§5.1#15.
5.
Pappus Συναγ. VII 3 p.
파포스 『수학 집성』 제7권 제3장 p.
636, 18 sqq. (ed. Hultsch): Τῶν δὲ προειρημένων τοῦ ἀναλυομένου βιβλίων ἡ τάξις ἐστὶν τοιαύτη·
636, 18 이하 (훌치 판): 앞서 언급한 『분석되는 (장서)』의 책들의 순서는 다음과 같다.
Εὐκλείδου Δεδομένων βιβλίον α, Ἀπολλωνίου Λόγου ἀποτομῆς β, Χωρίου ἀποτομῆς β, Διωρισμένης τομῆς δύο, Ἐπαφῶν δύο, Εὐκλείδου Πορισμάτων τρία κτλ.
유클리드의 『주어진 것』 한 권, 아폴로니오스의 『비율의 절단에 관하여』 두 권, 『넓이의 절단에 관하여』 두 권, 『결정된 절단에 관하여』 두 권, 『접촉에 관하여』 두 권, 유클리드의 『포리스마』 세 권 등.
Idem ibid. VII 13 p.
같은 책 제7권 제13장 p.
648, 18 sqq. :
Μετὰ δὲ τὰς Ἐπαφὰς ἐν τρισὶ βιβλίοις Πορίσματά ἐστιν Εὐκλείδου, πολλοῖς ἄθροισμα φιλοτεχνότατον εἰς τὴν ἀνάλυσιν τῶν ἐμβριθεστέρων προβλημάτων, καὶ τῶν γενῶν ἀπερίληπτον τῆς φύσεως παρεχομένης πλῆθος οὐδὲν προστεθείκασι τοῖς ὑπὸ Εὐκλείδου γραφεῖσι πρώτου, χωρὶς εἰ μή τινες τῶν πρὸ ἡμῶν ἀπειρόκαλοι δευτέρας γραφὰς ὀλίγοις αὐτῶν παρατεθείκασιν ἑκάστου μὲν πλῆθος ὡρισμένον ἔχοντος ἀποδείξεων, ὡς ἐδείξαμεν, τοῦ δʼ Εὐκλείδου μίαν ἑκάστου θέντος τὴν μάλιστά πως ἐμφαίνουσαν.
648, 18 이하: 『접촉에 관하여』 다음에는 세 권으로 구성된 유클리드의 『포리스마』가 있는데, 이는 많은 이들에게 더 무거운 문제들의 분석을 위한 가장 정교한 집성체이며, 자연이 무한한 수를 제공하기에 그 분류를 다 포괄할 수 없을 정도이다. 그들은 처음에 유클리드가 기록한 것들에 아무것도 덧붙이지 않았다. 다만 우리 이전의 어떤 무풍류한 자들이 그것들 중 소수에 대해 두 번째 증명들을 나란히 덧붙인 경우는 예외인데, 우리가 보여준 것처럼 각각은 한정된 수의 증명들을 가지고 있었으나, 유클리드는 각각에 대해 가장 잘 보여주는 단 하나의 증명만을 제시했다.
ταῦτα δὲ λεπτὴν καὶ φυσικὴν ἔχει θεωρίαν καὶ ἀναγκαίαν καὶ καθολικωτέραν καὶ τοῖς δυναμένοις ὁρᾶν καὶ πορίζειν ἐπιτερπῆ.
이것들은 정밀하고 자연스러운 이론을 지니고 있으며, 필수적이고 더 보편적이며, 볼 수 있고 찾아낼 수 있는 자들에게 큰 즐거움을 준다.
ἅπαντα δὲ αὐτῶν τὰ εἴδη οὔτε θεωρημάτων ἐστὶν οὔτε προβλημάτων, ἀλλὰ μέσον πως τούτων ἐχούσης ἰδέας, ὥστε τὰς προτάσεις αὐτῶν δύνασθαι σχηματίζεσθαι ἢ ὡς θεωρημάτων ἢ ὡς προβλημάτων, παῤ ὃ καὶ συμβέβηκε τῶν πολλῶν γεωμετρῶν τοὺς μὲν ὑπολαμβάνειν αὐτὰ εἶναι τῷ γένει θεωρήματα τοὺς δὲ προβλήμιατα ἀποβλέποντας εἰς τὸ σχῆμα μόνον τῆς προτάσεως.
그리고 그것들의 모든 분류는 정리의 것도 문제의 것도 아니며, 그것들 사이의 중간적인 성격을 지니고 있어서, 그 명제들이 정리로서나 혹은 문제로서 공식화될 수 있다. 이 때문에 많은 기하학자들 중에서 어떤 이들은 명제의 형식만을 보고서 그것들을 유상(類)적으로 정리라고 생각하고, 다른 이들은 문제라고 생각하게 되었다.
τὴν δὲ διαφορὰν τῶν τριῶν τούτων ὅτι βέλτιον ᾔδεσαν οἱ ἀρχαῖοι, δῆλον ἐκ τῶν ὅρων.
그러나 고대인들이 이 세 가지의 차이를 더 잘 알고 있었다는 것은 정의들을 보면 명백하다.
ἔφασαν γὰρ θεώρημα μὲν εἶναι τὸ προτεινόμενον εἰς ἀπόδειξιν αὐτοῦ τοῦ προτεινομένου, πρόβλημα δὲ τὸ προβαλλόμενον εἰς κατασκευὴναὐτοῦ τοῦ προτεινομένου, πόρισμα δὲ τὸ προτεινόμενον εἰς πορισμὸν αὐτοῦ τοῦ προτεινομένου.
그들은 정리는 제안된 바로 그것 자체의 증명을 위해 제안된 것이고, 문제는 제안된 바로 그것 자체의 작도를 위해 제안된 것이며, 포리스마는 제안된 바로 그것 자체의 발견을 위해 제안된 것이라고 말했기 때문이다.
μετεγράφη δὲ οὗτος ὁ τοῦ πορίσματος ὅρος ὑπὸ τῶν νεωτέρων μὴ δυναμένων ἅπαντα πορίζειν, ἀλλὰ συγχρωμένων τοῖς στοιχείοις τούτοις καὶ δεικνύντων αὐτὸ μόνον τοῦθʼ, ὅτι ἔστι τὸ ζητούμενον, μὴ ποριζόντων δὲ τοῦτο καὶ ἐλεγχομένων ὑπὸ τοῦ ὄρου καὶ τῶν διδασκομένων.
그러나 이 포리스마의 정의는 모든 것을 찾아낼 수 없었던 후세 사람들에 의해 고쳐 쓰였다. 이들은 이 『원론』의 요소들을 이용해 탐구되는 것이 존재한다는 바로 그 사실만을 보였을 뿐, 그것을 찾아내지 못했고, 그리하여 정의에 의해서도 배우는 이들에 의해서도 비판을 받았다.
ἔγραψαν δὲ ἀπὸ συμβεβηκότος οὕτως·
그들은 우연적 속성에 따라 다음과 같이 기록했다.
πόρισμά ἐστιν τὸ λεῖπον ὑποθέσει τοπικοῦ θεωρήματος. τούτου δὲ τοῦ γένους τῶν πορισμάτων εἶδός ἐστιν οἱ τόποι καὶ πλεονάζουσιν ἐν τῷ ἀναλυομένῳ·
'포리스마는 궤적 정리의 가설에서 결여되어 있는 것이다.' 그리고 이러한 유(類)의 포리스마 중에서 한 종(종)이 '궤적'이며, 그것은 『분석되는 (장서)』에 많이 존재한다.
κεχωρισμένον δὲ τῶν πορισμάτων ἤθροισται καὶ ἐπιγράφεται καὶ παραδίδοται διὰ τὸ πολύχυτον εἶναι μᾶλλον τῶν ἄλλων εἰδῶν.
그리고 그것은 다른 종들보다 더 풍부하게 분포하기 때문에 포리스마에서 분리되어 수집되고 제명이 붙여져 전해진다.
συμβέβηκε δὲ καὶ τοῦτο τοῖς πορίσμασιν τὰς προτάσεις ἔχειν ἐπιτετμημένας διὰ τὴν σκολιότητα πολλῶν συνήθως συνυπακουομένων·
또한 포리스마에는 이러한 일도 일어났다. 즉, 습관적으로 함께 이해되는 많은 것들이 복잡하기 때문에 그 명제들이 축약되어 있다는 것이다.
ὥστε πολλοὺς τῶν γεωμετρῶν ἐπὶ μέρους ἐκδέχεσθαι, τὰ δὲ ἀναγκαιότερα ἀγνοεῖν τῶν σημαινομένων.
그 결과 많은 기하학자들이 부분적으로만 이해할 뿐, 의미하는 바 중 정작 더 필수적인 것들은 알지 못한다.
περιλαβεῖν δὲ πολλὰ μιᾷ προτάσει ἥκιστα δυνατὸν ἐν τούτοις διὰ τὸ καὶ αὐτὸν Εὐκλείδην οὐ πολλὰ ἐξ ἑκάστου εἴδους τεθεικέναι, ἀλλὰ δείγματος ἕνεκα ἐκ τῆς πολυπληθείας ἓν ἢ ὀλίγα.
그러나 이것들에서 하나의 명제 안에 많은 것을 포괄하는 것은 매우 불가능하다. 왜냐하면 유클리드 자신도 각 종에서 많은 것을 제시하지 않았고, 그 수많은 것 중에서 예시를 위해 하나 혹은 소수만을 제시했기 때문이다.
πρὸς ἀρχῇ δὲ ὅμως τοῦ πρώτου βιβλίου τέθεικεν ὁμοειδῆ τινα ἐκείνου τοῦ δαψιλεστέρου εἴδους τῶν τόπων ὡς ι τὸ πλῆθος.
그럼에도 불구하고 그는 제1권의 시작 부분에 저 더 풍부한 궤적 종에 속하는 동종의 것을 수치로 열 개 정도 제시해 놓았다.