ τῆς ὑπὸ ΒΓΑ.
ἐπεὶ γὰρ μείζων ἐστὶν ἡ ΑΓ τῆς ΑΒ, κείσθω τῇ ΑΒ ἴση ἡ ΑΔ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΒΔ.
καὶ ἐπεὶ τριγώνου τοῦ ΒΓΔ ἐκτός ἐστι γωνία ἡ ὑπὸ ΑΔΒ, μείζων ἐστὶ τῆς ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον τῆς ὑπὸ ΔΓΒ·
私は言う、角ΑΒΓも角ΒΓΑよりも大きいと。 なぜなら、ΑΓはΑΒよりも大きいから、ΑΒに等しいΑΔが置かれ、ΒΔが結ばれよ。 そして、三角形ΒΓΔの外角は角ΑΔΒであるから、これは内対角である角ΔΓΒよりも大きい。
ἴση δὲ ἡ ὑπὸ ΑΔΒ τῇ ὑπὸ ΑΒΔ, ἐπεὶ καὶ πλευρὰ ἡ ΑΒ τῇ ΑΔ ἐστιν ἴση·
しかし角ΑΔΒは角ΑΒΔに等しい。 なぜなら辺ΑΒもΑΔに等しいからである。
μείζων ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ ΑΒΔ τῆς ὑπὸ ΑΓΒ·
したがって、角ΑΒΔも角ΑΓΒよりも大きい。
πολλῷ ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΒΓ μείζων ἐστὶ τῆς ὑπὸ ΑΓΒ.
παντὸς ἄρα τριγώνου ἡ μείζων πλευρὰ τὴν μείζονα γωνίαν ὑποτείνει·
したがって、はるかに角ΑΒΓは角ΑΓΒよりも大きい。 したがって、いかなる三角形においても、大きい方の辺は大きい方の角に対向する。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これこそ示すべきことであった。