§23.1Διὰ τί φερομένων δύο φορὰς ἐν τῷ ῥόμβῳ τῶν ἄκρων σημείων ἀμφοτέρων, οὐ τὴν ἴσην ἑκάτερον αὐτῶν εὐθεῖαν διέρχεται, ἀλλὰ πολλαπλασίαν θάτερον;
왜 마름모에서 양 끝의 두 점이 두 가지 운동으로 움직이고 있음에도, 각각이 동일한 길이의 직선을 지나지 않고 한쪽이 다른 쪽의 몇 배나 되는 길이를 지나는 것일까?
Ὁ αὐτὸς δὲ λόγος καὶ διὰ τί τὸ ἐπὶ τῆς πλευρᾶς φερόμενον ἐλάττω διέρχεται τῆς πλευρᾶς.
또한 변 위에서 움직이는 것이 변보다 짧은 거리를 지나는 것도 같은 이유에서이다.
Τὸ μὲν γὰρ τὴν διάμετροντὴν ἐλάττω, ἡ δὲ τὴν πλευρὰν τὴν μείζω, καὶ ἡ μὲν μίαν, τὸ δὲ δύο φέρεται φοράς.
왜냐하면 한쪽은 더 짧은 대각선을 지나고, 다른 쪽은 더 긴 변을 지나며, 하나는 한 가지 운동으로, 다른 하나는 두 가지 운동으로 움직이기 때문이다.
§23.2Φερέσθω γὰρ ἐπὶ τῆς ΑΒ τὸ μὲν Α πρὸς τὸ Β, τὸ δὲ Β πρὸς τὸ Δ τῷ αὐτῷ τάχει·
AB 위에서 A는 B를 향해, B는 Δ를 향해 동일한 속도로 움직인다고 하자.
φερέσθω δὲ καὶ ἡ ΑΒ ἐπὶ τῆς ΑΓ παρὰ τὴν Γ Δ τῷ αὑτῷ τάχει τούτοις.
또한 AB 자체도 ΓΔ에 평행하게 AΓ 위를 이들과 동일한 속도로 움직인다고 하자.
Ἀνάγκη δὴ τὸ μὲν Α ἐπὶ τῆς ΑΔ διαμέτρου φέρεσθαι, τὸ δὲ Β ἐπὶ τῆς ΒΓ, καὶ ἅμα διεληλυθέναι ἑκατέραν, καὶ τὴν Α Β τὴνΓ πλευράν.
그렇다면 A는 대각선 AΔ 위를, B는 대각선 BΓ 위를 움직여, 동시에 각각의 대각선을 통과하고, 변 AB는 변 AΓ를 통과하는 것이 필연적이다.
§23.3Ἐνηνέχθω γὰρ τὸ μὲν Α τὴν ΑΕ, ἡ δὲ ΑΒ τὴν ΑΖ, καὶ ἔστω ἐκβεβλημένη ἡ ΖΗ παρὰ τὴν ΑΒ, καὶ ἀπὸ τοῦ Ε πεπληρώσθω, Ὄμοιον οὖν γίνεται τὸ παραπληρωθὲν τῷ ὅλῳ.
왜냐하면 A가 AE를 지나고, AB가 AZ를 지났다고 하자. 그리고 ZH가 AB에 평행하게 연장되고, E로부터 평행사변형이 완성되었다고 하자. 그러면 완성된 평행사변형은 전체와 닮음이 된다.
Ἴση ἄρα ἡ ΑΖ τῇ ΑΕ,ὥστε τὸ Α ἐπὶ τῆς πλευρᾶς ἐνήνεκται τῆς ΑΕ. Ἡ δὲ ΑΒ τὴν ΑΖ εἴη ἂν ἐνηνεγμένη, Ἔσται ἄρα ἐπὶ τῆς διαμέτρου κατὰ τὸ Θ.
따라서 AZ는 AE와 같으므로, 그 결과 A는 변 AE 위를 움직인 셈이 된다. 그리고 AB는 AZ만큼 움직였을 것이므로, 대각선 위의 Θ에 위치하게 될 것이다.
§23.4Καὶ αἰεὶ δὲ ἀνάγκη αὐτὸ φέρεσθαι κατὰ τὴν διάμετρον.
그리고 그것이 항상 대각선을 따라 움직이는 것은 필연적이다.
Καὶ ἅμα ἡ πλευρὰ ἡ ΑΒ τὴν πλευρὰν τὴν ΑΓ δίεισι, καὶ τὸ Α τὴν διάμετρον δίεισι τὴν ΑΔ. Ὁμοίως δὲ δειχθήσεται καὶ τὸ Β ἐπὶ τῆς ΑΓ διαμέτρον φερόμενον.
또한 동시에 변 AB가 변 AΓ를 통과하고, A는 대각선 AΔ를 통과한다. 마찬가지로 B도 대각선 AΓ 위를 움직인다는 것이 증명될 것이다.
Ἴση γάρ ἐστιν ἡ ΒΕ τῇ ΒΗ. Παραπληρωθέντος οὖν ἀπὸ τοῦ Η, ὅμοιόν ἐστι τῷ ὅλῳ τὸ ἐντός.
왜냐하면 BE는 BH와 같기 때문이다. 그러므로 H로부터 완성되었을 때 내부의 것은 전체와 닮음이다.
§23.5Καὶ τὸ Β ἐπὶ τῆς διαμέτρου ἔσται κατὰ τὴν σύναψιν τῶν πλευρῶν, καὶ ἅμα δίεσιν τε πλευρὰ τὴν πλευρὰν καὶ τὸ Β τὴν ΒΓ διάμετρον.
그리고 B는 변들의 접합부에 있는 대각선 위에 있게 되며, 동시에 변은 변을 통과하고 B는 대각선 BΓ를 통과한다.
Ἄμα ἄρα καὶ τὸ Β τὴν πολλαπλασίαν τῆς Α Β δίεισι καὶ ἡ πλευρὰ τὴν ἐλάττονα πλευράν, τῷ αὐτῷ τάχει φερόμενα, καὶ ἡ πλευρὰ μείζω τοῦ Α διελήλυθε μίαν φορὰν φερομένη.
따라서 동시에, 동일한 속도로 움직이면서도 B는 AB의 여러 배를 통과하고, 변은 더 짧은 변을 통과한다. 그리고 변은 한 가지 운동으로 움직이는 A가 통과한 것보다 더 큰 거리를 통과했다.
§23.6Ὅσῳ γὰρ ἂν ὀξύτερος γένηται ὁ ῥόμβος, ἡ μὲν διάμετρος ἡ ἐλάττων γίνεται, ἡ δὲ ΒΓ μείζων, ἡ δὲ πλευρὰ τῆς Β Γ ἐλάττων.
왜냐하면 마름모가 더 예각이 될수록 더 짧은 대각선은 더 짧아지고, BΓ는 더 길어지며, 변은 BΓ보다 더 짧아지기 때문이다.
Ἄτοπον γάρ, ὥσπερ ἐλέχθη,τὸ δύο φορὰς φερόμενον ἐνίοτε βραδύτερον φέρεσθαι τοῦ μίαν, καὶ ἀμφοτέρων ἰσοταχῶν σημείων δοθέντων μείζω διεξιέναι θάτερον.
이미 언급했듯이, 두 가지 운동으로 움직이는 것이 때로는 한 가지 운동으로 움직이는 것보다 더 느리게 움직이고, 두 점의 속도가 동일하게 주어졌음에도 한쪽이 다른 쪽보다 더 큰 거리를 통과한다는 것은 이상한 일이기 때문이다.
§23.7Αἴτιον δὲ ὅτι τοῦ μὲν ἀπὸ τῆς ἀμβλείας φερομένου σχεδὸν ἐναντίαι ἀμφότεραι γίνονται, ἥν τε αὐτὴ φέρεται καὶ ἣν ὑπὸ τῆς πλευρᾶς ὑποφέρεται, τοῦ δὲ ἀπὸ τῆς ὀξείας συμβαίνει φέρεσθαι ἐπὶ τὸ αὐτό.
그 원인은 둔각에서 출발하여 움직이는 점의 경우, 그것이 스스로 움직이는 운동과 변에 의해 이끌려가는 운동의 두 가지가 거의 반대 방향이 되기 때문이며, 반면에 예각에서 출발하여 움직이는 점의 경우에는 같은 방향으로 움직이게 되기 때문이다.
Συνεπουρίζει γὰρ ἡ τῆς πλευράς τὴν ἐπὶ τῆς διαμέτρου·
왜냐하면 변의 운동이 대각선상의 운동을 뒤에서 밀어주기 때문이다.
καὶ ὅσῳ ἂν τὴν μὲν ὀξυτέραν ποιήσῃ, τὴν δὲ ἀμβλυτέραν, ἡ μὲν βραδυτέρα ἔσται, ἡ θάττων.
그리고 한쪽을 더 예각으로 만들고 다른 쪽을 더 둔각으로 만들수록, 한쪽은 더 느려지고 다른 쪽은 더 빨라질 것이다.
§23.8Αἱ μὲν γὰρ ἐναντιώτεραι γίνονται διὰ τὸ ἀμβλυτέραν γίνεσθαι τὴν γωνίαν, αἱ δὲ μᾶλλον ἐπὶ τὰ αὐτὰ διὰ τὸ συνάγεσθαι τὰς γραμμάς.
왜냐하면 각이 더 둔각이 됨으로써 운동은 더 반대 방향이 되고, 선들이 좁혀짐으로써 더 같은 방향이 되기 때문이다.
Τὸ μὲν γὰρ Β σχεδὸν ἐπὶ τὸ αὐτὸ φέρεται κατ’ ἀμφοτέρας τὰς φοράς·
왜냐하면 B는 두 가지 운동 모두에서 거의 같은 방향으로 움직인다.
συνεπουρίζεται οὖν ἡ ἑτέρα, καὶ ὅσῳ ἂν ὀξυτέρα γίνηται ἡ γωνία, τοσούτῳ μᾶλλον.
따라서 한쪽이 다른 쪽을 밀어주며, 각이 예각이 될수록 더욱 그러하다.
§23.9Τὸ Α δὲ ἐπὶ τοὐναντίον·
그러나 A는 반대의 경우이다.
αὐτὸ μὲν γὰρ πρὸς τὸ Β φέρεται, ἡ δὲ πλευρὰ ὑποφέρει αὐτὸ πρὸς τὸ Δ. Καὶ ὅσῳ ἂν ἀμβλυτέρα ἡ γωνία ᾗ, ἐναντιώτεραι αἱ φοραὶ γίνονται·
그것 자체는 B를 향해 움직이지만, 변은 그것을 Δ를 향해 끌고 가기 때문이다. 그리고 각이 둔각이 될수록 운동들은 더 반대 방향이 된다.
εὐθυτέρα γὰρ ἡ γραμμὴ γίνεται.
왜냐하면 선이 더 직선에 가까워지기 때문이다.
Εἰ δ’ ὅλως εὐθεῖα γένοιτο, παντελῶς ἂν εἴησαν ἐναντίαι.
만약 완전히 직선이 된다면 완전히 반대 방향이 될 것이다.
Ἡ δὲ πλευρὰ ὑπ’ οὐθενὸς κωλύεται μίαν φερομένη φοράν.
그러나 변은 한 가지 운동으로 움직이기 때문에 아무런 방해도 받지 않는다.
Εὐλόγως οὖν τὴν μείζω διέρχεται.
그러므로 당연히 더 큰 거리를 통과하는 것이다.