§1.prop.14ἐὰν πρός τινι εὐθείᾳ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ δύο εὐθεῖαι μὴ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη κείμεναι τὰς ἐφεξῆς γωνίας δυσὶν ὀρθαῖς ἴσας ποιῶσιν, ἐπʼ εὐθείας ἔσονται ἀλλήλαις αἱ εὐθεῖαι.
만일 어떤 직선과 그 위의 한 점에서, 같은 쪽에 놓이지 않은 두 직선이 인접한 각들을 두 직각과 같게 만든다면, 그 직선들은 서로 일직선상에 있을 것이다.
πρὸς γάρ τινι εὐθείᾳ τῇ ΑΒ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ Β δύο εὐθεῖαι αἱ ΒΓ, ΒΔ μὴ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη κείμεναι τὰς ἐφεξῆς γωνίας τὰς ὑπὸ ΑΒΓ, ΑΒΔ δύο ὀρθαῖς ἴσας ποιείτωσαν·
¦5 왜냐하면, 어떤 직선 AB와 그 위의 점 B에서, 같은 쪽에 놓이지 않은 두 직선 BC, BD가 인접한 각 ABC, ABD를 두 직각과 같게 만든다고 하자.
λέγω, ὅτι ἐπʼ εὐθείας ἐστὶ τῇ ΓΒ ἡ ΒΔ.
εἰ γὰρ μή ἐστι τῇ ΒΓ ἐπʼ εὐθείας ἡ ΒΔ, ἔστω τῇ ΓΒ ἐπʼ εὐθείας ἡ ΒΕ.
ἐπεὶ οὖν εὐθεῖα ἡ ΑΒ ἐπʼ εὐθεῖαν τὴν ΓΒΕ ἐφέστηκεν, αἱ ἄρα ὑπὸ ΑΒΓ, ΑΒΕ γωνίαι δύο ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν·
나는 말한다, BD는 CB와 일직선상에 있다고. 만일 BD가 BC와 일직선상에 있지 않다면, BE가 CB와 일직선상에 있다고 하자. 그러므로 직선 AB가 직선 CBE 위에 세워져 있으므로, 각 ABC, ABE는 두 직각과 같다.
εἰσὶ δὲ καὶ αἱ ὑπὸ ΑΒΓ, ΑΒΔ δύο ὀρθαῖς ἴσαι·
그런데 각 ABC, ABD 역시 두 직각과 같다.
αἱ ἄρα ὑπὸ ΓΒΑ, ΑΒΕ ταῖς ὑπὸ ΓΒΑ, ΑΒΔ ἴσαι εἰσίν.
그러므로 각 CBA, ABE는 각 CBA, ABD와 같다.
κοινὴ ἀφῃρήσθω ἡ ὑπὸ ΓΒΑ·
공통인 각 CBA를 빼자.
λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΒΕ λοιπῇ τῇ ὑπὸ ΑΒΔ ἐστιν ἴση, ἡ ἐλάσσων τῇ μείζονι· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.
그러므로 남은 각 ABE는 남은 각 ABD와 같게 되는데, 작은 것이 큰 것과 같으므로 이는 불가능하다.
οὐκ ἄρα ἐπʼ εὐθείας ἐστὶν ἡ ΒΕ τῇ ΓΒ. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι οὐδὲ ἄλλη τις πλὴν τῆς ΒΔ·
그러므로 BE는 CB와 일직선상에 있지 않다. 마찬가지로 우리는 BD 이외의 다른 어떤 직선도 일직선상에 있지 않음을 증명할 것이다.
ἐπʼ εὐθείας ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΒ τῇ ΒΔ.
ἐὰν ἄρα πρός τινι εὐθείᾳ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ δύο εὐθεῖαι μὴ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη κείμεναι τὰς ἐφεξῆς γωνίας δυσὶν ὀρθαῖς ἴσας ποιῶσιν, ἐπʼ εὐθείας ἔσονται ἀλλήλαις αἱ εὐθεῖαι·
그러므로 CB는 BD와 일직선상에 있다. 그러므로 만일 어떤 직선과 그 위의 한 점에서, 같은 쪽에 놓이지 않은 두 직선이 인접한 각들을 두 직각과 같게 만든다면, 그 직선들은 서로 일직선상에 있을 것이다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
- 이것이 증명하고자 했던 일이다.
§1.prop.15ἐὰν δύο εὐθεῖαι τέμνωσιν ἀλλήλας, τὰς κατὰ κορυφὴν γωνίας ἴσας ἀλλήλαις ποιοῦσιν.
만일 두 직선이 서로 교차한다면, 그것들은 맞꼭지각들을 서로 같게 만든다.
δύο γὰρ εὐθεῖαι αἱ ΑΒ, ΓΔ τεμνέτωσαν ἀλλήλας κατὰ τὸ Ε σημεῖον·
왜냐하면, 두 직선 AB, CD가 점 E에서 서로 교차한다고 하자.
λέγω, ὅτι ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ὑπὸ ΑΕΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΔΕΒ, ἡ δὲ ὑπὸ ΓΕΒ τῇ ὑπὸ ΑΕΔ.
ἐπεὶ γὰρ εὐθεῖα ἡ ΑΕ ἐπʼ εὐθεῖαν τὴν ΓΔ ἐφέστηκε γωνίας ποιοῦσα τὰς ὑπὸ ΓΕΑ, ΑΕΔ, αἱ ἄρα ὑπὸ ΓΕΑ, ΑΕΔ γωνίαι δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν.
나는 말한다, 각 AEC는 각 DEB와 같고, 각 CEB는 각 AED와 같다고. 왜냐하면 직선 AE가 직선 CD 위에 세워져 각 CEA, AED를 만들므로, 각 CEA, AED는 두 직각과 같다.
πάλιν, ἐπεὶ εὐθεῖα ἡ ΔΕ ἐπʼ εὐθεῖαν τὴν ΑΒ ἐφέστηκε γωνίας ποιοῦσα τὰς ὑπὸ ΑΕΔ, ΔΕΒ, αἱ ἄρα ὑπὸ ΑΕΔ, ΔΕΒ γωνίαι δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν.
다시, 직선 DE가 직선 AB 위에 세워져 각 AED, DEB를 만들므로, 각 AED, DEB는 두 직각과 같다.
ἐδείχθησαν δὲ καὶ αἱ ὑπὸ ΓΕΑ, ΑΕΔ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι·
그런데 각 CEA, AED 역시 두 직각과 같다는 것이 증명되었다.
αἱ ἄρα ὑπὸ ΓΕΑ, ΑΕΔ ταῖς ὑπὸ ΑΕΔ, ΔΕΒ ἴσαι εἰσίν.
그러므로 각 CEA, AED는 각 AED, DEB와 같다.
κοινὴ ἀφῃρήσθω ἡ ὑπὸ ΑΕΔ·
공통인 각 AED를 빼자.
λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΓΕΑ λοιπῇ τῇ ὑπὸ ΒΕΔ ἴση ἐστίν·
그러므로 남은 각 CEA는 남은 각 BED와 같다.
ὁμοίως δὴ δειχθήσεται, ὅτι καὶ αἱ ὑπὸ ΓΕΒ, ΔΕΑ ἴσαι εἰσίν.
마찬가지로 각 CEB, DEA 역시 같다는 것이 증명될 것이다.
ἐὰν ἄρα δύο εὐθεῖαι τέμνωσιν ἀλλήλας, τὰς κατὰ κορυφὴν γωνίας ἴσας ἀλλήλαις ποιοῦσιν·
그러므로 만일 두 직선이 서로 교차한다면, 그것들은 맞꼭지 각들을 서로 같게 만든다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
- 이것이 증명하고자 했던 일이다.