§1.1Πρῶτον μὲν οὖν τὰ συμβαίνοντα περὶ τὸν ζυγὸν ἀπορεῖται, διὰ τίνα αἰτίαν ἀκριβέστερά ἐστι τὰ ζυγὰ τὰ μείζω τῶν ἐλαττόνων.
우선 천칭에 관해 일어나는 현상들에 대해 의문이 제기된다. 어떤 이유로 큰 천칭이 작은 천칭보다 더 정확한가 하는 점이다.
Τούτου δὲ ἀρχή, διὰ τί ποτε ἐν τῷ κύκλῳ ἡ πλεῖον ἀφεστηκυῖα γραμμὴ τοῦ κέντρου τῆς ἐγγὺς τῇ αὐτῇ σχύϊ κινουμένης θᾶττον φέρεται τῆς ἐλάττονος;
이 문제의 원리는 다음과 같다. 왜 원에서 중심에서 더 멀리 떨어진 선이, 동일한 힘에 의해 움직이는 가까운 선에 비해 더 빠르게 움직이는가?
Τὸ γὰρ θᾶττον λέγεται διχῶς·
'더 빠르다'는 말은 두 가지 뜻으로 쓰이기 때문이다.
ἄν τε γὰρ ἐν ἐλάττονι χρόνῳ ἴσὸν τόπον διεξέλθῃ, θᾶττον εἶναι λέγομεν, καὶ ἐὰν ἐν ἴσῳ πλείω.
더 짧은 시간에 같은 거리를 통과할 때도 더 빠르다고 하고, 같은 시간에 더 많은 거리를 통과할 때도 그렇게 말하기 때문이다.
§1.2Ἡδὲ μείζων ἐν ἲσῳ χρόνῳ γράφει μείζονα κύκλον·
그리고 더 큰 선은 같은 시간 안에 더 큰 원을 그린다.
ὁ γὰρ ἐκτὸς μείζων τοῦ ἐντός.
외곽의 원이 내부의 원보다 더 크기 때문이다.
Αἴτιον δὲ τούτων ὅτι φέρεται δύο φορὰς ἡ γράφουσα τὸν κύκλον.
이에 대한 원인은 원을 그리는 선이 두 가지 운동에 의해 움직이기 때문이다.
Ὄταν μὲν οὖν ἐν λόγῳ τινὶ φέρηται, ἐπ’ εὐθείας ἀνάγκη φέρεσθαι τὸ φερόμενον, καὶ γίνεται διάμετρος αὐτὴ τοῦ σχήματος ὃ ποιοῦσιναἱ ἐν τούτῳ τῷ λόγῳ συντεθεῖσαι γραμμαί.
따라서 어떤 일정한 비율로 움직일 때, 움직이는 물체는 반드시 직선상을 움직이게 되며, 이 직선은 이 비율에 의해 결합된 선들이 만드는 도형의 대각선이 된다.
§1.3Ἔστω γὰρ ὁ λόγος ὃν φέρεται τὸ φερόμενον, ὃν ἔχει ἡ Α Β πρὸς τὴν ΑΓ·
움직이는 물체가 이동하는 비율을 AB가 AC에 대해 가지는 비율이라고 하자.
καὶ τὸ μὲν ΑΓ φερέσθω πρὸς τὸ Β, ἡ δὲ Α Β ὑποφερέσθω πρὸς τὴν Η Γ·
그리고 AC는 B를 향해 이동하고, AB는 HG를 향해 아래로 이동한다고 하자.
ἐνηνέχθω δὲ τὸ μὲν Α πρὸς τὸ Δ, ἡ δὲ ἐφ’ ᾗ Α Β πρὸς τὸ Ε.Εἰ οὖν ἐπὶ τῆς φορᾶς ὁ λόγος ἦν ὅν ἡ Α Β ἔχει πρὸς τὴν Α Γ, ἀνάγκη καὶ τὴν Α Δ πρὸςτὴν Α Ε τοῦτον ἔχειν τὸ λόγον.
그리고 A는 D로 이동하고, AB 위의 점은 E로 이동했다고 하자. 만약 운동에서의 비율이 AB가 AC에 대해 가지는 비율이었다면, AD 역시 AE에 대해 이 비율을 가지는 것이 필연적이다.
§1.4Ὄμοιον ἄρα ἐστὶ τῷ λόγῳ τὸ μικρὸν τετράπλευρον τῷ μείζονι, ὥστεκαὶ ἡ αὐτὴ διάμετρος αὐτῶν, καὶ τὸΑ ἔσται πρὸς Ζ. Τὸν αὐτὸν δὴ τρόπον δειχθήσεται κἂν ὁπουοῦν διαληφθῇ ἡ φορά·
따라서 작은 사각형은 큰 사각형과 비율면에서 닮음이며, 그리하여 그것들의 대각선도 동일하게 되고, A는 Z에 도달하게 될 것이다. 운동이 어디에서 끊어지든 간에 동일한 방식으로 증명될 것이다.
αἰεὶ γὰρ ἔσται ἐπὶ τῆς διαμέτρου.
그것은 항상 대각선 위에 있을 것이기 때문이다.
Φανερὸν οὖν ὅτι τὸ κατὰ τὴν διάμετρον φερόμενον ἐν δύο φοραῖς ἀνάγκη τὸν τῶν πλευρῶν φέρεσθαι λόγον.
그러므로 대각선을 따라 움직이는 것은 두 가지 운동에서 변들의 비율에 따라 움직여야만 한다는 것은 명백하다.
§1.5Εἰ γὰρ ἄλλον τινά, οὐκοἰσθόσεται κατὰ τὴν διάμετρον.
만약 다른 비율이라면 대각선을 따라 움직이지 않을 것이기 때문이다.
Ἐὰν δὲ ἐν μηδενὶ λόγῳ φέρηται δύο φορὰς κατὰ μηδένα χρόνον, ἀδύνατον εὐθεῖαν εἶναι τὴν φοράν.
또한 만약 어떤 물체가 어떤 시간 동안에도 아무런 비율을 가지지 않은 채 두 가지 운동에 의해 움직인다면, 그 운동이 직선이 되는 것은 불가능하다.
Ἕστω γὰρ εὐθεῖα.
그것을 직선이라고 하자.
Τεθείσης οὗν ταύτης διαμέτρου, καὶ παραπληρωθεισῶν τῶν πλευρῶν, ἀνάγκη τὸν τῶν πλευρῶν λόγον φέρεσθαι τὸ φερόμενον·
그렇다면 이 직선을 대각선으로 삼고 변들을 채워 사각형을 완성하면, 움직이는 물체는 변들의 비율에 따라 움직여야만 한다.
τοῦτο γὰρ δέδεικται πρότερον.
이것은 앞서 증명되었기 때문이다.
§1.6Οὐκ ἄρα ποιήσει εὐθεῖαν τὸ ἐν μηδενὶ λόγῳ φερόμενον μηδένα χρόνον.
그러므로 어떤 시간 동안에도 아무런 비율 없이 움직이는 것은 직선을 만들지 않을 것이다.
Ἐὰν γάρ τινα λόγον ἐνεχθῇ ἐνχρόνῳ τινί, τοῦτον ἀνάγκη τὸν χρόνον εὐθεῖαν εἶναι φορὰν διὰ τὰπροειρημένα.
만약 어떤 시간 동안 어떤 비율로 움직인다면, 앞서 말한 이유들 때문에 그 시간 동안의 운동은 직선이어야만 하기 때문이다.
Ὤστε περιφερὲς γίνεται, δύο φερόμενον φορὰς ἐν μηθενὶ λόγῳ μηθένα χρόνον.
따라서 어떤 시간 동안에도 아무런 비율 없이 두 가지 운동에 의해 움직일 때 그것은 곡선이 된다.
§1.7Ὄτι μὲν τοίνυν ἡ τὸν κύκλον γράφουσα φέρεται δύο φορὰς ἅμα, φανερὸν ἔκ τε τούτων, καὶ ὅτιτὸ φερόμενον κατ’ εὐθεῖαν ἐπὶ τὴν κάθετον ἀφικνεῖται, ὥστε εἶναι πάλιν αὐτὴν ἀπὸ τοῦ κέντρου κάθετον.
그러므로 원을 그리는 선이 동시에 두 가지 운동에 의해 움직인다는 것은 이 사실들로부터도 명백하며, 또한 직선으로 움직이는 물체가 수선에 도달하여, 그리하여 그것이 다시 중심으로부터의 수선이 된다는 점에서도 명백하다.
Ἕστω κύκλος ὁ ΑΒΓ, τὸ δ’ ἄκρον τὸ ἐφ’ οὖ Β φερέσθω ἐπὶ τὸ Δ·
원을 ABG라 하고, 끝점 B가 D를 향해 움직인다고 하자.
ἀφικνεῖται δέποτε ἐπὶ τὸ Γ. Εἰ μὲν οὖν ἐν τῷ λόγῳ ἐφέρετο ὃν ἔχειἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΔΓ, ἐφέρετο ἄν τὴν διάμετρον τὴν ἐφ’ ᾗ ΒΓ.
그리고 그것이 언젠가 G에 도달한다고 하자. 그렇다면 만약 그것이 BD가 DG에 대해 가지는 비율로 움직였다면, 그것은 대각선 BG를 따라 움직였을 것이다.
§1.8Νῦν δέ,ἐπείπερ ἐν οὐδενὶ λόγῳ, ἐπὶ τὴν περιφέρειανφέρεται τὴν ἐφ’ ᾗ ΒΕΓ. Ἐὰν δὲ δυοῖν φερομένοιν ἀπὸ τῆς αὑτῆς ἰσχύος τὸ μὲν ἐκκρούοιτο πλεῖον τὸ δὲ ἔλαττον, εὔλογον βραδύτερον κινηθῆναι τὸ πλεῖον ἐκκρουόμενον τοῦ ἔλαττον ἐκκρουομένου·
그러나 실제로는 아무런 비율도 따르지 않기 때문에, 그것은 원주 BEG를 따라 움직인다. 그런데 동일한 힘에 의해 움직이는 두 물체 중 하나는 더 많이 꺾이고 다른 하나는 더 적게 꺾인다면, 더 많이 꺾이는 것이 더 적게 꺾이는 것보다 더 느리게 움직이는 것이 합리적이다.
ὃ δοκεῖ συμβαίνειν ἐπὶ τῆς μείζονος καὶ ἐλάττονος τῶν ἐκ τοῦ κέντρου γραφουσῶν τοὺς κύκλους.
그리고 이 현상이 중심으로부터 원을 그리는 더 큰 선과 더 작은 선의 경우에 일어나는 것으로 보인다.
§1.9Διὰ γὰρ τὸ ἐγγύτερον εἶναι τοῦ μένοντος τῆς ἐλάττονος τὸ ἄκρον ἢ τὸ τῆς μείζονος, ὥσπερ ἀντισπώμενον εἰς τοὐναντίον, ἐπὶ τὸ μέσον βραδύτερον φέρεται τὸ τῆς ἐλάττονος ἄκρον.
작은 선의 끝점은 큰 선의 끝점보다 정지해 있는 점에 더 가깝기 때문에, 마치 반대 방향으로 끌려가는 것처럼, 작은 선의 끝점은 중심을 향해 더 느리게 움직이기 때문이다.
Πάσῃ μὲν οὖν κύκλον γραφούσῃ τοῦτο συμβαίνει, καὶ φέρεται τὴν μὲν κατὰ φύσιν κατὰ τὴν περιφέρειαν, τὴν δὲ παρὰ φύσιν εἰς τὸ πλάγιον καὶ τὸ κέντρον.
원을 그리는 모든 선에서 이 일이 일어나며, 그것은 자연에 따르는 운동으로서는 원주를 따라 움직이고, 자연에 반하는 운동으로서는 옆쪽 및 중심을 향해 움직인다.
§1.10Μείζω δ’ ἀεὶ τὴν παρὰ φύσιν ἡ ἐλάττων φέρεται·
그리고 작은 선은 언제나 더 큰, 자연에 반하는 운동을 하며 움직인다.
διὰ γὰρ τὸ ἐγγύτερον εἶναι τοῦ κέντρου τοῦ ἀντισπῶντος κρατεῖται μᾶλλον, Ὄτι δὲ μεῖζον τὸ παρὰ φύσιν κινεῖται ἡ ἐλάττων τῆς μείζονος τῶν ἐκ τοῦ κέντρον γραφουσῶν τοὺς κύκλους, ἐκ τῶνδε δῆλον.
끌어당기는 중심에 더 가깝기 때문에 더 많이 제약받기 때문이다. 중심으로부터 원을 그리는 선들 중에서 작은 선이 큰 선보다 자연에 반하는 운동을 더 크게 행한다는 것은 다음과 같은 사실들로부터 분명해진다.