§4#1ΙV. Τούτων δὲ τῶν μὲν ὑποκειμένων, τῶν δὲ ἀποδεδειγμένων, τὸ προκείμενον δειχθήσεται.
Ⅳ. これらのことが一方は仮定され、他方は証明されたので、提示された事柄が示されるであろう。
Ἐπεὶ γὰρ ὑπόκειται τὰν διάμετρον τᾶς μάκωνος μὴ ἐλάσσονα εἶμεν ἢ τετρωκοστομόριον δακτύλου, δῆλον ὡς ἁ σφαῖρα ἁ δακτυλιαίαν ἔχουσα τὰν διάμετρον οὐ μείζων ἐστὶν ἢ ὥστε χωρεῖν μάκωνας ἑξακισμυρίας καὶ τετρακισχιλίας τᾶς γὰρ σφαίρας τᾶς ἐχούσας τὰν διάμετρον τετρωκοστομόριον δακτύλου πολλαπλασία ἐστὶν τῷ εἰρημένῳ ἀριθμῷ·
なぜなら、ケシ粒の直径は指の幅の40分の1より小さくないと仮定されているので、直径1指を持つ球は、6万4千個のケシ粒を容れるよりも大きくないことは明らかである。 なぜなら、（直径1指の球は）直径が指の40分の1である球の、上記の数倍であるからである。
δέδεικται γάρ τοι ὅτι αἱ σφαῖραι τριπλάσιον λόγον ἔχοντι ποτὶ ἀλλάλας τᾶν διαμέτρων.
というのも、球は互いに、直径の3乗の比を持つということが証明されているからである。
Ἐπεὶ δὲ ὑπόκειται καὶ τοῦ ψάμμου τὸν ἀριθμὸν τοῦ εἰς τὸ τᾶς μάκωνος μέγεθος μὴ μείζονα εἶμεν μυρίων, δῆλον ὡς, εἰ πληρωθείη ψάμμου ἁ σφαῖρα ἁ δακτυλιαίαν ἔχουσα τὰν διάμετρον, οὐ μείζων κα εἴη ὁ ἀριθμὸς τοῦ ψάμμου ἢ μυριάκις τὰ ἑξακισμύρια καὶ τετρακισχίλια.
また、ケシ粒の大きさの中にある砂粒の数は1万を超えないとも仮定されているので、もし直径1指を持つ球が砂で満たされるならば、その砂の数は、6万4千の1万倍を超えないであろうことは明らかである。
Οὗτος δέ ἐστιν ὁ ἀριθμὸς μονάδες τε (??) τῶν δευτέρων ἀριθμῶν καὶ τῶν πρώτων μυριάδες τετρακισχίλιαι· ἐλάσσων οὖν ἐστιν ἢ ῑ μονάδες τῶν δευτέρων ἀριθμῶν.
そしてこの数は、第二の数の[6]単位と、第一の数の4000万であり、したがって第二の数の10単位よりも小さい。
Ἁ δὲ τῶν ρ δακτύλων ἔχουσα τὰν διάμετρον σφαῖρα πολλαπλασία ἐστὶν τᾶς δακτυλιαίαν ἐχούσας τὰν διάμετρον σφαίρας ταῖς ρ μυριάδεσσιν διὰ τὸ τριπλάσιον λόγον ἔχειν ποτʼ ἀλλάλας τᾶν διαμέτρων τὰς σφαίρας.
他方、直径100指を持つ球は、直径1指を持つ球の100万倍である。 なぜなら、球は互いに直径の3乗の比を持つからである。
Εἰ οὖν γένοιτο ἐκ τοῦ ψάμμου σφαῖρα ταλικαύτα τὸ μέγεθος, ἁλίκα ἐστὶν ἁ σφαῖρα ἁ ἔχουσα τὰν διάμετρον δακτύλων ρ, δῆλον ὡς ἐλάττων ἐσσεῖται ὁ τοῦ ψάμμου ἀριθμὸς τοῦ γενομένου ἀριθμοῦ πολλαπλασιασθεισᾶν τᾶν δέκα μονάδων τῶν δευτέρων ἀριθμῶν ταῖς ρ μυριάδεσσιν, Ἐπεὶ δʼ αἱ τῶν δευτέρων ἀριθμῶν δέκα μονάδες δέκατός ἐστιν ἀριθμὸς ἀπὸ μονάδος ἀνάλογον ἐν τᾷ τῶν δεκαπλασίων ὅρων ἀναλογίᾳ, αἱ δὲ ἑκατὸν μυριάδες ἕβδομος ἀπὸ μονάδος ἐκ τᾶς αὐτᾶς ἀναλογίας, δῆλον ὡς ὁ γενόμενος ἀριθμὸς ἐσσεῖται τῶν ἐκ τᾶς αὐτᾶς ἀναλογίας ἑκκαιδέκατος ἀπὸ μονάδος δέδεικται γὰρ ὅτι ἑνὶ ἐλάσσονας ἀπέχει ἀπὸ τᾶς μονάδος ἢ ὅσος ἐστὶν ὁ ἀριθμὸς συναμφοτέρων, οὓς ἀπέχοντι ἀπὸ μονάδος οἱ πολλαπλασιάξαντες ἀλλάλους.
したがって、もし直径100指を持つ球と同じ大きさの砂の球ができるならば、その砂の数は、第二の数の10単位に100万を掛け合わせた積よりも小さくなることは明らかである。 ところで、第二の数の10単位は、10倍ずつの項からなる比例関係において、単位から始まって10番目の数であり、また100万は同じ比例関係において、単位から始まって7番目の数であるから、その積は同じ比例関係において、単位から始まって16番目の数になるであろうことは明らかである。 なぜなら、それ（積）が単位から離れている（項数）は、互いに掛け合わされた数が単位から離れている（項数）の両方を合わせた数よりも一だけ少ないことが証明されているからである。
Τῶν δὲ ἑκκαίδεκα τούτων ὀκτὼ μὲν οἱ πρῶτοι σὺν τᾷ μονάδι τῶν πρώτων καλουμένων ἐντί, οἱ δὲ μετὰ τούτους ὀκτὼ τῶν δευτέρων, καὶ ὁ ἔσχατός ἐστιν αὐτῶν χίλιαι μυριάδες δευτέρων ἀριθμῶν.
そしてこれら16個の数のうち、単位を含む最初の8つは「第一の数」と呼ばれるものに属し、これらに続く8つは「第二の数」に属し、その最後のものは、第二の数の千の万倍である。
Φανερὸν οὖν ὅτι τοῦ ψάμμου τὸ πλῆθος τοῦ μέγεθος ἔχοντος ἴσον τᾷ σφαίρᾳ τᾷ τὰν διάμετρον ρ δακτύλων ἐχούσᾳ ἔλαττόν ἐστιν ἢ χίλιαι μυριάδες τῶν δευτέρων ἀριθμῶν.
したがって、直径100指を持つ球と等しい大きさを持つ砂の量は、第二の数の千の万倍よりも少ないことは明らかである。
Πάλιν δὲ καὶ ἁ σφαῖρα ἁ τῶν μυρίων δακτύλων ἔχουσα τὰν διάμετρον πολλαπλασία ἐστὶν τᾶς σφαίρας τᾶς ἐχούσας τὰν διάμετρον ρ δακτύλων ταῖς ρ μυριάδεσσιν.
さらにまた、直径1万指を持つ球は、直径100指を持つ球の100万倍である。
Εἰ οὖν γένοιτο ἐκ τοῦ ψάμμου σφαῖρα ταλικαύτα τὸ μέγεθος, ἁλίκα ἐστὶν ἁ ἔχουσα σφαῖρα τὰν διάμετρον μυρίων δακτύλων, δῆλον ὡς ἐλάσσων ἐσσεῖται ὁ τοῦ ψάμμου ἀριθμὸς τοῦ γενομένου πολλαπλασιασθεισᾶν τᾶν χιλιᾶν μυριάδων τῶν δευτέρων ἀριθμῶν ταῖς ρ μυριάδεσσιν.
したがって、もし直径1万指を持つ球と同じ大きさの砂の球ができるならば、その砂の数は、第二の数の千の万倍に100万を掛け合わせた積よりも小さくなることは明らかである。
Ἐπεὶ δʼ αἱ μὲν τῶν δευτέρων ἀριθμῶν χίλιαι μυριάδες ἑκκαιδέκατός ἐστιν ἀριθμὸς ἀπὸ μονάδος ἀνάλογον, αἱ δὲ ρ μυριάδες ἕβδομος ἀπὸ μονάδος ἐν τᾷ αὐτᾷ ἀναλογίᾳ, δῆλον ὡς ὁ γενόμενος ἐσσεῖται δυοκαιεικοστὸς τῶν ἐκ τᾶς αὐτᾶς ἀναλογίας ἀπὸ μονάδος.
ところで、第二の数の千の万倍は、比例関係において単位から始まって16番目の数であり、また100万は同じ比例関係において単位から始まって7番目の数であるから、その積は同じ比例関係において、単位から始まって22番目の数になるであろうことは明らかである。
Τῶν δὲ δύο καὶ εἴκοσι τούτων ὁκτὼ μὲν οἱ πρῶτοι σὺν τᾷ μονάδι τῶν πρώτων καλουμένων ἐντί, ὀκτὼ δὲ οἱ μετὰ τούτους τῶν δευτέρων καλουμένων, οἱ δὲ λοιποὶ ἓξ τῶν τρίτων καλουμένων, καὶ ὁ ἔσχατος αὐτῶν ἐστι δέκα μυριάδες τῶν τρίτων ἀριθμῶν.
そしてこれら22個の数のうち、最初の8つは単位を含めて「第一の数」と呼ばれるものに属し、これらに続く8つは「第二の数」と呼ばれるものに属し、残りの6つは「第三の数」と呼ばれるものに属し、その最後のものは、第三の数の十の万倍である。
Φανερὸν οὖν ὅτι τὸ τοῦ ψάμμου πλῆθος τοῦ μέγεθος ἔχοντος ἴσον τᾷ σφαίρᾳ τᾷ τὰν διάμετρον ἐχούσᾳ μυρίων δακτύλων ἔλασσόν ἐστιν ἢ ῑ μυριάδες τρίτων ἀριθμῶν.
したがって、直径1万指を持つ球と等しい大きさを持つ砂の量は、第三の数の10万よりも少ないことは明らかである。
Καὶ ἐπεὶ ἐλάσσων ἐστὶν ἁ σταδιαίαν ἔχουσα τὰν διάμετρον σφαῖρα τᾶς σφαίρας τᾶς ἐχούσας τὰν διάμετρον μυρίων δακτύλων, δῆλον ὅτι καὶ τὸ τοῦ ψάμμου πλῆθος τοῦ μέγεθος ἔχοντος ἴσον τᾷ σφαίρᾳ τᾷ τὰν διάμετρον ἐχούσᾳ σταδιαίαν ἔλασσόν ἐστιν ἢ ῑ μυριάδες τῶν τρίτων ἀριθμῶν.
そして、直径1スタディオンを持つ球は、直径1万指を持つ球よりも小さいので、直径1スタディオンを持つ球と等しい大きさを持つ砂の量もまた、第三の数の10万よりも少ないことは明らかである。
Πάλιν δὴ ἁ σφαῖρα ἁ ἔχουσα τὰν διάμετρον ρ σταδίων πολλαπλασίων ἐστὶ τᾶς σφαίρας τᾶς ἐχούσας τὰν διάμετρον σταδιαίαν ταῖς ρ μυριάδεσσιν.
さらにまた、直径100スタディオンを持つ球は、直径1スタディオンを持つ球の100万倍である。
Εἰ οὖν γένοιτο ἐκ τοῦ ψάμμου σφαῖρα ταλικαύτα τὸ μέγεθος, ἁλίκα ἐστὶν ἁ ἔχουσα τὰν διάμετρον σταδίων, δῆλον ὅτι ἐλάσσων ἐσσεῖται ὁ τοῦ ψάμμου ἀριθμὸς τοῦ γενομένου ἀριθμοῦ πολλαπλασιασθεισᾶν τᾶν δέκα μυριάδων τρίτων ἀριθμῶν ταῖς ρ μυριάδεσσι.
したがって、もし直径100スタディオンを持つ球と同じ大きさの砂の球ができるならば、その砂の数は、第三の数の10万に100万を掛け合わせた積よりも小さくなることは明らかである。