§1## α΄.
## α΄.
Εἴ κα ᾗ δύο κύκλοι ἐπιψαύοντες ἀλλάλων ἐντός, διάμετροι δὲ αὐτῶν παράλληλοι, ἐπιζευχθεῖσαι αἱ ἀπὸ τοῦ σαμείου ἁφῆς καὶ τῶν περάτων τῶν διαμέτρων δύο εὐθεῖαι ἐσσοῦνται ἀλλάλαις ἐπʼ εὐθείας.
만약 두 원이 안에서 서로 접하고 그 지름들이 평행하다면, 접점과 지름의 끝점들로부터 이어진 두 직선은 서로 일직선상에 있게 될 것이다.
Ἔστωσαν δύο κύκλοι, ὧν κέντρα τὰ Ζ, Η, ἐπιψαύοντες ἀλλάλων κατὰ τὸ Ε σαμεῖον, διάμετρος δὲ ἁ ΑΒ παρὰ διάμετρον τὰν Γ△·
두 원이 있고, 그 중심을 Z, H라 하며, 점 E에서 서로 접하고, 지름 AB는 지름 ΓΔ에 평행하다고 하자.
φαμὶ δή, ἐπιζευχθεῖσαι αἱ Ε△, △Β εὐθεῖαι ἐσσοῦνται ἀλλάλαις ἐπʼ εὐθείας.
이때 연결된 직선 EΔ, ΔB는 서로 일직선상에 있을 것이라고 나는 주장한다.
Ἐπεζεύχθω γὰρ ἁ ΖΗ καὶ ἐκβεβλήσθω ποτὶ τὸ Ε, ἄχθω δὲ ἁ △Θ παρὰ τὰν ΖΗ.
Ἐπεὶ οὖν εὐθεῖαι αἱ ΖΒ, ΖΕ ἴσαι ἐντὶ καὶ ἁ H△ τᾷ ΖΘ, κοινὰ ἀφαιρήσθω ἁ ΖΘ, τουτέστιν ἁ ΗΕ·
왜냐하면 ZH가 연결되고 E까지 연장되며, ΔΘ가 ZH에 평행하게 그어지도록 하자. 그렇다면 직선 ZB, ZE는 같고 HΔ는 ZΘ와 같으므로, 공통인 ZΘ, 즉 HE를 빼도록 하자.
λοιπαὶ ἄρα εὐθεῖαι αἱ Θ△, ΘΒ ἴσαι ἀλλαλαις ἐντί·
그러므로 남은 직선 ΘΔ, ΘB는 서로 같다.
γωνία ἄρα ἁ ὑπὸ Θ△Β γωνίᾳ τᾷ ὑπὸ ΘΒ△, τουτέστιν τᾷ ὑπὸ H△Ε, ἐστὶν ἴσα·
그러므로 각 ΘΔB는 각 ΘBΔ, 즉 각 HΔE와 같다.
κοινὰ ποτικείσθω γωνία ἁ ὑπὸ H△Β συναμφότερος ἄρα γωνία ἁ ὑπὸ H△Β, △ΒΖ συναμφοτέρῳ τᾷ ὑπὸ Η△Β. Ε△Η ἐστὶν ἴσα·
공통으로 각 HΔB를 더하도록 하자. 그러므로 각 HΔB와 ΔBZ의 합은 각 HΔB와 EΔH의 합과 같다.
ἔστι δὲ συναμφότερος ἁ ὑπὸ Η△Β, △ΒΖ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσα·
그런데 각 HΔB와 ΔBZ의 합은 두 직각과 같다.
συναμφότερος ἄρα γωνία ἁ ὑπὸ Η△Β, Ε△Η δυσὶν ὀρθαῖς ἐστιν ἴσα·
그러므로 각 HΔB와 EΔH의 합 또한 두 직각과 같다.
ἐπʼ εὐθείας ἄρα ἐντὶ εὐθεῖαι αἱ Ε△, △Β·
따라서 직선 EΔ, ΔB는 일직선상에 있다.
δέδεικται οὖν τὸ προτεθέν.
그러므로 증명하고자 하는 바가 증명되었다.
§2## β΄.
## β΄.
Ἔστω ἁμικύκλιον τὸ ΑΒΓ καὶ δύο εὐθεῖαι ἐπιψαύουσαι αὐτοῦ αἱ △Β, △Γ, ἁ δὲ ΒΕ ἄχθω ποτʼ ὀρθὰς τᾷ ΑΓ, ἐπεζεύχθω δὲ ἁ Α△·
반원 ABΓ가 있고, 그것에 접하는 두 직선 ΔB, ΔΓ가 있으며, BE는 AΓ에 수직으로 그어지고, AΔ가 연결되어 있다고 하자.
φαμὶ δὴ τὰν ΒΖ ἴσαν εἶμεν τᾷ ΖΕ.
Ἐπεζεύχθω γὰρ ἁ ΑΒ καὶ ἐκβληθεῖσαι αἱ ΑΒ, Γ△ συμπιπτέτωσαν κατὰ τὸ Η σαμεῖον καὶ ἄχθω ἁ ΒΓ.
Ἐπεὶ οὖν γωνία ἁ ὑπὸ ὀρθά ἐστιν, ἐσσεῖται καὶ γωνία ἁ ὑπὸ ΓΒΗ ὀρθά ἔστι δὲ καὶ εὐθεῖα ἁ Β△ τᾷ △Γ ἴσα·
이때 BZ는 ZE와 같다고 나는 주장한다. 왜냐하면 AB가 연결되고, 연장된 AB, ΓΔ가 점 H에서 만나도록 하며, BΓ가 그어지도록 하자. 그렇다면 각 ABΓ는 직각이므로 각 ΓBH 또한 직각일 것이다. 그리고 직선 BΔ는 ΔΓ와 같다.
ἐσσεῖται ἄρα καὶ εὐθεῖα ἁ △Η τᾷ △Β, τουτέστι τᾷ △Γ ἴσα.
그러므로 직선 ΔH 또한 ΔB, 즉 ΔΓ와 같을 것이다.
Καὶ ἐπεὶ ἁ ΒΕ παρὰ τὰν ΗΓ ἐστίν, ἐσσεῖται ἄρα καὶ ἁ ΒΖ τᾷ ΖΕ ἴσα·
그리고 BE는 HΓ에 평행하므로, 그러므로 BZ 또한 ZE와 같을 것이다.
δέδεικται οὖν τὸ προτεθέν.
그러므로 증명하고자 하는 바가 증명되었다.
§3## γ΄.
## γ΄.
Ἔστω τμᾶμα κύκλου τὸ ΑΓ καὶ ἀπὸ σαμείου τινος Β τᾶς περιφερείας ἄχθω τᾷ ΑΓ ποτ᾿ ὀρθὰς ἁ Β△, λελάφθω δὲ εὐθεῖα ἁ △Ε εὐθείᾳ τᾷ △Α ἴσα καὶ περιφέρεια ἁ ΒΖ τᾷ ΑΒ·
원호 AΓ가 있고, 그 원주 위의 임의의 점 B로부터 AΓ에 수직으로 BΔ가 그어지며, 직선 ΔE가 직선 ΔA와 같고, 호 BZ가 호 AB와 같게 잡혔다고 하자.
φαμὶ δή, ἐπιζευχθεῖσα ἁ ΓΖ εὐθεῖα τᾷ ΓΕ ἐστὶν ἴσα.
이때 연결된 직선 ΓZ는 ΓE와 같다고 나는 주장한다.
Ἐπεζεύχθωσαν γὰρ αἱ ΑΒ, ΒΖ, ΖΕ, ΕΒ εὐθεῖαι·
왜냐하면 직선 AB, BZ, ZE, EB가 연결되도록 하자.
καὶ ἐπεὶ ἁ Α△ τᾷ △Ε ἐστὶν ἴσα, κοινὰ δὲ ἁ Β△, δύο δὴ αἱ Α△, △Β δυσὶ ταῖς Ε△, △Β ἑκατέρα ἑκατέρᾳ ἴσαι ἐντί·
그리고 AΔ는 ΔE와 같고 BΔ는 공통이므로, 두 직선 AΔ, ΔB는 각각 두 직선 EΔ, ΔB와 같다.
ἔστι δὲ γωνία ἁ ὑπὸ Α△Β γωνίᾳ τᾷ ὑπὸ Ε△Β ἴσα βάσις ἄρα ἁ ΕΒ βάσει τᾷ ΑΒ, τουτέστι τᾷ ΒΖ, ἐστὶν ἴσα γωνία ἄρα ἁ ὑπὸ ΒΕΖ γωνίᾳ τᾷ ὑπὸ ΒΖΕ ἐστὶν ἴσα.
또한 각 AΔB는 각 EΔB와 같다. 그러므로 밑변 EB는 밑변 AB, 즉 BZ와 같다. 그러므로 각 BEZ는 각 BZE와 같다.
Καὶ ἐπεὶ τετράπλευρον τὸ ΑΒΖΓ ἐν κύκλῳ ἐστίν, γωνίαι αἱ ἀπεναντίον αἱ ὑπὸ ΓΖΒ, ΓΑΒ, τουτέστιν αἱ ὑπὸ ΓΖΒ, ΒΕΑ, δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι ἐντί.
그리고 사각형 ABZΓ는 원에 내접하므로 대각인 ΓZB와 ΓAB, 즉 ΓZB와 BEA의 합은 두 직각과 같다.
Ἔστι δὲ καὶ συναμφότερος ἁ ὑπὸ ΓΕΒ, ΒΕΑ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσα κοινὰ ἀφαιρήσθω ἁ ὑπὸ ΒΕΑ γωνία ἄρα ἁ ὑπὸ ΓΖΒ γωνίᾳ τᾷ ὑπὸ ΓΕΒ ἐστὶν ἴσα κοινὰ ἀφαιρήσθω ἁ ὑπὸ ΒΖΕ, τουτέστιν ἁ ὑπὸ ΒΕΖ·
그런데 각 ΓEB와 BEA의 합 또한 두 직각과 같다. 공통인 각 BEA를 빼도록 하자. 그러므로 각 ΓZB는 각 ΓEB와 같다. 공통인 각 BZE, 즉 BEZ를 빼도록 하자.
λοιπαὶ ἄρα αἱ ποτὶ τᾷ βάσει τᾷ ΕΖ τριγώνου τοῦ ΕΓΖ· γωνίαι αἱ ὑπὸ ΓΖΕ, ΖΕΓ ἴσαι ἀλλάλαις ἐντί·
그러므로 삼각형 EΓZ의 밑변 EZ에 대한 남은 각들, 즉 각 ΓZE와 ZEΓ는 서로 같다.
πλευρὰ ἄρα ἁ ΖΓ πλευρᾷ τᾷ ΕΓ ἐστὶν ἴσα δέδεικται οὖν τὸ προτεθέν.
따라서 변 ZΓ는 변 EΓ와 같다. 그러므로 증명하고자 하는 바가 증명되었다.