§25.1Διὰ τί τὰς κλίνας ποιοῦσι διπλασιοπλεύρους, τὴν μὲν ἓξ ποδῶν καὶ μιαρῷ μείζω πλευράν, τὴν δὲ τριῶν;
なぜ寝台の一辺を二倍（の長さ）にするのか。 すなわち、一辺を 6フィート（そしてわずかにそれより大きく）にし、他方を3フィートにするのか。
Καὶ διὰ τί ἐντείνουσιν οὐ κατὰ διάμετρον;
また、なぜ対角線方向ではなく（紐を）張るのか。
Ἢ τὸ μὲν μέγεθος τηλικαύτας, ὅπως τοῖς σώμασιν ὦσι σύμμετροι;
あるいは、大きさについては、人々の体に釣り合うように、そのような寸法にするのだろうか。
Γίνονται γὰρ οὕτω διπλασιόπλευροι, τετραπήχεις μὲν τὸ μῆκος, διπήχεις δὲ τὸ πλάτος.
実際、このようにすれば、長さ4キュビット、幅2キュビットの、一辺が二倍の寝台となる。
§25.2Ἐντείνουσι δὲ οὐ κατὰ διάμετρον ἀλλ’ ἀπ’ ἐναντίας, ὅπως τά τε ξύλα ᾖττον διασπᾶται·
しかし、対角線方向ではなく、対面から張るのは、木材が裂けにくくするためである。
τάχιστα γὰρ σχίζεται κατὰ φύσιν διαιρούμενα ταύτῃ, καὶ ἑλκόμενα πονεῖ μάλιστα.
実際、木材はこの方向（木目）に分割されるとき、最も自然に、かつ速やかに裂け、引っ張られるときに最も傷むからである。
Ἔτι ἐπειδὴ δεῖ βάρος δύνασθαι τὰ σπαρτία φέρειν, οὕτως ἧττον πονέσει λοξοῖς τοῖς σπαρτίοις ἐπιτιθεμένου τοῦ βάρους ἢ πλαγίοις.
さらに、紐は重さに耐えられなければならないので、このように斜めになった紐に重さがかかる方が、横向きの紐にかかるよりも負荷が少ない。
Ἔτι δὲ ἔλαττον οὕτω σπαρτίον ἀναλίσκεται.
さらに、この方が紐の消費量も少なくて済む。
§25.3Ἕστω γὰρ κλίνη ἡ ΑΖΗΙ, καὶ δίχα διῃρήσθω ἡ ΖΗ κατὰ τὸ Β. Ἴσα δὴ τρυπήματά ἐστιν ἐν τῇ ΖΒ καὶ ἐν τῇ ΖΑ. Καὶ γὰρ αἱ πλευραὶἴσαι εἰσίν·
たとえば、寝台を AZHI とし、ZH を B において二等分しよう。 すると、ZB における穴の数は ZA における穴の数と等しい。 実際、それらの辺も等しいからである。
ἡ γὰρ ὅλη ΖΗ διπλασία ἐστίν.
なぜなら、ZH 全体は（ZA の）二倍だからである。
Ἐντείνουσι δ’ ὡς γέγραπται, ἀπὸ τοῦ Α ἐπὶ τὸ Β, εἶτα οὖ τὸ Γ, εἶτα οὗ τὸ Δ, εἶτα οὗ τὸ Θ, εἶτα οὖ τὸ Ε.
そして、図に示されているように、A から B へ、次に C へ、次に D へ、次に Th へ、次に E へと張る。
§25.4Καὶ οὕτως ἀεί, ἕως ἂν εἰς γωνίαν καταστρέψωσιν ἄλλην·
このようにして常に、別の角に達するまで続ける。
δύο γὰρ ἔχουσι γωνίαι τὰς ἀρχὰς τοῦ σπαρτίου.
なぜなら、二つの角が紐の端を保持しているからである。
Ἴσα δέ ἐστι τὰ σπαρτία κατὰ τὰς κάμψεις, τό τε ΑΒ καὶ ΒΓ τῷ ΓΔ καὶ ΔΘ. Καὶ τὰ ἄλλα δὲ τὰ τοιαῦτά ἐστιν, ὅτι οὕτωςἔχει ἡ αὐτὴ ἀπόδειξις, Ἡ μὲν γὰρ ΑΒ τῇ ΕΘ ἴση·
そして、折り返しの紐、すなわち AB と BC は CD と DTh に等しい。 その他の同様の部分も同様である。 なぜなら、それについても同じ証明が成り立つからである。 実際、 AB は ETh に等しい。
ἴσαί γάρ εἰσιν αἱ πλευραὶ τοῦ ΒΗΚΑ χωρίου, καὶ τὰτρυπήματα ἴσα διέστηκεν.
なぜなら、領域 BHKA の辺は等しく、穴も等間隔に配置されているからである。
§25.5Ἡ δὲ Β Η ἴση τῇ ΚΑ·
また、BH は KA に等しい。
ἡ γὰρΒ γωνία ἴση τῇ Η. Ἐν ἴσοις γὰρ ἡ μὲν ἐκτός, ἡ δὲ ἐντός·
なぜなら、角 B は H（の角）に等しいからである。 等しい角において、一方は外角であり、他方は内角である。
καὶ ἡ μὲν Β ἐστὶν ἡμίσεια ὀρθῆς·
そして角 B は直角の半分である。
ἡ γὰρ ΖΒ ἴση τῇ ΖΑ·
なぜなら、ZB は ZA に等しく、Z における角は直角だからである。
καὶ γωνία δὲ ἡ κατὰ τὸ Ζ ὁρθή. Ἠ δὲ Β γωνία ἴση τῇ κατὰ τὸ Η·
また、角 B は H における角に等しい。
ἡ γὰρ κατὰ τὸ Ζ ὁρθή, ἐπειδὴ διπλασιόπλευρον τὸ ἑτερόμηκες καὶ πρὸς μέσον κέκλασται.
なぜなら、Z における角は直角であり、長方形は一辺が二倍で、中央に向かって屈折しているからである。
§25.6Ὠστε ἡ ΑΓ τῇ ΕΗ ἴση.
したがって、AC は EH に等しい。
Ταύτῃ δὲ ἡ Κ Θ·
そして KTh もこれに等しい。
παράλληλος γάρ.
なぜなら、平行だからである。
Ὤστε ἡ ΒΓ ἴση τῇ ΚΘ. Ἡδὲ ΓΕ τῇ ΔΘ. Ὁμοίως δὲ καὶ αἰ ἄλλαι δείκνυνται ὅτι ἴσαί εἰσὶν αἱ κατὰ τὰς κάμψεις δύο ταῖς δυσίν.
したがって、BC は KTh に等しい。 また CE は DTh に等しい。 同様に、折り返しの紐が二つずつ互いに等しいことも証明される。
Ὤστε δῆλον ὅτι τὰ τηλικαῦτασπαρτία ὅσον τὸ Α Β, τέσσαρα τοσαῦτ’ ἔνεστιν ἐν τῇ κλίνῃ·
したがって、寝台には AB の大きさの紐が四つ分含まれていることは明らかである。
ὅσον δ’ ἐστὶ τὸ πλῆθος τῶν ἐν τῇ ΖΗ πλευρᾷ τρυπημάτων, καὶ ἐν τῷ ἡμίσειτῷ Ζ Β τὰ ἡμίση.
また、辺 ZH における穴の数に対して、その半分である ZB にはその半分の数の穴がある。
§25.7Ὤστε ἐν τῇ ἡμισείᾳ κλίνῃ τηλικαῦτα μεγέθη σπαρτίων ἐστὶν ὅσοντῷ ΒΑ ἔνεστι, τοσαῦτα δὲ τὸ πλῆθος ὅσαπερ ἐν τῷ ΒΗ τρυπήματα.
したがって、寝台の半分には、BA の大きさの紐が、BH における穴の数と同じ数だけ含まれている。
Γαῦτα δὲ οὐδὲν διαφέρει λέγειν ἢ ὅσα ἐν τῇ ΑΖ καὶ ΒΖ τὰ συνάμφω.
これは、AZ と BZ の両方を合わせた数と同じであると言うのと何ら違いはない。
εἰ δὲ κατὰ διάμετρον ἐνταθῇ τὰ σπαρτία, ὡς ἐν τῇ Α Β Γ Δ κλίνῃ ἔχει, τὰ ἡμίσεά εἰσιν οὐ τοσαῦτα ὅσα αἱ πλευραὶ ἀμφοῖν, αἱ Α Ζ Ζ Η· τὰ ἴσα δέ, ὅσα ἐν τῷ ΖΒΖΑ τρυπήματα ἔνεστιν.
しかし、もし紐が対角線方向に張られるなら、寝台 ABCD において見られるように、その半分は両方の辺 AZ と ZH を合わせた数と同じではなく、ZB と ZA にある穴の数に等しくなる。
Μείζονες δέ εἰσιν αἰ ΑΖ ΒΖ δύο οὖσαι τῆς ΑΒ. Ὤστε καὶ τὸ σπαρτίον μεῖζον τοσούτῳ ὅσον αἱ πλευραὶ ἄμφω μείζους εἰσὶ τῆς διαμέτρου.
しかし、AZ と BZ の二つは AB よりも大きい。 したがって、紐も、両方の辺が対角線よりも大きい分だけ、それだけ大きくなる。