§25.1Διὰ τί τὰς κλίνας ποιοῦσι διπλασιοπλεύρους, τὴν μὲν ἓξ ποδῶν καὶ μιαρῷ μείζω πλευράν, τὴν δὲ τριῶν;
왜 침대의 한 변을 다른 변의 두 배로 만드는가? 즉 한 변은 6피트(그리고 아주 조금 더 길게)로 하고, 다른 변은 3피트로 만드는가?
Καὶ διὰ τί ἐντείνουσιν οὐ κατὰ διάμετρον;
그리고 왜 대각선 방향이 아니라 [다른 방식으로] 줄을 팽팽하게 당겨 묶는가?
Ἢ τὸ μὲν μέγεθος τηλικαύτας, ὅπως τοῖς σώμασιν ὦσι σύμμετροι;
혹은 크기에 관해서는 인간의 몸에 알맞게 조화를 이루도록 그런 치수로 만드는 것인가?
Γίνονται γὰρ οὕτω διπλασιόπλευροι, τετραπήχεις μὲν τὸ μῆκος, διπήχεις δὲ τὸ πλάτος.
실제로 이렇게 하면 길이 4큐빗, 너비 2큐빗으로 한 변이 두 배인 침대가 되기 때문이다.
§25.2Ἐντείνουσι δὲ οὐ κατὰ διάμετρον ἀλλ’ ἀπ’ ἐναντίας, ὅπως τά τε ξύλα ᾖττον διασπᾶται·
그러나 대각선 방향이 아니라 마주 보는 쪽에서 줄을 팽팽하게 묶는 것은 목재가 덜 쪼개지도록 하기 위함이다.
τάχιστα γὰρ σχίζεται κατὰ φύσιν διαιρούμενα ταύτῃ, καὶ ἑλκόμενα πονεῖ μάλιστα.
왜냐하면 목재는 이 방향(결)을 따라 나뉠 때 본성상 가장 빠르고 쉽게 쪼개지며, 잡아당겨질 때 가장 큰 무리가 가기 때문이다.
Ἔτι ἐπειδὴ δεῖ βάρος δύνασθαι τὰ σπαρτία φέρειν, οὕτως ἧττον πονέσει λοξοῖς τοῖς σπαρτίοις ἐπιτιθεμένου τοῦ βάρους ἢ πλαγίοις.
또한 줄이 무게를 버텨낼 수 있어야 하므로, 이렇게 비스듬히 놓인 줄에 무게가 실리는 것이 가로로 놓인 줄에 실리는 것보다 무리가 덜 갈 것이다.
Ἔτι δὲ ἔλαττον οὕτω σπαρτίον ἀναλίσκεται.
더욱이 이 방식이 줄을 더 적게 소모한다.
§25.3Ἕστω γὰρ κλίνη ἡ ΑΖΗΙ, καὶ δίχα διῃρήσθω ἡ ΖΗ κατὰ τὸ Β. Ἴσα δὴ τρυπήματά ἐστιν ἐν τῇ ΖΒ καὶ ἐν τῇ ΖΑ. Καὶ γὰρ αἱ πλευραὶἴσαι εἰσίν·
침대를 AZHI라 하고, ZH를 B에서 이등분하자. 그러면 ZB에 있는 구멍의 수는 ZA에 있는 구멍의 수와 같다. 실제로 그 변들 역시 같기 때문이다.
ἡ γὰρ ὅλη ΖΗ διπλασία ἐστίν.
왜냐하면 ZH 전체가 [ZA의] 두 배이기 때문이다.
Ἐντείνουσι δ’ ὡς γέγραπται, ἀπὸ τοῦ Α ἐπὶ τὸ Β, εἶτα οὖ τὸ Γ, εἶτα οὗ τὸ Δ, εἶτα οὗ τὸ Θ, εἶτα οὖ τὸ Ε.
그리고 그림에 표시된 대로, A에서 B로, 다음으로 C로, 다음으로 D로, 다음으로 Th로, 다음으로 E로 줄을 팽팽하게 묶는다.
§25.4Καὶ οὕτως ἀεί, ἕως ἂν εἰς γωνίαν καταστρέψωσιν ἄλλην·
이와 같이 다른 귀퉁이에 도달할 때까지 계속한다.
δύο γὰρ ἔχουσι γωνίαι τὰς ἀρχὰς τοῦ σπαρτίου.
왜냐하면 두 귀퉁이가 줄의 시작과 끝을 붙잡고 있기 때문이다.
Ἴσα δέ ἐστι τὰ σπαρτία κατὰ τὰς κάμψεις, τό τε ΑΒ καὶ ΒΓ τῷ ΓΔ καὶ ΔΘ. Καὶ τὰ ἄλλα δὲ τὰ τοιαῦτά ἐστιν, ὅτι οὕτωςἔχει ἡ αὐτὴ ἀπόδειξις, Ἡ μὲν γὰρ ΑΒ τῇ ΕΘ ἴση·
그리고 꺾이는 부분의 줄들, 즉 AB와 BC는 CD와 DTh와 같다. 다른 유사한 부분들도 마찬가지인데, 그것들에 대해서도 동일한 증명이 성립하기 때문이다. 실제로 AB는 ETh와 같다.
ἴσαί γάρ εἰσιν αἱ πλευραὶ τοῦ ΒΗΚΑ χωρίου, καὶ τὰτρυπήματα ἴσα διέστηκεν.
왜냐하면 영역 BHKA의 변들이 같고, 구멍들도 같은 간격으로 떨어져 있기 때문이다.
§25.5Ἡ δὲ Β Η ἴση τῇ ΚΑ·
또한 BH는 KA와 같다.
ἡ γὰρΒ γωνία ἴση τῇ Η. Ἐν ἴσοις γὰρ ἡ μὲν ἐκτός, ἡ δὲ ἐντός·
왜냐하면 각 B는 H[의 각]와 같기 때문이다. 같은 각들 중에서 하나는 외각이고 다른 하나는 내각이다.
καὶ ἡ μὲν Β ἐστὶν ἡμίσεια ὀρθῆς·
그리고 각 B는 직각의 절반이다.
ἡ γὰρ ΖΒ ἴση τῇ ΖΑ· καὶ γωνία δὲ ἡ κατὰ τὸ Ζ ὁρθή.
왜냐하면 ZB는 ZA와 같고, Z에서의 각은 직각이기 때문이다.
Ἠ δὲ Β γωνία ἴση τῇ κατὰ τὸ Η·
또한 각 B는 H에서의 각과 같다.
ἡ γὰρ κατὰ τὸ Ζ ὁρθή, ἐπειδὴ διπλασιόπλευρον τὸ ἑτερόμηκες καὶ πρὸς μέσον κέκλασται.
왜냐하면 Z에서의 각은 직각이고, 직사각형은 한 변이 두 배이며 가운데를 향해 꺾여 있기 때문이다.
§25.6Ὠστε ἡ ΑΓ τῇ ΕΗ ἴση.
따라서 AC는 EH와 같다.
Ταύτῃ δὲ ἡ Κ Θ·
그리고 KTh 역시 이것과 같다.
παράλληλος γάρ.
왜냐하면 평행하기 때문이다.
Ὤστε ἡ ΒΓ ἴση τῇ ΚΘ. Ἡδὲ ΓΕ τῇ ΔΘ. Ὁμοίως δὲ καὶ αἰ ἄλλαι δείκνυνται ὅτι ἴσαί εἰσὶν αἱ κατὰ τὰς κάμψεις δύο ταῖς δυσίν.
그러므로 BC는 KTh와 같고, CE는 DTh와 같다. 마찬가지로 꺾이는 부분의 줄들이 둘씩 서로 같다는 것도 증명된다.
Ὤστε δῆλον ὅτι τὰ τηλικαῦτασπαρτία ὅσον τὸ Α Β, τέσσαρα τοσαῦτ’ ἔνεστιν ἐν τῇ κλίνῃ·
따라서 침대에는 AB 크기의 줄이 네 개 들어있음이 분명하다.
ὅσον δ’ ἐστὶ τὸ πλῆθος τῶν ἐν τῇ ΖΗ πλευρᾷ τρυπημάτων, καὶ ἐν τῷ ἡμίσειτῷ Ζ Β τὰ ἡμίση.
또한 변 ZH에 있는 구멍의 수에 대해, 그 절반인 ZB에는 절반의 구멍이 있다.
§25.7Ὤστε ἐν τῇ ἡμισείᾳ κλίνῃ τηλικαῦτα μεγέθη σπαρτίων ἐστὶν ὅσοντῷ ΒΑ ἔνεστι, τοσαῦτα δὲ τὸ πλῆθος ὅσαπερ ἐν τῷ ΒΗ τρυπήματα.
따라서 침대의 절반에는 BA 크기의 줄이 BH에 있는 구멍의 수만큼 들어있다.
Γαῦτα δὲ οὐδὲν διαφέρει λέγειν ἢ ὅσα ἐν τῇ ΑΖ καὶ ΒΖ τὰ συνάμφω.
이것은 AZ와 BZ를 합한 구멍의 수만큼 들어있다고 말하는 것과 아무런 차이가 없다.
εἰ δὲ κατὰ διάμετρον ἐνταθῇ τὰ σπαρτία, ὡς ἐν τῇ Α Β Γ Δ κλίνῃ ἔχει, τὰ ἡμίσεά εἰσιν οὐ τοσαῦτα ὅσα αἱ πλευραὶ ἀμφοῖν, αἱ Α Ζ Ζ Η· τὰ ἴσα δέ, ὅσα ἐν τῷ ΖΒΖΑ τρυπήματα ἔνεστιν.
그러나 만약 줄이 대각선 방향으로 당겨 묶인다면, 침대 ABCD에서 보이는 것처럼, 그 절반은 두 변 AZ와 ZH를 합한 것만큼이 아니라, ZB와 ZA에 있는 구멍의 수와 같게 된다.
Μείζονες δέ εἰσιν αἰ ΑΖ ΒΖ δύο οὖσαι τῆς ΑΒ. Ὤστε καὶ τὸ σπαρτίον μεῖζον τοσούτῳ ὅσον αἱ πλευραὶ ἄμφω μείζους εἰσὶ τῆς διαμέτρου.
그러나 AZ와 BZ 둘은 AB보다 크다. 따라서 줄 역시 두 변이 대각선보다 큰 만큼 더 길어지게 된다.