§1.prop.22ἐκ τριῶν εὐθειῶν, αἵ εἰσιν ἴσαι τρισὶ ταῖς δοθείσαις, τρίγωνον συστήσασθαι·
与えられた三つの直線に等しい三つの直線から、三角形を構成すること。
δεῖ δὲ τὰς δύο τῆς λοιπῆς μείζονας εἶναι πάντῃ μεταλαμβανομένας.
ただし、その二つは、どのようにとっても残りの［一つ］よりも大きくなければならない。
ἔστωσαν αἱ δοθεῖσαι τρεῖς εὐθεῖαι αἱ Α, Β, Γ, ὧν αἱ δύο τῆς λοιπῆς μείζονες ἔστωσαν πάντῃ μεταλαμβανόμεναι, αἱ μὲν Α, Β τῆς Γ, αἱ δὲ Α, Γ τῆς Β, καὶ ἔτι αἱ Β, Γ τῆς Α·
与えられた三つの直線をΑ, Β, Γとし、それらのうちの二つは、どのようにとっても残りの［一つ］よりも大きいとせよ、すなわち、Α, ΒはΓよりも、Α, ΓはΒよりも、さらにΒ, ΓはΑよりも大きいとせよ。
δεῖ δὴ ἐκ τῶν ἴσων ταῖς Α, Β, Γ τρίγωνον συστήσασθαι.
今、Α, Β, Γに等しい［直線］から三角形を構成しなければならない。
Ἐκκείσθω τις εὐθεῖα ἡ ΔΕ πεπερασμένη μὲν κατὰ τὸ Δ ἄπειρος δὲ κατὰ τὸ Ε, καὶ κείσθω τῇ μὲν Α ἴση ἡ ΔΖ, τῇ δὲ Β ἴση ἡ ΖΗ, τῇ δὲ Γ ἴση ἡ ΗΘ·
端点をΔとし、Εの方向には無限である一つの直線ΔΕが置かれよ。 そしてΑに等しいΔΖ、Βに等しいΖΗ、Γに等しいΗΘが置かれよ。
καὶ κέντρῳ μὲν τῷ Ζ, διαστήματι δὲ τῷ ΖΔ κύκλος γεγράφθω ὁ ΔΚΛ·
そしてΖを中心とし、ΖΔを半径とする円 ΔΚΛが描かれよ。
πάλιν κέντρῳ μὲν τῷ Η, διαστήματι δὲ τῷ ΗΘ κύκλος γεγράφθω ὁ ΚΛΘ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΚΖ, ΚΗ·
再び、Ηを中心とし、ΗΘを半径とする円ΚΛΘが描かれよ。 そしてΚΖ, ΚΗが結ばれよ。
λέγω, ὅτι ἐκ τριῶν εὐθειῶν τῶν ἴσων ταῖς Α, Β, Γ τρίγωνον συνέσταται τὸ ΚΖΗ.
ἐπεὶ γὰρ τὸ Ζ σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ ΔΚΛ κύκλου, ἴση ἐστὶν ἡ ΖΔ τῇ ΖΚ·
私は言う、Α, Β, Γに等しい三つの直線から三角形ΚΖΗが構成されたと。 なぜなら、点Ζは円ΔΚΛの中心であるから、 ΖΔはΖΚに等しい。
ἀλλὰ ἡ ΖΔ τῇ Α ἐστιν ἴση.
しかし、ΖΔはΑに等しい。
καὶ ἡ ΚΖ ἄρα τῇ Α ἐστιν ἴση.
したがって、ΚΖもΑに等しい。
πάλιν, ἐπεὶ τὸ Η σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ ΛΚΘ κύκλου, ἴση ἐστὶν ἡ ΗΘ τῇ ΗΚ·
再び、点Ηは円ΛΚΘの中心であるから、ΗΘはΗΚに等しい。
ἀλλὰ ἡ ΗΘ τῇ Γ ἐστιν ἴση·
しかし、ΗΘはΓに等しい。
καὶ ἡ ΚΗ ἄρα τῇ Γ ἐστιν ἴση.
したがって、ΚΗもΓに等しい。
ἐστὶ δὲ καὶ ἡ ΖΗ τῇ Β ἴση·
そしてまたΖΗもΒに等しい。
αἱ τρεῖς ἄρα εὐθεῖαι αἱ ΚΖ, ΖΗ, ΗΚ τρισὶ ταῖς Α, Β, Γ ἴσαι εἰσίν.
したがって、三つの直線 ΚΖ, ΖΗ, ΗΚは三つのΑ, Β, Γに等しい。
ἐκ τριῶν ἄρα εὐθειῶν τῶν ΚΖ, ΖΗ, ΗΚ, αἵ εἰσιν ἴσαι τρισὶ ταῖς δοθείσαις εὐθείαις ταῖς Α, Β, Γ, τρίγωνον συνέσταται τὸ ΚΖΗ·
したがって、与えられた三つの直線Α, Β, Γに等しい三つの直線ΚΖ, ΖΗ, ΗΚから、三角形ΚΖΗが構成された。
ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.
これこそなすべきことであった。
§1.prop.23πρὸς τῇ δοθείσῃ εὐθείᾳ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῇ δοθείσῃ γωνίᾳ εὐθυγράμμῳ ἴσην γωνίαν εὐθύγραμμον συστήσασθαι.
与えられた直線の上で、かつその上にある点において、与えられた直線角に等しい直線角を構成すること。
ἔστω ἡ μὲν δοθεῖσα εὐθεῖα ἡ ΑΒ, τὸ δὲ πρὸς αὐτῇ σημεῖον τὸ Α, ἡ δὲ δοθεῖσα γωνία εὐθύγραμμος ἡ ὑπὸ ΔΓΕ·
与えられた直線をΑΒ、その上の点をΑ、与えられた直線角を角ΔΓΕとせよ。
δεῖ δὴ πρὸς τῇ δοθείσῃ εὐθείᾳ τῇ ΑΒ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ Α τῇ δοθείσῃ γωνίᾳ εὐθυγράμμῳ τῇ ὑπὸ ΔΓΕ ἴσην γωνίαν εὐθύγραμμον συστήσασθαι.
今、与えられた直線ΑΒの上で、かつその上の点Αにおいて、与えられた直線角ΔΓΕに等しい直線角を構成しなければならない。
εἰλήφθω ἐφʼ ἑκατέρας τῶν ΓΔ, ΓΕ τυχόντα σημεῖα τὰ Δ, Ε, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΔΕ·
ΓΔ, ΓΕのそれぞれの上に任意に点Δ, Εが取られよ。 そしてΔΕが結ばれよ。
καὶ ἐκ τριῶν εὐθειῶν, αἵ εἰσιν ἴσαι τρισὶ ταῖς ΓΔ, ΔΕ, ΓΕ, τρίγωνον συνεστάτω τὸ ΑΖΗ, ὥστε ἴσην εἶναι τὴν μὲν ΓΔ τῇ ΑΖ, τὴν δὲ ΓΕ τῇ ΑΗ, καὶ ἔτι τὴν ΔΕ τῇ ΖΗ.
ἐπεὶ οὖν δύο αἱ ΔΓ, ΓΕ δύο ταῖς ΖΑ, ΑΗ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ, καὶ βάσις ἡ ΔΕ βάσει τῇ ΖΗ ἴση, γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΔΓΕ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΖΑΗ ἐστιν ἴση.
そして、三つの直線ΓΔ, ΔΕ, ΓΕに等しい三つの直線から、三角形 ΑΖΗが作られ、ΓΔはΑΖに等しく、ΓΕはΑΗに等しく、さらにΔΕはΖΗに等しくなるようにせよ。 したがって、二つのΔΓ, ΓΕが二つのΖΑ, ΑΗにそれぞれ等しく、かつ底辺ΔΕが底辺ΖΗに等しいから、角ΔΓΕは角ΖΑΗに等しい。
πρὸς ἄρα τῇ δοθείσῃ εὐθείᾳ τῇ ΑΒ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ Α τῇ δοθείσῃ γωνίᾳ εὐθυγράμμῳ τῇ ὑπὸ ΔΓΕ ἴση γωνία εὐθύγραμμος συνέσταται ἡ ὑπὸ ΖΑΗ·
したがって、与えられた直線ΑΒの上で、かつその上の点Αにおいて、与えられた直線角ΔΓΕに等しい直線角ΖΑΗが構成された。
ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.
これこそなすべきことであった。