§5.1#2διὸ καὶ περιλαβεῖν ταύτας μιᾷ προτάσει ἐνδεχόμενον εὑρόντες οὕτως ἐγράψαμεν·
그러므로 또한 이것들을 하나의 명제로 포괄하는 것이 가능하다는 것을 발견하고, 우리는 다음과 같이 썼다.
ἐὰν ὑπτίου ἢ παρυπτίου τρία τὰ ἐπὶ μιᾶς σημεῖα ἢ παραλλήλου τῆς ἑτέρας τὰ δύο δεδομένα ᾖ, τὰ δὲ λοιπὰ πλὴν ἑνὸς ἅπτηται θέσει δεδομένης εὐθείας, καὶ τοῦθʼ ἅψεται θέσει δεδομένης εὐθείας. τοῦτʼ ἐπὶ τεσσάρων μὲν εὐθειῶν εἴρηται μόνων, ὧν οὐ πλείονες ἢ δύο διὰ τοῦ αὐτοῦ σημείου εἰσίν, ἀγνοεῖται δὲ ἐπὶ παντὸς τοῦ προτεινομένου πλήθους ἀληθὲς ὑπάρχον οὕτως λεγόμενον τὸν δὲ Στοιχειωτὴν οὐκ εἰκὸς ἀγνοῆσαι τοῦτο, τὴν δʼ ἀρχὴν μόνην τάξαι.
"만약 오목하거나 준오목한(완전 사변형 배치) 것에서, 한 직선 위의 세 점, 또는 한쪽이 평행한 경우에는 다른 직선 위의 두 점이 주어져 있고, 나머지 점들이 하나를 제외하고 위치가 주어진 직선 위에 놓여 있다면(접한다면), 그 나머지 하나도 위치가 주어진 직선 위에 놓일(접할) 것이다." 이것은 오직 네 개의 직선에 대해서만 말해진 것으로, 그중 두 개보다 많은 직선이 동일한 점을 지나지는 않지만, 제시된 임의의 개수의 직선에 대해서도 이와 같이 표현되어 참으로 성립한다는 것은 알려져 있지 않다. 그러나 『원론』의 저자(유클리드)가 이 사실을 몰랐을 리는 없으며, 단지 그 시초(시작)만을 배치한 것이다.
καὶ ἐπὶ πάντων δὲ τῶν πορισμάτων φαίνεται ἀρχὰς καὶ σπέρματα μόνα πλήθει πολλῶν καὶ μεγάλων καταβεβλημένος, ὧν τὰ γένη οὐ κατὰ τὰς τῶν ὑποθέσεων διαφορὰς διαστέλλειν δεῖ, ἀλλὰ κατὰ τὰς τῶν συμβεβηκότων καὶ ζητουμένων.
그리고 모든 포리즘에서 그는 수많고 거대한 일들을 위한 시초와 씨앗만을 뿌려 놓은(남겨 놓은) 것처럼 보인다. 그것들의 유(類)는 가정(전제 조건)의 차이에 따라 구별되어서는 안 되며, 수반되는 것 및 탐구되는 것의 차이에 따라 구별되어야 한다.
αἱ μὲν γὰρ ὑποθέσεις ἅπασαι διαφέρουσιν ἀλλήλων εἰδικώταται οὖσαι, τῶν δὲ συμβαινόντων καὶ ζητουμένων ἕκαστον ἓν καὶ τὸ αὐτὸ ὂν πολλαῖς ὑποθέσεσι διαφόροις συμβέβηκε.
왜냐하면 가정들은 모두 지극히 개별적(특수적)이어서 서로 다르지만, 수반되는 것이나 탐구되는 것의 각각은 동일한 것이면서도 많은 서로 다른 가정에 수반되기 때문이다.
ποιητέον οὖν ἐν μὲν τῷ πρώτῳ βιβλίῳ ταῦτα τὰ γένη τῶν ἐν ταῖς προτάσεσι ζητουμένων·
따라서 제1권에서는 명제 안에서 탐구되는 이러한 유(분류)들을 제시해야 한다.
ἐν ἀρχῇ μὲν τοῦ βιβλίου διάγραμμα τοῦτο·
권의 처음에는 다음과 같은 도형(서술)이 있다.
ἐὰν ἀπὸ δύο δεδομένων σημείων πρὸς θέσει δεδομένην εὐθεῖαι κλασθῶσιν, ἀποτέμνῃ δὲ μία ἀπὸ θέσει
XV. ὅτι τόδε τὸ χωρίον ἢ τόδε μετὰ δοθέντος λόγον ἔχει πρὸς ἀποτομήν.
"만약 두 개의 주어진 점에서 위치가 주어진 직선을 향해 직선들이 굴절되고, 그중 하나가 위치가 주어진 (직선)으로부터 [어떤 길이를] 잘라낸다면..." XV. 이 영역(면적), 또는 이 영역과 주어진 (영역)의 합이 잘라낸 선분에 대해 비를 가진다는 것.
XVI. ὅτι λόγος τοῦ ὑπὸ τῶνδε πρὸς ἀποτομήν.
XVI. 이것들에 의해 둘러싸인 (직사각형)의, 잘라낸 선분에 대한 비가 존재한다는 것.
XVII. ὅτι λόγος τοῦ ὑπὸ συναμφοτέρων τῶνδε καὶ συναμφοτέρων τῶνδε πρὸς ἀποτομήν.
XVII. 이것들(의 양쪽)의 합과 이것들(의 양쪽)의 합에 의해 둘러싸인 (직사각형)의, 잘라낸 선분에 대한 비가 존재한다는 것.
XVIII. ὅτι τὸ ὑπὸ τῆσδε καὶ συναμφοτέρου τῆσδε τε καὶ τῆς, πρὸς ἣν ἥδε λόγον ἔχει δοθέντα, καὶ τὸ ὑπὸ τῆσδε καὶ τῆς, πρὸς ἣν ἥδε λόγον ἔχει δοθέντα, λόγον ἔχει πρὸς ἀποτομήν.
XVIII. 이것과, 이것 및 이것(그것에 대해 이것이 주어진 비를 가지는 것)의 합에 의해 둘러싸인 (직사각형)과, 이것과 이것(그것에 대해 이것이 주어진 비를 가지는 것)에 의해 둘러싸인 (직사각형)의 합이, 잘라낸 선분에 대해 비를 가진다는 것.
XIX. ὅτι λόγος συναμφοτέρου πρός τινα ἀπὸ τοῦδε ἕως δοθέντος.
XIX. (두 선분의) 합의, 이 (점)으로부터 주어진 (점)까지의 (선분)에 대한 비가 존재한다는 것.
XX. ὅτι δοθὲν τὸ ὑπὸ τῶνδε.
XX. 이것들에 의해 둘러싸인 (직사각형)이 주어져 있다는 것.
Ἐν δὲ τῷ τρίτῳ βιβλίῳ αἱ μὲν πλείονες ὑποθέσεις ἐπὶ ἡμικυκλίων εἰσίν, ὀλίγαι δὲ ἐπὶ κύκλου καὶ τμημάτων, τῶν δὲ ζητουμένων τὰ μὲν πολλὰ παραπλήσια τοῖς ἔμπροσθεν, περισσὰ δὲ ταῦτα·
제3권에서는 가정의 대부분이 반원에 관한 것이고, 소수가 원이나 활꼴(선분)에 관한 것이다. 탐구되는 것들의 대부분은 앞서 말한 것들과 유사하지만, 특수한 것들은 다음과 같다.
XXI. ὅτι λόγος τοῦ ὑπὸ τῶνδε πρὸς τὸ ὑπὸ τῶνδε.
XXI. 이것들에 의해 둘러싸인 (직사각형)의, 이것들에 의해 둘러싸인 (직사각형)에 대한 비가 존재한다는 것.
XXII. ὅτι λόγος τοῦ ἀπὸ τῆσδε πρὸς ἀποτομήν.
XXII. 이것 위의 정사각형의, 잘라낸 선분에 대한 비가 존재한다는 것.
XXIII. ὅτι τὸ ὑπὸ τῶνδε τῷ ὑπὸ δοθείσης καὶ τῆς ἀπὸ τοῦδε ἕως δοθέντος.
XXIII. 이것들에 의해 둘러싸인 (직사각형)이, 주어진 (직선)과 이 (점)으로부터 주어진 (점)까지의 (직선)에 의해 둘러싸인 (직사각형)과 같다는 것.
XXIV. ὅτι τὸ ἀπὸ τῆσδε τῷ ὑπὸ δοθείσης καὶ ἀπολαμβανομένης ὑπὸ καθέτου ἕως δοθέντος.
XXIV. 이것 위의 정사각형이, 주어진 (직선)과 수선에 의해 잘려진, 주어진 (점)까지의 (직선)에 의해 둘러싸인 (직사각형)과 같다는 것.
XXV. ὅτι συναμφότερος ἥδε καὶ πρὸς ἣν ἥδε λόγον ἔχει δοθέντα λόγον ἔχει πρὸς ἀποτομήν.
XXV. 이것과, 이것(그것에 대해 이것이 주어진 비를 가지는 것)의 합이, 잘라낸 선분에 대해 비를 가진다는 것.
XXVI. ὅτι ἔστιν τι δοθὲν σημεῖον, ἀφʼ οὗ αἱ ἐπιζευγνύμεναι ἐπὶ τούσδε δοθὲν περιέξουσι τῷ εἴδει τρίγωνον.
XXVI. 어떤 주어진 점이 존재하여, 그곳으로부터 이것들에 연결된 직선들이 모양에 있어서 주어진 삼각형을 둘러싼다는 것.
XXVII. ὅτι ἔστιν τι δοθὲν σημεῖον, ἀφʼ οὗ αἱ ἐπιζευγνύμεναι ἐπὶ τόνδε ἴσας ἀπολαμβάνουσι περιφερείας.
XXVII. 어떤 주어진 점이 존재하여, 그곳으로부터 이것에 연결된 직선들이 같은 호를 잘라낸다는 것.
XXVIII. ὅτι ἥδε ἤτοι παρὰ θέσει ἐστὶν ἢ μετά τινος εὐθείας ἐπὶ δοθὲν νευούσης δοθεῖσαν περιέχει γωνίαν.
XXVIII. 이것이 위치에 있어서 평행하거나, 또는 주어진 (점)으로 기우는(수렴하는) 어떤 직선과 함께 주어진 각도를 둘러싼다는 것.
ἔχει δὲ τὰ τρία βιβλία τῶν Πορισμάτων λήμματα λη, αὐτὰ δὲ θεωρημάτων ἐστὶν ροα.
그리고 『포리즘』 3권은 38개의 보조정리를 포함하며, 그것 자체는 171개의 정리로 이루어져 있다.
De hoc loco cfr. Studien über Eukl. p. 64 sqq. , p. 72 sqq.
이 구절에 대해서는 『유클리드 연구』 64쪽 이하, 72쪽 이하를 참조할 것.