§8.prop.1ἐὰν ὦσιν ὁσοιδηποτοῦν ἀριθμοὶ ἑξῆς ἀνάλογον, οἱ δὲ ἄκροι αὐτῶν πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους ὦσιν, ἐλάχιστοί εἰσι τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων αὐτοῖς.
임의의 개수의 연비례인 수들이 있고, 그것들의 양 끝 항이 서로소라면, 그것들은 자신들과 같은 비를 가지는 것들 중에서 가장 작다.
ἔστωσαν ὁποσοιοῦν ἀριθμοὶ ἑξῆς ἀνάλογον οἱ Α, Β, Γ, δ, οἱ δὲ ἄκροι αὐτῶν οἱ Α, Δ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους ἔστωσαν·
임의의 개수의 연비례인 수들 A, B, Γ, Δ가 있고, 그것들의 양 끝 항인 A, Δ가 서로소라 하자.
λέγω, ὅτι οἱ Α, Β, Γ, Δ ἐλάχιστοί εἰσι τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων αὐτοῖς.
나는 A, B, Γ, Δ가 자신들과 같은 비를 가지는 것들 중에서 가장 작다고 주장한다.
εἰ γὰρ μή, ἔστωσαν ἐλάττονες τῶν Α, Β, Γ, Δ οἱ Ε, Ζ, Η, Θ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ ὄντες αὐτοῖς.
왜냐하면 만약 그렇지 않다면, A, B, Γ, Δ보다 작은 수들 E, Z, H, Θ가 그것들과 같은 비에 있게 하자.
καὶ ἐπεὶ οἱ α, Β, Γ, Δ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ εἰσὶ τοῖς Ε, Ζ, Η, Θ, καί ἐστιν ἴσον τὸ πλῆθος τῷ πλήθει, διʼ ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Δ, ὁ Ε πρὸς τὸν Θ. οἱ δὲ Α, Δ πρῶτοι, οἱ δὲ πρῶτοι καὶ ἐλάχιστοι, οἱ δὲ ἐλάχιστοι ἀριθμοὶ μετροῦσι τοὺς τὸν αὐτὸν λόγον ἔχοντας ἰσάκις ὅ τε μείζων τὸν μείζονα καὶ ὁ ἐλάσσων τὸν ἐλάσσονα, τουτέστιν ὅ τε ἡγούμενος τὸν ἡγούμενον καὶ ὁ ἑπόμενος τὸν ἑπόμενον.
그리고 A, B, Γ, Δ가 E, Z, H, Θ와 같은 비에 있고, 그 개수가 서로 같으므로, 그러므로 등비에 의해, A가 Δ에 대함은 E가 Θ에 대함과 같다. 그런데 A, Δ는 서로소이고, 서로소인 수들은 또한 가장 작으며, 가장 작은 수들은 같은 비를 가지는 수들을 같은 횟수만큼 재는데, 큰 것은 큰 것을, 작은 것은 작은 것을 재며, 즉 전항은 전항을, 후항은 후항을 잰다.
μετρεῖ ἄρα ὁ Α τὸν Ε ὁ μείζων τὸν ἐλάσσονα· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.
그러므로 더 큰 A가 더 작은 E를 재는데, 이것은 불가능하다.
οὐκ ἄρα οἱ Ε, Ζ, Η, Θ ἐλάσσονες ὄντες τῶν Α, Β, Γ, Δ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ εἰσὶν αὐτοῖς.
그러므로 E, Z, H, Θ는 A, B, Γ, Δ보다 작은 것으로서 그것들과 같은 비에 있지 않을 것이다.
οἱ Α, Β, Γ, Δ ἄρα ἐλάχιστοί εἰσι τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων αὐτοῖς·
그러므로 A, B, Γ, Δ는 자신들과 같은 비를 가지는 것들 중에서 가장 작다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하고자 했던 것이다.