§1.prop.14ἐὰν πρός τινι εὐθείᾳ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ δύο εὐθεῖαι μὴ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη κείμεναι τὰς ἐφεξῆς γωνίας δυσὶν ὀρθαῖς ἴσας ποιῶσιν, ἐπʼ εὐθείας ἔσονται ἀλλήλαις αἱ εὐθεῖαι.
もしある直線において、かつその上にある点において、同じ側に位置しない二つの直線が、隣接する角を二つの直角に等しくするならば、それらの直線は互いに一直線上にあるであろう。
πρὸς γάρ τινι εὐθείᾳ τῇ ΑΒ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ Β δύο εὐθεῖαι αἱ ΒΓ, ΒΔ μὴ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη κείμεναι τὰς ἐφεξῆς γωνίας τὰς ὑπὸ ΑΒΓ, ΑΒΔ δύο ὀρθαῖς ἴσας ποιείτωσαν·
なぜなら、ある直線ΑΒにおいて、かつその上の点Βにおいて、同じ側に位置しない二つの直線ΒΓ, ΒΔが、隣接する角ΓΒΑ, ΑΒΔを二つの直角に等しくするとせよ。
λέγω, ὅτι ἐπʼ εὐθείας ἐστὶ τῇ ΓΒ ἡ ΒΔ.
εἰ γὰρ μή ἐστι τῇ ΒΓ ἐπʼ εὐθείας ἡ ΒΔ, ἔστω τῇ ΓΒ ἐπʼ εὐθείας ἡ ΒΕ.
ἐπεὶ οὖν εὐθεῖα ἡ ΑΒ ἐπʼ εὐθεῖαν τὴν ΓΒΕ ἐφέστηκεν, αἱ ἄρα ὑπὸ ΑΒΓ, ΑΒΕ γωνίαι δύο ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν·
私は言う、直線ΒΔはΓΒと一直線上にあると。 なぜなら、もしΒΔがΒΓと一直線上にないならば、ΒΕがΓΒと一直線上にあるとせよ。 したがって、直線ΑΒが直線ΓΒΕの上に立っているから、それゆえ角ΑΒΓ, ΑΒΕは二つの直角に等しい。
εἰσὶ δὲ καὶ αἱ ὑπὸ ΑΒΓ, ΑΒΔ δύο ὀρθαῖς ἴσαι·
また角ΑΒΓ, ΑΒΔも二つの直角に等しい。
αἱ ἄρα ὑπὸ ΓΒΑ, ΑΒΕ ταῖς ὑπὸ ΓΒΑ, ΑΒΔ ἴσαι εἰσίν.
したがって、角ΓΒΑ, ΑΒΕは角ΓΒΑ, ΑΒΔに等しい。
κοινὴ ἀφῃρήσθω ἡ ὑπὸ ΓΒΑ·
共通の［角］ΓΒΑが差し引かれよ。
λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΒΕ λοιπῇ τῇ ὑπὸ ΑΒΔ ἐστιν ἴση, ἡ ἐλάσσων τῇ μείζονι· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.
したがって、残りの角ΑΒΕは残りの角ΑΒΔに等しく、小さい方が大きい方に［等しいことになり］、これは不可能である。
οὐκ ἄρα ἐπʼ εὐθείας ἐστὶν ἡ ΒΕ τῇ ΓΒ. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι οὐδὲ ἄλλη τις πλὴν τῆς ΒΔ·
したがって、 ΒΕはΓΒと一直線上にない。 同様にして、ΒΔ以外の他のいかなる直線も［一直線上にない］ことを示すであろう。
ἐπʼ εὐθείας ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΒ τῇ ΒΔ.
ἐὰν ἄρα πρός τινι εὐθείᾳ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ δύο εὐθεῖαι μὴ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη κείμεναι τὰς ἐφεξῆς γωνίας δυσὶν ὀρθαῖς ἴσας ποιῶσιν, ἐπʼ εὐθείας ἔσονται ἀλλήλαις αἱ εὐθεῖαι·
したがって、ΓΒはΒΔと一直線上にある。 したがって、もしある直線において、かつその上にある点において、同じ側に位置しない二つの直線が、隣接する角を二つの直角に等しくするならば、それらの直線は互いに一直線上にあるであろう。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これこそ示すべきことであった。
§1.prop.15ἐὰν δύο εὐθεῖαι τέμνωσιν ἀλλήλας, τὰς κατὰ κορυφὴν γωνίας ἴσας ἀλλήλαις ποιοῦσιν.
二つの直線が互いに交わるならば、それらは対頂角を互いに等しくする。
δύο γὰρ εὐθεῖαι αἱ ΑΒ, ΓΔ τεμνέτωσαν ἀλλήλας κατὰ τὸ Ε σημεῖον·
なぜなら、二つの直線ΑΒ, ΓΔが点Εにおいて互いに交わるとせよ。
λέγω, ὅτι ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ὑπὸ ΑΕΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΔΕΒ, ἡ δὲ ὑπὸ ΓΕΒ τῇ ὑπὸ ΑΕΔ.
ἐπεὶ γὰρ εὐθεῖα ἡ ΑΕ ἐπʼ εὐθεῖαν τὴν ΓΔ ἐφέστηκε γωνίας ποιοῦσα τὰς ὑπὸ ΓΕΑ, ΑΕΔ, αἱ ἄρα ὑπὸ ΓΕΑ, ΑΕΔ γωνίαι δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν.
私は言う、角ΑΕΓは角ΔΕΒに等しく、角ΓΕΒは角ΑΕΔに等しいと。 なぜなら、直線ΑΕが直線ΓΔの上に立って、角ΓΕΑ, ΑΕΔを作っているから、それゆえ角ΓΕΑ, ΑΕΔは二つの直角に等しい。
πάλιν, ἐπεὶ εὐθεῖα ἡ ΔΕ ἐπʼ εὐθεῖαν τὴν ΑΒ ἐφέστηκε γωνίας ποιοῦσα τὰς ὑπὸ ΑΕΔ, ΔΕΒ, αἱ ἄρα ὑπὸ ΑΕΔ, ΔΕΒ γωνίαι δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν.
他方、直線ΔΕが直線ΑΒの上に立って、角ΑΕΔ, ΔΕΒを作っているから、それゆえ角ΑΕΔ, ΔΕΒは二つの直角に等しい。
ἐδείχθησαν δὲ καὶ αἱ ὑπὸ ΓΕΑ, ΑΕΔ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι·
また角ΓΕΑ, ΑΕΔも二つの直角に等しいことが示された。
αἱ ἄρα ὑπὸ ΓΕΑ, ΑΕΔ ταῖς ὑπὸ ΑΕΔ, ΔΕΒ ἴσαι εἰσίν.
したがって、角ΓΕΑ, ΑΕΔは角ΑΕΔ, ΔΕΒに等しい。
κοινὴ ἀφῃρήσθω ἡ ὑπὸ ΑΕΔ·
共通の［角］ΑΕΔが差し引かれよ。
λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΓΕΑ λοιπῇ τῇ ὑπὸ ΒΕΔ ἴση ἐστίν·
したがって、残りの角ΓΕΑは残りの角ΒΕΔに等しい。
ὁμοίως δὴ δειχθήσεται, ὅτι καὶ αἱ ὑπὸ ΓΕΒ, ΔΕΑ ἴσαι εἰσίν.
同様にして、角ΓΕΒ, ΔΕΑも等しいことが示されるであろう。
ἐὰν ἄρα δύο εὐθεῖαι τέμνωσιν ἀλλήλας, τὰς κατὰ κορυφὴν γωνίας ἴσας ἀλλήλαις ποιοῦσιν·
したがって、もし二つの直線が互いに交わるならば、それらは対頂角を互いに等しくする。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これこそ示すべきことであった。