§23.1Διὰ τί φερομένων δύο φορὰς ἐν τῷ ῥόμβῳ τῶν ἄκρων σημείων ἀμφοτέρων, οὐ τὴν ἴσην ἑκάτερον αὐτῶν εὐθεῖαν διέρχεται, ἀλλὰ πολλαπλασίαν θάτερον;
なぜひし形において、両方の端の点が二つの運動で運ばれているのに、それらのそれぞれが等しい長さの直線を通るのではなく、一方が他方の何倍もの長さを通るのだろうか。
Ὁ αὐτὸς δὲ λόγος καὶ διὰ τί τὸ ἐπὶ τῆς πλευρᾶς φερόμενον ἐλάττω διέρχεται τῆς πλευρᾶς.
また、辺の上を運ばれるものが辺よりも短い距離を通過するのも同じ理由である。
Τὸ μὲν γὰρ τὴν διάμετροντὴν ἐλάττω, ἡ δὲ τὴν πλευρὰν τὴν μείζω, καὶ ἡ μὲν μίαν, τὸ δὲ δύο φέρεται φοράς.
なぜなら、一方は短い方の対角線を通り、他方はより長い辺を通り、一方は一つの運動で、他方は二つの運動で運ばれるからである。
§23.2Φερέσθω γὰρ ἐπὶ τῆς ΑΒ τὸ μὲν Α πρὸς τὸ Β, τὸ δὲ Β πρὸς τὸ Δ τῷ αὐτῷ τάχει·
なぜなら、ΑΒ上において、ΑはΒに向かって、ΒはΔに向かって等速で運ばれるとしよう。
φερέσθω δὲ καὶ ἡ ΑΒ ἐπὶ τῆς ΑΓ παρὰ τὴν Γ Δ τῷ αὑτῷ τάχει τούτοις.
また、ΑΒ自体も、ΓΔに平行にΑΓ上を、これらと同じ速度で運ばれるとしよう。
Ἀνάγκη δὴ τὸ μὲν Α ἐπὶ τῆς ΑΔ διαμέτρου φέρεσθαι, τὸ δὲ Β ἐπὶ τῆς ΒΓ, καὶ ἅμα διεληλυθέναι ἑκατέραν, καὶ τὴν Α Β τὴνΓ πλευράν.
すると、Αは対角線ΑΔ上を、Βは［対角線］ΒΓ上を運ばれ、同時にそれぞれ［の対角線］を通過し、また辺ΑΒは辺ΑΓを通過することは必然である。
§23.3Ἐνηνέχθω γὰρ τὸ μὲν Α τὴν ΑΕ, ἡ δὲ ΑΒ τὴν ΑΖ, καὶ ἔστω ἐκβεβλημένη ἡ ΖΗ παρὰ τὴν ΑΒ, καὶ ἀπὸ τοῦ Ε πεπληρώσθω, Ὄμοιον οὖν γίνεται τὸ παραπληρωθὲν τῷ ὅλῳ.
なぜなら、ΑがΑΕを、ΑΒがΑΖを通過したとしよう。 そしてΖΗがΑΒに平行に引かれ、Εから［平行四辺形が］補完されたとしよう。 すると、補完された平行四辺形は全体と相似になる。
Ἴση ἄρα ἡ ΑΖ τῇ ΑΕ,ὥστε τὸ Α ἐπὶ τῆς πλευρᾶς ἐνήνεκται τῆς ΑΕ. Ἡ δὲ ΑΒ τὴν ΑΖ εἴη ἂν ἐνηνεγμένη, Ἔσται ἄρα ἐπὶ τῆς διαμέτρου κατὰ τὸ Θ.
したがって、ΑΖはΑΕに等しく、その結果Αは辺ΑΕの上を運ばれたことになる。 そしてΑΒはΑΖだけ運ばれたはずであり、したがって［Αは］対角線上のΘにあることになる。
§23.4Καὶ αἰεὶ δὲ ἀνάγκη αὐτὸ φέρεσθαι κατὰ τὴν διάμετρον.
そして、それが常に対角線上を運ばれることは必然である。
Καὶ ἅμα ἡ πλευρὰ ἡ ΑΒ τὴν πλευρὰν τὴν ΑΓ δίεισι, καὶ τὸ Α τὴν διάμετρον δίεισι τὴν ΑΔ. Ὁμοίως δὲ δειχθήσεται καὶ τὸ Β ἐπὶ τῆς ΑΓ διαμέτρον φερόμενον.
そして同時に、辺ΑΒが辺ΑΓを通過し、Αは対角線ΑΔを通過する。 同様に、Βも対角線ΑΓ上を運ばれることが示されるだろう。
Ἴση γάρ ἐστιν ἡ ΒΕ τῇ ΒΗ. Παραπληρωθέντος οὖν ἀπὸ τοῦ Η, ὅμοιόν ἐστι τῷ ὅλῳ τὸ ἐντός.
なぜなら、ΒΕはΒΗに等しいからである。 したがって、Ηから補完されたとき、内部のものは全体と相似である。
§23.5Καὶ τὸ Β ἐπὶ τῆς διαμέτρου ἔσται κατὰ τὴν σύναψιν τῶν πλευρῶν, καὶ ἅμα δίεσιν τε πλευρὰ τὴν πλευρὰν καὶ τὸ Β τὴν ΒΓ διάμετρον.
そしてΒは辺の接合部における対角線上にあることになり、同時に辺は辺を、Βは対角線ΒΓを通過する。
Ἄμα ἄρα καὶ τὸ Β τὴν πολλαπλασίαν τῆς Α Β δίεισι καὶ ἡ πλευρὰ τὴν ἐλάττονα πλευράν, τῷ αὐτῷ τάχει φερόμενα, καὶ ἡ πλευρὰ μείζω τοῦ Α διελήλυθε μίαν φορὰν φερομένη.
したがって、同時に、同じ速度で運ばれながら、ΒはΑΒの数倍を通過し、辺はより短い辺を通過する。 そして辺は、一つの運動で運ばれるΑが通過した距離よりも大きい距離を通過している。
§23.6Ὅσῳ γὰρ ἂν ὀξύτερος γένηται ὁ ῥόμβος, ἡ μὲν διάμετρος ἡ ἐλάττων γίνεται, ἡ δὲ ΒΓ μείζων, ἡ δὲ πλευρὰ τῆς Β Γ ἐλάττων.
なぜなら、ひし形が鋭角になればなるほど、短い方の対角線はより短くなり、ΒΓはより長くなり、辺はΒΓよりも短くなるからである。
Ἄτοπον γάρ, ὥσπερ ἐλέχθη,τὸ δύο φορὰς φερόμενον ἐνίοτε βραδύτερον φέρεσθαι τοῦ μίαν, καὶ ἀμφοτέρων ἰσοταχῶν σημείων δοθέντων μείζω διεξιέναι θάτερον.
というのも、すでに言われたように、二つの運動で運ばれるものが、時には一つの運動で運ばれるものよりも遅く運ばれ、両方の点が等速で与えられているのに、一方が他方より大きな距離を通過するというのは、奇妙なことだからである。
§23.7Αἴτιον δὲ ὅτι τοῦ μὲν ἀπὸ τῆς ἀμβλείας φερομένου σχεδὸν ἐναντίαι ἀμφότεραι γίνονται, ἥν τε αὐτὴ φέρεται καὶ ἣν ὑπὸ τῆς πλευρᾶς ὑποφέρεται, τοῦ δὲ ἀπὸ τῆς ὀξείας συμβαίνει φέρεσθαι ἐπὶ τὸ αὐτό.
その原因は、鈍角から運ばれるものについては、それが自ら運ばれる運動と、辺によって運ばれる運動の両方が、ほぼ反対方向になるからであり、他方、鋭角から運ばれるものについては、同じ方向に向かって運ばれることになるからである。
Συνεπουρίζει γὰρ ἡ τῆς πλευράς τὴν ἐπὶ τῆς διαμέτρου·
なぜなら、辺の運動が対角線上の運動をうしろから押し進めるからである。
καὶ ὅσῳ ἂν τὴν μὲν ὀξυτέραν ποιήσῃ, τὴν δὲ ἀμβλυτέραν, ἡ μὲν βραδυτέρα ἔσται, ἡ θάττων.
そして、一方をより鋭角にし、他方をより鈍角にするにつれて、一方はより遅くなり、他方はより速くなるだろう。
§23.8Αἱ μὲν γὰρ ἐναντιώτεραι γίνονται διὰ τὸ ἀμβλυτέραν γίνεσθαι τὴν γωνίαν, αἱ δὲ μᾶλλον ἐπὶ τὰ αὐτὰ διὰ τὸ συνάγεσθαι τὰς γραμμάς.
というのも、角がより鈍角になるために、［運動は］より反対方向になり、線が引き寄せられるために、［運動は］より同じ方向になるからである。
Τὸ μὲν γὰρ Β σχεδὸν ἐπὶ τὸ αὐτὸ φέρεται κατ’ ἀμφοτέρας τὰς φοράς·
なぜなら、Βは両方の運動においてほぼ同じ方向へと運ばれる。
συνεπουρίζεται οὖν ἡ ἑτέρα, καὶ ὅσῳ ἂν ὀξυτέρα γίνηται ἡ γωνία, τοσούτῳ μᾶλλον.
それゆえ、一方が他方を押し進め、角が鋭角になればなるほど、よりそうなるのである。
§23.9Τὸ Α δὲ ἐπὶ τοὐναντίον·
しかしΑは反対方向である。
αὐτὸ μὲν γὰρ πρὸς τὸ Β φέρεται, ἡ δὲ πλευρὰ ὑποφέρει αὐτὸ πρὸς τὸ Δ. Καὶ ὅσῳ ἂν ἀμβλυτέρα ἡ γωνία ᾗ, ἐναντιώτεραι αἱ φοραὶ γίνονται·
それ自身はΒに向かって運ばれるが、辺はそれをΔに向かって運ぶ。 そして角が鈍角になればなるほど、運動はより反対方向になる。
εὐθυτέρα γὰρ ἡ γραμμὴ γίνεται.
なぜなら、線はより直線に近くなるからである。
Εἰ δ’ ὅλως εὐθεῖα γένοιτο, παντελῶς ἂν εἴησαν ἐναντίαι.
もし完全に直線になれば、完全に反対方向になるだろう。
Ἡ δὲ πλευρὰ ὑπ’ οὐθενὸς κωλύεται μίαν φερομένη φοράν.
しかし、辺は一つの運動で運ばれるため、何物にも妨げられない。
Εὐλόγως οὖν τὴν μείζω διέρχεται.
それゆえ、当然ながらより大きい距離を通過するのである。