§1## α΄. Πᾶς κύκλος ἴσος ἐστὶ τριγώνῳ ὀρθογωνίῳ, οὗ ἡ μὲν ἐκ τοῦ κέντρου ἴση μιᾷ τῶν περὶ τὴν ὀρθήν, ἡ δὲ περίμετρος τῇ βάσει.
## 명제 1 모든 원은 반지름이 직각을 끼고 있는 한 변과 같고, 둘레는 밑변과 같은 직각삼각형과 같다.
Ἐχέτω ὁ ΑΒΓ△ κύκλος τριγώνῳ τῷ Ε, ὡς ὑπόκειται·
원 ΑΒΓΔ가 가정된 바와 같이 삼각형 Ε에 대해 그러한 관계를 가진다고 하자.
λέγω ὅτι ἴσος ἐστίν.
나는 그것이 같다고 주장한다.
Εἰ γὰρ δυνατόν, ἔστω μείζων ὁ κύκλος, καὶ ἐγγεγράφθω τὸ ΑΓ τετράγωνον, καὶ τετμήσθωσαν αἱ περιφέρειαι δίχα, καὶ ἔστω τὰ τμήματα ἤδη ἐλάσσονα τῆς ὑπεροχῆς, ᾗ ὑπερέχει ὁ κύκλος τοῦ τριγώνου·
만일 가능하다면 원이 더 크다고 하고, 정사각형 ΑΓ를 내접시키며, 호들을 이등분하고, 그 활꼴들이 이미 원이 삼각형을 초과하는 그 초과분보다 더 작아지게 되었다고 하자.
τὸ εὐθύγραμμον ἄρα ἔτι τοῦ τριγώνου ἐστὶ μεῖζον.
그렇다면 내접한 직선도형은 여전히 삼각형보다 더 크다.
Εἰλήφθω κέντρον τὸ Ν καὶ κάθετος ἡ ΝΞ·
중심 Ν과 수선 ΝΞ를 취하자.
ἐλάσσων ἄρα ἡ ΝΞ τῆς τοῦ τριγώνου πλευρᾶς.
그렇다면 ΝΞ는 삼각형의 변보다 더 작다.
Ἔστιν δὲ καὶ ἡ περίμετρος τοῦ εὐθυγράμμου τῆς λοιπῆς ἐλάττων, ἐπεὶ καὶ τῆς τοῦ κύκλου περιμέτρου ἔλαττον ἄρα τὸ εὐθύγραμμον τοῦ Ε τριγώνου·
또한 직선도형의 둘레도 남은 변보다 더 작으니, 원의 둘레보다도 작기 때문이다. 따라서 직선도형은 삼각형 Ε보다 더 작다.
ὅπερ ἄτοπον.
이는 모순이다.
Ἔστω δὲ ὁ κύκλος, εἰ δυνατόν, ἐλάσσων τοῦ Ε τριγώνου, καὶ περιγεγράφθω τὸ τετράγωνον, καὶ τετμήσθωσαν αἱ περιφέρειαι δίχα, καὶ ἤχθωσαν ἐφαπτόμεναι διὰ τῶν σημείων·
반대로 가능하다면 원이 삼각형 Ε보다 더 작다고 하고, 정사각형을 외접시키며, 호들을 이등분하고, 그 점들을 통과하여 접선들을 긋도록 하자.
ὀρθὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΟΑΡ. Ἡ ΟΡ ἄρα τῆς ΜΡ ἐστὶν μείζων·
그렇다면 각 ΟΑΡ는 직각이다. 따라서 ΟΡ는 ΜΡ보다 더 크다.
ἡ γὰρ ΡΜ τῇ ΡΑ ἴση ἐστί·
ΡΜ은 ΡΑ와 같기 때문이다.
καὶ τὸ ΡΟΠ τρίγωνον ἄρα τοῦ ΟΖΑΜ σχήματος μεῖζόν ἐστιν ἢ τὸ ἥμισυ.
그러므로 삼각형 ΡΟΠ 역시 도형 ΟΖΑΜ의 절반보다 더 크다.
Λελείφθωσαν οἱ τῷ ΠΖΑ τομεῖ ὅμοιοι ἐλάσσους τῆς ὑπεροχῆς, ᾗ ὑπερέχει τὸ Ε τοῦ ΑΒΓ△ κύκλου·
남겨진 부채꼴 ΠΖΑ와 닮은 도형들이 삼각형 Ε가 원 ΑΒΓΔ를 초과하는 초과분보다 더 작아지도록 하자.
ἔτι ἄρα τὸ περιγεγραμμένον εὐθύγραμμον τοῦ Ε ἐστὶν ἔλασσον·
그렇다면 외접한 직선도형은 여전히 삼각형 Ε보다 더 작다.
ὅπερ ἄτοπον·
이는 모순이다.
ἔστιν γὰρ μεῖζον, ὅτι ἡ μὲν ΝΑ ἴση ἐστὶ τῇ καθέτῳ τοῦ τριγώνου, ἡ δὲ περίμετρος μείζων ἐστὶ τῆς βάσεως τοῦ τριγώνου.
그것은 더 크기 때문인데, ΝΑ는 삼각형의 수선과 같고 둘레는 삼각형의 밑변보다 더 크기 때문이다.
Ἴσος ἄρα ὁ κύκλος τῷ Ε τριγώνῳ.
따라서 원은 삼각형 Ε와 같다.
§2## β΄. Ὁ κύκλος πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς διαμέτρου τετράγωνον λόγον ἔχει, ὃν ῑᾱ πρὸς ῑδ.
## 명제 2 원은 그 지름 위의 정사각형에 대하여, 11이 14에 대하여 가지는 비를 가진다.
Ἔστω κύκλος, οὗ διάμετρος ἡ ΑΒ, καὶ περιγεγράφθω τετράγωνον τὸ ΓΗ, καὶ τῆς Γ△ διπλῆ ἡ △Ε, ἕβδομον δὲ ἡ ΕΖ τῆς Γ△.
지름이 ΑΒ인 원이 있다고 하고, 정사각형 ΓΗ가 외접한다고 하자. 그리고 ΓΔ의 두 배를 ΔΕ라 하고, ΓΔ의 7분의 1을 ΕΖ라고 하자.
Ἐπεὶ οὖν τὸ ΑΓΕ πρὸς τὸ ΑΓ△ λόγον ἔχει, ὃν κᾱ πρὸς ζ, πρὸς δὲ τὸ ΑΕΖ τὸ ΑΓ△ λόγον ἔχει, ὃν ἑπτὰ πρὸς ἐν, τὸ ΑΓΖ πρὸς τὸ ΑΓ△ ἐστίν, ὡς κβ πρὸς ζ.
그렇다면 [삼각형] ΑΓΕ가 [삼각형] ΑΓΔ에 대하여 21 대 7의 비를 가지고, [삼각형] ΑΓΔ가 [삼각형] ΑΕΖ에 대하여 7 대 1의 비를 가지므로, [사각형] ΑΓΔΖ는 [삼각형] ΑΓΔ에 대하여 22 대 7의 비를 가진다.
Ἀλλὰ τοῦ ΑΓ△ τετραπλάσιόν ἐστι τὸ ΓΗ τετράγωνον, τὸ δὲ ΑΓ△Ζ τρίγωνον τῷ ΑΒ κύκλῳ ἴσον ἐστίν·
그러나 정사각형 ΓΗ는 [삼각형] ΑΓΔ의 네 배이며, 도형 ΑΓΔΖ는 원 ΑΒ와 같다.
ὁ κύκλος οὖν πρὸς τὸ ΓΗ τετράγωνον λόγον ἔχει, ὃν ῑᾱ πρὸς ιδ.
따라서 원은 정사각형 ΓΗ에 대하여 11 대 14의 비를 가진다.