§3#2Ἔστω κύκλος καὶ διάμετρος ἡ ΑΓ, ἡ δὲ ὑπὸ ΒΑΓ τρίτου ὀρθῆς·
한 원이 있고 지름 ΑΓ가 있으며, 각 ΒΑΓ는 직각의 3분의 1이라고 하자.
ἡ ΑΒ ἄρα πρὸς ΒΓ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἢ ὃν αταν πρὸς ψπ.
그렇다면 ΑΒ는 ΒΓ에 대하여 1351 대 780보다 더 작은 비를 가진다.
Δίχα ἡ ὑπὸ ΒΑΓ τῇ ΑΗ. Ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΒΑΗ τῇ ὑπὸ ΗΓΒ, ἀλλὰ καὶ τῇ ὑπὸ ΗΑΓ, καὶ ἡ ὑπὸ ΗΓΒ τῇ ὑπὸ ΗΑΓ ἐστὶν ἴση.
각 ΒΑΓ가 ΑΗ에 의해 이등분된다고 하자. 그렇다면 각 ΒΑΗ는 각 ΗΓΒ와 같고, 또한 각 ΗΑΓ와도 같으므로, 각 ΗΓΒ 역시 각 ΗΑΓ와 같다.
Καὶ κοινὴ ἡ ὑπὸ ΑΗΓ ὀρθή·
그리고 공통인 각 ΑΗΓ는 직각이다.
καὶ τρίτη ἄρα ἡ ὑπὸ ΗΖΓ τρίτῃ τῇ ὑπὸ ΑΓΗ ἴση.
그러므로 세 번째 각 ΗΖΓ 역시 세 번째 각 ΑΓΗ와 같다.
Ἰσογώνιον ἄρα τὸ ΑΗΓ τῷ ΓΗΖ τριγώνῳ·
따라서 삼각형 ΑΗΓ는 삼각형 ΓΗΖ와 닮음이다.
ἔστιν ἄρα, ὡς ἡ ΑΗ πρὸς ΗΓ, ἡ ΓΗ πρὸς ΗΖ καὶ ἡ ΑΓ πρὸς ΓΖ. Ἀλλʼ ὡς ἡ ΑΓ πρὸς ΓΖ, συναμφότερος ἡ ΓΑΒ πρὸς ΒΓ·
그러므로 ΑΗ가 ΗΓ에 대한 것과 같이, ΓΗ는 ΗΖ에 대한 것이고 ΑΓ는 ΓΖ에 대한 것이다. 그런데 ΑΓ가 ΓΖ에 대한 것과 같이, ΓΑ와 ΑΒ를 합한 것(ΓΑΒ)은 ΒΓ에 대한 것이다.
καὶ ὡς συναμφότερος ἄρα ἡ ΒΑΓ πρὸς ΒΓ, ἡ ΑΗ πρὸς ΗΓ. Διὰ τοῦτο οὖν ἡ ΑΗ πρὸς ΗΓ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ βϡια πρὸς ψπ, ἡ δὲ ΑΓ πρὸς τὴν ΓΗ ἐλάσσονα ἢ ὃν γιγ U+2220΄ δ΄ πρὸς ψπ.
그러므로 ΒΑ와 아그를 합한 것이 ΒΓ에 대한 것과 같이, ΑΗ는 ΗΓ에 대한 것이다. 따라서 이 때문에 ΑΗ는 ΗΓ에 대하여 2911 대 780보다 더 작은 비를 가지고, ΑΓ는 ΓΗ에 대하여 3013과 2분의 1과 4분의 1 대 780보다 더 작은 비를 가진다.
Δίχα ἡ ὑπὸ ΓΑΗ τῇ ΑΘ·
각 ΓΑΗ가 ΑΘ에 의해 이등분된다고 하자.
ἡ ΑΘ ἄρα διὰ τὰ αὐτὰ πρὸς τὴν ΘΓ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἢ ὃν εϡκδ U+2220΄ δ΄ πρὸς ψπ ἢ ὃν αωκγ πρὸς σμ·
그러므로 같은 이유로 ΑΘ는 ΘΓ에 대하여 5924와 2분의 1과 4분의 1 대 780보다 더 작은 비, 즉 1823 대 240보다 더 작은 비를 가진다.
ἑκατέρα γὰρ ἑκατέρας δ ιγ΄·
왜냐하면 후자의 각각은 전자의 각각의 13분의 4이기 때문이다.
ὥστε ἡ ΑΓ πρὸς τὴν ΓΘ ἢ ὃν αωλη θ ια΄ πρὸς σμ.
따라서 ΑΓ는 ΓΘ에 대하여 1838과 11분의 9 대 240보다 더 작은 비를 가진다.
Ἔτι δίχα ἡ ὑπὸ ΘΑΓ τῇ ΚΑ·
다시 각 ΘΑΓ가 ΚΑ에 의해 이등분된다고 하자.
καὶ ὁ ΑΚ πρὸς τὴν ΚΓ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἢ ὃν αζ πρὸς ξς·
그리고 ΑΚ는 ΚΓ에 대하여 1007 대 66보다 더 작은 비를 가진다.
ἑκατέρα γὰρ ἑκατέρας ια μ΄.
왜냐하면 후자의 각각은 전자의 각각의 40분의 11이기 때문이다.
Ἡ ΑΓ ἄρα πρὸς ΚΓ ἢ ὃν αθ ϛ΄ πρὸς ξς.
그러므로 ΑΓ는 ΚΓ에 대하여 1009와 6분의 1 대 66보다 더 작은 비를 가진다.
Ἔτι δίχα ἡ ὑπὸ ΚΑΓ τῇ ΛΑ·
다시 각 ΚΑΓ가 ΛΑ에 의해 이등분된다고 하자.
ἡ ΑΛ ἄρα πρὸς ΛΓ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἢ ὃν τὰ βις ϛ΄ πρὸς ξς, ἡ δὲ ΑΓ πρὸς ΓΛ ἐλάσσονα ἢ τὰ βιζ δ΄ πρὸς ξς.
그러므로 ΑΛ은 ΛΓ에 대하여 2016과 6분의 1 대 66보다 더 작은 비를 가지고, ΑΓ는 ΓΛ에 대하여 2017과 4분의 1 대 66보다 더 작은 비를 가진다.
Ἀνάπαλιν ἄρα ἡ περίμετρος τοῦ πολυγώνου πρὸς τὴν διάμετρον μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ςτλς πρὸς βιζ δ΄.
그러므로 거꾸로, 다각형의 둘레는 지름에 대하여 6336 대 2017과 4분의 1보다 더 큰 비를 가진다.
ἅπερ τῶν βιζ δ΄ μείζονά ἐστιν ἢ τριπλασίονα καὶ δέκα οα΄·
이것은 2017과 4분의 1의 세 배와 71분의 10보다 더 크다.
καὶ ἡ περίμετρος ἄρα τοῦ (??)ςγώνου τοῦ ἐν τῷ κύκλῳ τῆς διαμέτρου τριπλασίων ἐστὶ καὶ μείζων ἢ ι οα΄·
따라서 원에 내접하는 96각형의 둘레 역시 지름의 세 배이며 71분의 10보다 더 크다.
ὥστε καὶ ὁ κύκλος ἔτι μᾶλλον τριπλασίων ἐστὶ καὶ μείζων ἢ ι οα΄.
그러므로 원 역시 더욱이 [지름의] 세 배와 71분의 10보다 더 크다.
Ἡ ἄρα τοῦ κύκλου περίμετρος τῆς διαμέτρου τριπλασίων ἐστὶ καὶ ἐλάσσονι μὲν ἢ ἑβδόμῳ μέρει, μείζονι δὲ ἢ ι οα΄ μείζων.
그러므로 원의 둘레는 지름의 세 배이며, 7분의 1보다 더 작은 부분만큼 더 크고, 71분의 10보다는 더 큰 부분만큼 더 크다.