§4#1ΙV. Τούτων δὲ τῶν μὲν ὑποκειμένων, τῶν δὲ ἀποδεδειγμένων, τὸ προκείμενον δειχθήσεται.
Ⅳ. 이러한 일들이 한편으로는 가정되고 다른 한편으로는 증명되었으므로, 제시된 명제가 증명될 것이다.
Ἐπεὶ γὰρ ὑπόκειται τὰν διάμετρον τᾶς μάκωνος μὴ ἐλάσσονα εἶμεν ἢ τετρωκοστομόριον δακτύλου, δῆλον ὡς ἁ σφαῖρα ἁ δακτυλιαίαν ἔχουσα τὰν διάμετρον οὐ μείζων ἐστὶν ἢ ὥστε χωρεῖν μάκωνας ἑξακισμυρίας καὶ τετρακισχιλίας τᾶς γὰρ σφαίρας τᾶς ἐχούσας τὰν διάμετρον τετρωκοστομόριον δακτύλου πολλαπλασία ἐστὶν τῷ εἰρημένῳ ἀριθμῷ·
왜냐하면 양귀비 씨앗의 지름은 손가락 너비의 40분의 1보다 작지 않다고 가정되었으므로, 1손가락 너비의 지름을 가진 구는 6만 4천 개의 양귀비 씨앗을 수용할 수 있는 것보다 더 크지 않다는 것이 명백하기 때문이다. 왜냐하면 (지름 1손가락 너비의 구는) 지름이 손가락 너비의 40분의 1인 구의 상기 수 배이기 때문이다.
δέδεικται γάρ τοι ὅτι αἱ σφαῖραι τριπλάσιον λόγον ἔχοντι ποτὶ ἀλλάλας τᾶν διαμέτρων.
실로 구들은 서로에 대해 지름의 3제곱의 비율을 가진다는 것이 증명되어 있다.
Ἐπεὶ δὲ ὑπόκειται καὶ τοῦ ψάμμου τὸν ἀριθμὸν τοῦ εἰς τὸ τᾶς μάκωνος μέγεθος μὴ μείζονα εἶμεν μυρίων, δῆλον ὡς, εἰ πληρωθείη ψάμμου ἁ σφαῖρα ἁ δακτυλιαίαν ἔχουσα τὰν διάμετρον, οὐ μείζων κα εἴη ὁ ἀριθμὸς τοῦ ψάμμου ἢ μυριάκις τὰ ἑξακισμύρια καὶ τετρακισχίλια.
또한 양귀비 씨앗의 크기 안에 들어가는 모래알의 수는 만 개보다 많지 않다고 가정되어 있으므로, 만일 지름 1손가락 너비의 구가 모래로 채워진다면 모래알의 수는 6만 4천의 만 배보다 많지 않을 것임이 명백하다.
Οὗτος δέ ἐστιν ὁ ἀριθμὸς μονάδες τε (??) τῶν δευτέρων ἀριθμῶν καὶ τῶν πρώτων μυριάδες τετρακισχίλιαι· ἐλάσσων οὖν ἐστιν ἢ ῑ μονάδες τῶν δευτέρων ἀριθμῶν.
그리고 이 수는 제2의 수의 [6] 단위와 제1의 수의 4000만이며, 따라서 제2의 수의 10 단위보다 작다.
Ἁ δὲ τῶν ρ δακτύλων ἔχουσα τὰν διάμετρον σφαῖρα πολλαπλασία ἐστὶν τᾶς δακτυλιαίαν ἐχούσας τὰν διάμετρον σφαίρας ταῖς ρ μυριάδεσσιν διὰ τὸ τριπλάσιον λόγον ἔχειν ποτʼ ἀλλάλας τᾶν διαμέτρων τὰς σφαίρας.
한편, 100손가락 너비의 지름을 가진 구는 지름 1손가락 너비를 가진 구의 100만 배인데, 이는 구들이 서로에 대해 지름의 3제곱의 비율을 가지기 때문이다.
Εἰ οὖν γένοιτο ἐκ τοῦ ψάμμου σφαῖρα ταλικαύτα τὸ μέγεθος, ἁλίκα ἐστὶν ἁ σφαῖρα ἁ ἔχουσα τὰν διάμετρον δακτύλων ρ, δῆλον ὡς ἐλάττων ἐσσεῖται ὁ τοῦ ψάμμου ἀριθμὸς τοῦ γενομένου ἀριθμοῦ πολλαπλασιασθεισᾶν τᾶν δέκα μονάδων τῶν δευτέρων ἀριθμῶν ταῖς ρ μυριάδεσσιν, Ἐπεὶ δʼ αἱ τῶν δευτέρων ἀριθμῶν δέκα μονάδες δέκατός ἐστιν ἀριθμὸς ἀπὸ μονάδος ἀνάλογον ἐν τᾷ τῶν δεκαπλασίων ὅρων ἀναλογίᾳ, αἱ δὲ ἑκατὸν μυριάδες ἕβδομος ἀπὸ μονάδος ἐκ τᾶς αὐτᾶς ἀναλογίας, δῆλον ὡς ὁ γενόμενος ἀριθμὸς ἐσσεῖται τῶν ἐκ τᾶς αὐτᾶς ἀναλογίας ἑκκαιδέκατος ἀπὸ μονάδος δέδεικται γὰρ ὅτι ἑνὶ ἐλάσσονας ἀπέχει ἀπὸ τᾶς μονάδος ἢ ὅσος ἐστὶν ὁ ἀριθμὸς συναμφοτέρων, οὓς ἀπέχοντι ἀπὸ μονάδος οἱ πολλαπλασιάξαντες ἀλλάλους.
그러므로 만일 지름 100손가락 너비의 구와 크기가 같은 모래 구가 생긴다면, 모래알의 수는 제2의 수의 10 단위에 100만을 곱하여 얻은 수보다 작을 것임이 명백하다. 그런데 제2의 수의 10 단위는 10배씩 증가하는 항들의 비례관계에서 단위로부터 시작하여 10번째 수이고, 100만은 동일한 수열에서 단위로부터 시작하여 7번째 수이므로, 그 적은 동일한 수열에서 단위로부터 시작하여 16번째 수가 될 것임이 명백하다. 왜냐하면 그것이 단위로부터 떨어져 있는 거리(항의 수)는 곱해진 수들이 각각 단위로부터 떨어져 있는 두 수의 합보다 하나 적음이 증명되어 있기 때문이다.
Τῶν δὲ ἑκκαίδεκα τούτων ὀκτὼ μὲν οἱ πρῶτοι σὺν τᾷ μονάδι τῶν πρώτων καλουμένων ἐντί, οἱ δὲ μετὰ τούτους ὀκτὼ τῶν δευτέρων, καὶ ὁ ἔσχατός ἐστιν αὐτῶν χίλιαι μυριάδες δευτέρων ἀριθμῶν.
그리고 이들 16개 중에서 단위를 포함한 처음 8개는 소위 '제1의 수'에 속하고, 이것들 다음에 오는 8개는 '제2의 수'에 속하며, 그 마지막 것은 제2의 수의 천의 만 배이다.
Φανερὸν οὖν ὅτι τοῦ ψάμμου τὸ πλῆθος τοῦ μέγεθος ἔχοντος ἴσον τᾷ σφαίρᾳ τᾷ τὰν διάμετρον ρ δακτύλων ἐχούσᾳ ἔλαττόν ἐστιν ἢ χίλιαι μυριάδες τῶν δευτέρων ἀριθμῶν.
그러므로 지름 100 손가락 너비의 지름을 가진 구와 크기가 같은 모래의 양은 제2의 수의 천의 만 배보다 적음이 명백하다.
Πάλιν δὲ καὶ ἁ σφαῖρα ἁ τῶν μυρίων δακτύλων ἔχουσα τὰν διάμετρον πολλαπλασία ἐστὶν τᾶς σφαίρας τᾶς ἐχούσας τὰν διάμετρον ρ δακτύλων ταῖς ρ μυριάδεσσιν.
다시 또한 지름 만 손가락 너비를 가진 구는 지름 100손가락 너비를 가진 구의 100만 배이다.
Εἰ οὖν γένοιτο ἐκ τοῦ ψάμμου σφαῖρα ταλικαύτα τὸ μέγεθος, ἁλίκα ἐστὶν ἁ ἔχουσα σφαῖρα τὰν διάμετρον μυρίων δακτύλων, δῆλον ὡς ἐλάσσων ἐσσεῖται ὁ τοῦ ψάμμου ἀριθμὸς τοῦ γενομένου πολλαπλασιασθεισᾶν τᾶν χιλιᾶν μυριάδων τῶν δευτέρων ἀριθμῶν ταῖς ρ μυριάδεσσιν.
그러므로 만일 지름 만 손가락 너비의 지름을 가진 구와 크기가 같은 모래 구가 생긴다면, 모래알의 수는 제2의 수의 천의 만 배에 100만을 곱하여 얻은 수보다 작을 것임이 명백하다.
Ἐπεὶ δʼ αἱ μὲν τῶν δευτέρων ἀριθμῶν χίλιαι μυριάδες ἑκκαιδέκατός ἐστιν ἀριθμὸς ἀπὸ μονάδος ἀνάλογον, αἱ δὲ ρ μυριάδες ἕβδομος ἀπὸ μονάδος ἐν τᾷ αὐτᾷ ἀναλογίᾳ, δῆλον ὡς ὁ γενόμενος ἐσσεῖται δυοκαιεικοστὸς τῶν ἐκ τᾶς αὐτᾶς ἀναλογίας ἀπὸ μονάδος.
그런데 제2의 수의 천의 만 배는 수열에서 단위로부터 시작하여 16번째 수이고, 100만은 동일한 수열에서 단위로부터 시작하여 7번째 수이므로, 그 적은 동일한 수열에서 단위로부터 시작하여 22번째 수가 될 것임이 명백하다.
Τῶν δὲ δύο καὶ εἴκοσι τούτων ὁκτὼ μὲν οἱ πρῶτοι σὺν τᾷ μονάδι τῶν πρώτων καλουμένων ἐντί, ὀκτὼ δὲ οἱ μετὰ τούτους τῶν δευτέρων καλουμένων, οἱ δὲ λοιποὶ ἓξ τῶν τρίτων καλουμένων, καὶ ὁ ἔσχατος αὐτῶν ἐστι δέκα μυριάδες τῶν τρίτων ἀριθμῶν.
그리고 이들 22개 중에서 처음 8개는 단위를 포함하여 소위 '제1의 수'에 속하고, 이것들 다음에 오는 8개는 소위 '제2의 수'에 속하며, 나머지 6개는 소위 '제3의 수'에 속하는데, 그 마지막 것은 제3의 수의 십의 만 배이다.
Φανερὸν οὖν ὅτι τὸ τοῦ ψάμμου πλῆθος τοῦ μέγεθος ἔχοντος ἴσον τᾷ σφαίρᾳ τᾷ τὰν διάμετρον ἐχούσᾳ μυρίων δακτύλων ἔλασσόν ἐστιν ἢ ῑ μυριάδες τρίτων ἀριθμῶν.
그러므로 지름 만 손가락 너비를 가진 구와 크기가 같은 모래의 양은 제3의 수의 10만보다 적음이 명백하다.
Καὶ ἐπεὶ ἐλάσσων ἐστὶν ἁ σταδιαίαν ἔχουσα τὰν διάμετρον σφαῖρα τᾶς σφαίρας τᾶς ἐχούσας τὰν διάμετρον μυρίων δακτύλων, δῆλον ὅτι καὶ τὸ τοῦ ψάμμου πλῆθος τοῦ μέγεθος ἔχοντος ἴσον τᾷ σφαίρᾳ τᾷ τὰν διάμετρον ἐχούσᾳ σταδιαίαν ἔλασσόν ἐστιν ἢ ῑ μυριάδες τῶν τρίτων ἀριθμῶν.
그리고 지름 1스타디온을 가진 구는 지름 만 손가락 너비를 가진 구보다 작으므로, 지름 1스타디온을 가진 구와 크기가 같은 모래의 양 역시 제3의 수의 10만보다 적음이 명백하다.
Πάλιν δὴ ἁ σφαῖρα ἁ ἔχουσα τὰν διάμετρον ρ σταδίων πολλαπλασίων ἐστὶ τᾶς σφαίρας τᾶς ἐχούσας τὰν διάμετρον σταδιαίαν ταῖς ρ μυριάδεσσιν.
다시 또한 지름 100스타디온을 가진 구는 지름 1스타디온을 가진 구의 100만 배이다.
Εἰ οὖν γένοιτο ἐκ τοῦ ψάμμου σφαῖρα ταλικαύτα τὸ μέγεθος, ἁλίκα ἐστὶν ἁ ἔχουσα τὰν διάμετρον σταδίων, δῆλον ὅτι ἐλάσσων ἐσσεῖται ὁ τοῦ ψάμμου ἀριθμὸς τοῦ γενομένου ἀριθμοῦ πολλαπλασιασθεισᾶν τᾶν δέκα μυριάδων τρίτων ἀριθμῶν ταῖς ρ μυριάδεσσι.
그러므로 만일 지름 100스타디온의 지름을 가진 구와 크기가 같은 모래 구가 생긴다면, 모래알의 수는 제3의 수의 10만에 100만을 곱하여 얻은 수보다 작을 것임이 명백하다.