§1.1Πρῶτον μὲν οὖν τὰ συμβαίνοντα περὶ τὸν ζυγὸν ἀπορεῖται, διὰ τίνα αἰτίαν ἀκριβέστερά ἐστι τὰ ζυγὰ τὰ μείζω τῶν ἐλαττόνων.
まず最初に、天秤に関して起こる事柄について疑問が持たれる。 どのような原因によって、大きな天秤のほうが小さなものよりも正確なのかという点である。
Τούτου δὲ ἀρχή, διὰ τί ποτε ἐν τῷ κύκλῳ ἡ πλεῖον ἀφεστηκυῖα γραμμὴ τοῦ κέντρου τῆς ἐγγὺς τῇ αὐτῇ σχύϊ κινουμένης θᾶττον φέρεται τῆς ἐλάττονος;
そして、このことの原理は、なぜ円において、中心からより遠く離れた線が、同じ力で動かされている近くの線に比べて、より速く運ばれるのかという点にある。
Τὸ γὰρ θᾶττον λέγεται διχῶς·
なぜなら、「より速い」ということは二通りの意味で言われるからである。
ἄν τε γὰρ ἐν ἐλάττονι χρόνῳ ἴσὸν τόπον διεξέλθῃ, θᾶττον εἶναι λέγομεν, καὶ ἐὰν ἐν ἴσῳ πλείω.
すなわち、より短い時間で等しい距離を通る場合も「より速い」と言い、等しい時間でより多くの距離を通る場合もそう言うからである。
§1.2Ἡδὲ μείζων ἐν ἲσῳ χρόνῳ γράφει μείζονα κύκλον·
そして、より大きな線は等しい時間の中により大きな円を描く。
ὁ γὰρ ἐκτὸς μείζων τοῦ ἐντός.
なぜなら、外側の円は内側の円よりも大きいからである。
Αἴτιον δὲ τούτων ὅτι φέρεται δύο φορὰς ἡ γράφουσα τὸν κύκλον.
このことの原因は、円を描く線が二つの運動によって運ばれることにある。
Ὄταν μὲν οὖν ἐν λόγῳ τινὶ φέρηται, ἐπ’ εὐθείας ἀνάγκη φέρεσθαι τὸ φερόμενον, καὶ γίνεται διάμετρος αὐτὴ τοῦ σχήματος ὃ ποιοῦσιναἱ ἐν τούτῳ τῷ λόγῳ συντεθεῖσαι γραμμαί.
それゆえ、ある一定の比率で運ばれるときには、運ばれるものは直線上に運ばれることが必然であり、この比率によって合成された線が形成する図形の対角線となる。
§1.3Ἔστω γὰρ ὁ λόγος ὃν φέρεται τὸ φερόμενον, ὃν ἔχει ἡ Α Β πρὸς τὴν ΑΓ·
動くものが運ばれる比率を、ABのACに対する比率とせよ。
καὶ τὸ μὲν ΑΓ φερέσθω πρὸς τὸ Β, ἡ δὲ Α Β ὑποφερέσθω πρὸς τὴν Η Γ·
そしてACはBの方向へ運ばれ、ABはHGの方向へ引き下げられるとせよ。
ἐνηνέχθω δὲ τὸ μὲν Α πρὸς τὸ Δ, ἡ δὲ ἐφ’ ᾗ Α Β πρὸς τὸ Ε.Εἰ οὖν ἐπὶ τῆς φορᾶς ὁ λόγος ἦν ὅν ἡ Α Β ἔχει πρὸς τὴν Α Γ, ἀνάγκη καὶ τὴν Α Δ πρὸςτὴν Α Ε τοῦτον ἔχειν τὸ λόγον.
そしてAはDへ、AB上にある点はEへと運ばれたとする。 もし運動における比率がABのACに対する比率であったなら、ADのAEに対する比率もこの比率を持つことが必然である。
§1.4Ὄμοιον ἄρα ἐστὶ τῷ λόγῳ τὸ μικρὸν τετράπλευρον τῷ μείζονι, ὥστεκαὶ ἡ αὐτὴ διάμετρος αὐτῶν, καὶ τὸΑ ἔσται πρὸς Ζ. Τὸν αὐτὸν δὴ τρόπον δειχθήσεται κἂν ὁπουοῦν διαληφθῇ ἡ φορά·
したがって、小さな四角形は大きな四角形と比率において相似であり、それゆえそれらの対角線も同一となり、AはZに達するであろう。 運動がどこで区切られようとも、同じ方法で証明されるだろう。
αἰεὶ γὰρ ἔσται ἐπὶ τῆς διαμέτρου.
なぜなら、それは常に対角線上にあるからである。
Φανερὸν οὖν ὅτι τὸ κατὰ τὴν διάμετρον φερόμενον ἐν δύο φοραῖς ἀνάγκη τὸν τῶν πλευρῶν φέρεσθαι λόγον.
それゆえ、対角線に沿って運ばれるものは、二つの運動において、辺の比率に従って運ばれることが必然であるということは明らかである。
§1.5Εἰ γὰρ ἄλλον τινά, οὐκοἰσθόσεται κατὰ τὴν διάμετρον.
なぜなら、もし他の比率であるなら、対角線に沿って運ばれることはないからである。
Ἐὰν δὲ ἐν μηδενὶ λόγῳ φέρηται δύο φορὰς κατὰ μηδένα χρόνον, ἀδύνατον εὐθεῖαν εἶναι τὴν φοράν.
また、もし二つの運動がいかなる時間の間にも一定の比率を持たずに運ばれるならば、その運動が直線となることは不可能である。
Ἕστω γὰρ εὐθεῖα.
なぜなら、それを直線と仮定しよう。
Τεθείσης οὗν ταύτης διαμέτρου, καὶ παραπληρωθεισῶν τῶν πλευρῶν, ἀνάγκη τὸν τῶν πλευρῶν λόγον φέρεσθαι τὸ φερόμενον·
この直線を対角線とし、辺を補って四角形を作ると、動くものは辺の比率に従って運ばれることが必然となる。
τοῦτο γὰρ δέδεικται πρότερον.
これは先に示されたからである。
§1.6Οὐκ ἄρα ποιήσει εὐθεῖαν τὸ ἐν μηδενὶ λόγῳ φερόμενον μηδένα χρόνον.
したがって、いかなる時間の間にも一定の比率を持たずに運ばれるものは、直線をなさない。
Ἐὰν γάρ τινα λόγον ἐνεχθῇ ἐνχρόνῳ τινί, τοῦτον ἀνάγκη τὸν χρόνον εὐθεῖαν εἶναι φορὰν διὰ τὰπροειρημένα.
なぜなら、もしある時間においてある比率で運ばれるなら、前述の理由により、その時間の間は運動は直線であるに違いないからである。
Ὤστε περιφερὲς γίνεται, δύο φερόμενον φορὰς ἐν μηθενὶ λόγῳ μηθένα χρόνον.
それゆえ、いかなる時間の間にも一定の比率を持たずに、二つの運動によって運ばれるときには、それは曲線となる。
§1.7Ὄτι μὲν τοίνυν ἡ τὸν κύκλον γράφουσα φέρεται δύο φορὰς ἅμα, φανερὸν ἔκ τε τούτων, καὶ ὅτιτὸ φερόμενον κατ’ εὐθεῖαν ἐπὶ τὴν κάθετον ἀφικνεῖται, ὥστε εἶναι πάλιν αὐτὴν ἀπὸ τοῦ κέντρου κάθετον.
それゆえ、円を描く線が二つの運動によって同時に運ばれることは、これらのことから、また、直線的に運ばれるものが垂線に到達し、それによって再びそれが中心からの垂線となることから、明らかである。
Ἕστω κύκλος ὁ ΑΒΓ, τὸ δ’ ἄκρον τὸ ἐφ’ οὖ Β φερέσθω ἐπὶ τὸ Δ·
円をABGとし、端点BがDに向かって運ばれるとせよ。
ἀφικνεῖται δέποτε ἐπὶ τὸ Γ. Εἰ μὲν οὖν ἐν τῷ λόγῳ ἐφέρετο ὃν ἔχειἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΔΓ, ἐφέρετο ἄν τὴν διάμετρον τὴν ἐφ’ ᾗ ΒΓ.
そして、それはいつしかGに到達する。 もし、BDのDGに対する比率で運ばれるなら、それは対角線BGに沿って運ばれるであろう。
§1.8Νῦν δέ,ἐπείπερ ἐν οὐδενὶ λόγῳ, ἐπὶ τὴν περιφέρειανφέρεται τὴν ἐφ’ ᾗ ΒΕΓ. Ἐὰν δὲ δυοῖν φερομένοιν ἀπὸ τῆς αὑτῆς ἰσχύος τὸ μὲν ἐκκρούοιτο πλεῖον τὸ δὲ ἔλαττον, εὔλογον βραδύτερον κινηθῆναι τὸ πλεῖον ἐκκρουόμενον τοῦ ἔλαττον ἐκκρουομένου·
しかし実際には、いかなる比率にも従わないため、それはBEGという円周に沿って運ばれる。 ところで、同じ力によって運ばれる二つのもののうち、一方がより多く逸らされ、他方がより少なく逸らされるとするなら、より多く逸らされるもののほうが、より少なく逸らされるものよりも、遅く動くのが合理的である。
ὃ δοκεῖ συμβαίνειν ἐπὶ τῆς μείζονος καὶ ἐλάττονος τῶν ἐκ τοῦ κέντρου γραφουσῶν τοὺς κύκλους.
そしてこのことが、中心から円を描く、より大きな線とより小さな線において起こっていると思われるのである。
§1.9Διὰ γὰρ τὸ ἐγγύτερον εἶναι τοῦ μένοντος τῆς ἐλάττονος τὸ ἄκρον ἢ τὸ τῆς μείζονος, ὥσπερ ἀντισπώμενον εἰς τοὐναντίον, ἐπὶ τὸ μέσον βραδύτερον φέρεται τὸ τῆς ἐλάττονος ἄκρον.
なぜなら、より小さな線の端点は、より大きな線の端点よりも静止している点に近いがゆえに、あたかも反対方向へ引き戻されるかのようにして、より小さな線の端点は中心に向かってより遅く運ばれるからである。
Πάσῃ μὲν οὖν κύκλον γραφούσῃ τοῦτο συμβαίνει, καὶ φέρεται τὴν μὲν κατὰ φύσιν κατὰ τὴν περιφέρειαν, τὴν δὲ παρὰ φύσιν εἰς τὸ πλάγιον καὶ τὸ κέντρον.
円を描くすべての線においてこのことが起こり、それは自然に従う運動としては円周に沿って運ばれ、自然に反する運動としては横方向および中心に向かって運ばれる。
§1.10Μείζω δ’ ἀεὶ τὴν παρὰ φύσιν ἡ ἐλάττων φέρεται·
そして、より小さな線は常に、より大きな、自然に反する運動をして運ばれる。
διὰ γὰρ τὸ ἐγγύτερον εἶναι τοῦ κέντρου τοῦ ἀντισπῶντος κρατεῖται μᾶλλον, Ὄτι δὲ μεῖζον τὸ παρὰ φύσιν κινεῖται ἡ ἐλάττων τῆς μείζονος τῶν ἐκ τοῦ κέντρον γραφουσῶν τοὺς κύκλους, ἐκ τῶνδε δῆλον.
なぜなら、引き戻す中心により近いがゆえに、より強く制約されるからである。 中心から円を描く線のうち、より小さな線が、より大きな線よりも、自然に反する運動をより大きく行っているということは、以下のことから明らかである。