§1## α΄. Πᾶς κύκλος ἴσος ἐστὶ τριγώνῳ ὀρθογωνίῳ, οὗ ἡ μὲν ἐκ τοῦ κέντρου ἴση μιᾷ τῶν περὶ τὴν ὀρθήν, ἡ δὲ περίμετρος τῇ βάσει.
## 命题一任何圆都等于一个直角三角形，其半径等于夹直角的一边，而周长等于底边。
Ἐχέτω ὁ ΑΒΓ△ κύκλος τριγώνῳ τῷ Ε, ὡς ὑπόκειται· λέγω ὅτι ἴσος ἐστίν.
设圆ΑΒΓΔ与三角形Ε具有如上所述的关系；我声明它是相等的。
Εἰ γὰρ δυνατόν, ἔστω μείζων ὁ κύκλος, καὶ ἐγγεγράφθω τὸ ΑΓ τετράγωνον, καὶ τετμήσθωσαν αἱ περιφέρειαι δίχα, καὶ ἔστω τὰ τμήματα ἤδη ἐλάσσονα τῆς ὑπεροχῆς, ᾗ ὑπερέχει ὁ κύκλος τοῦ τριγώνου· τὸ εὐθύγραμμον ἄρα ἔτι τοῦ τριγώνου ἐστὶ μεῖζον.
因为，如果可能的话，设圆较大，且内接正方形ΑΓ，并将弧二等分，且设这些弓形已经小于圆超过三角形的超出部分；因此该直线图形仍然大于三角形。
Εἰλήφθω κέντρον τὸ Ν καὶ κάθετος ἡ ΝΞ· ἐλάσσων ἄρα ἡ ΝΞ τῆς τοῦ τριγώνου πλευρᾶς.
设取中心为Ν，垂线为ΝΞ；因此ΝΞ小于三角形的一边。
Ἔστιν δὲ καὶ ἡ περίμετρος τοῦ εὐθυγράμμου τῆς λοιπῆς ἐλάττων, ἐπεὶ καὶ τῆς τοῦ κύκλου περιμέτρου ἔλαττον ἄρα τὸ εὐθύγραμμον τοῦ Ε τριγώνου· ὅπερ ἄτοπον.
而且，直线图形的周长也小于剩余的边，因为它也小于圆的周长；因此，该直线图形小于三角形Ε；这是荒谬的。
Ἔστω δὲ ὁ κύκλος, εἰ δυνατόν, ἐλάσσων τοῦ Ε τριγώνου, καὶ περιγεγράφθω τὸ τετράγωνον, καὶ τετμήσθωσαν αἱ περιφέρειαι δίχα, καὶ ἤχθωσαν ἐφαπτόμεναι διὰ τῶν σημείων· ὀρθὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΟΑΡ. Ἡ ΟΡ ἄρα τῆς ΜΡ ἐστὶν μείζων·
相反，如果可能的话，设圆小于三角形Ε，且外切正方形，并将弧二等分，且通过这些点引切线；因此角ΟΑΡ是直角。
ἡ γὰρ ΡΜ τῇ ΡΑ ἴση ἐστί· καὶ τὸ ΡΟΠ τρίγωνον ἄρα τοῦ ΟΖΑΜ σχήματος μεῖζόν ἐστιν ἢ τὸ ἥμισυ.
因此ΟΡ大于ΜΡ；因为ΡΜ等于ΡΑ；因而三角形ΡΟΠ也大于图形ΟΖΑΜ的一半。
Λελείφθωσαν οἱ τῷ ΠΖΑ τομεῖ ὅμοιοι ἐλάσσους τῆς ὑπεροχῆς, ᾗ ὑπερέχει τὸ Ε τοῦ ΑΒΓ△ κύκλου· ἔτι ἄρα τὸ περιγεγραμμένον εὐθύγραμμον τοῦ Ε ἐστὶν ἔλασσον· ὅπερ ἄτοπον· ἔστιν γὰρ μεῖζον, ὅτι ἡ μὲν ΝΑ ἴση ἐστὶ τῇ καθέτῳ τοῦ τριγώνου, ἡ δὲ περίμετρος μείζων ἐστὶ τῆς βάσεως τοῦ τριγώνου.
设留下的、类似于扇形ΠΖΑ的图形小于三角形Ε超过圆ΑΒΓΔ的超出部分；因此外切的直线图形仍然小于三角形Ε；这是荒谬的；因为它其实更大，因为ΝΑ等于三角形的垂线，而周长大于三角形的底边。
Ἴσος ἄρα ὁ κύκλος τῷ Ε τριγώνῳ.
因此，该圆等于三角形Ε。
§2## β΄. Ὁ κύκλος πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς διαμέτρου τετράγωνον λόγον ἔχει, ὃν ῑᾱ πρὸς ῑδ.
## 命题二圆与其直径上的正方形之比，等于 11 比 14。
Ἔστω κύκλος, οὗ διάμετρος ἡ ΑΒ, καὶ περιγεγράφθω τετράγωνον τὸ ΓΗ, καὶ τῆς Γ△ διπλῆ ἡ △Ε, ἕβδομον δὲ ἡ ΕΖ τῆς Γ△.
设有一圆，其直径为 ΑΒ，且在其外切正方形 ΓΗ，并设 ΔΕ 为 ΓΔ 的两倍，ΕΖ 为 ΓΔ 的七分之一。
Ἐπεὶ οὖν τὸ ΑΓΕ πρὸς τὸ ΑΓ△ λόγον ἔχει, ὃν κᾱ πρὸς ζ, πρὸς δὲ τὸ ΑΕΖ τὸ ΑΓ△ λόγον ἔχει, ὃν ἑπτὰ πρὸς ἐν, τὸ ΑΓΖ πρὸς τὸ ΑΓ△ ἐστίν, ὡς κβ πρὸς ζ.
因为三角形 ΑΓΕ 与三角形 ΑΓΔ 之比等于 21 比 7，而三角形 ΑΓΔ 与三角形 ΑΕΖ 之比等于 7 比 1，所以四边形 ΑΓΔΖ 与三角形 ΑΓΔ 之比为 22 比 7。
Ἀλλὰ τοῦ ΑΓ△ τετραπλάσιόν ἐστι τὸ ΓΗ τετράγωνον, τὸ δὲ ΑΓ△Ζ τρίγωνον τῷ ΑΒ κύκλῳ ἴσον ἐστίν·
但是，正方形 ΓΗ 是三角形 ΑΓΔ 的四倍，而图形 ΑΓΔΖ 等于圆 ΑΒ。
ὁ κύκλος οὖν πρὸς τὸ ΓΗ τετράγωνον λόγον ἔχει, ὃν ῑᾱ πρὸς ιδ.
因此，圆与正方形 ΓΗ 之比等于 11 比 14。