§7.prop.37ἐὰν ἀριθμὸς ὑπό τινος ἀριθμοῦ μετρῆται, ὁ μετρούμενος ὁμώνυμον μέρος ἕξει τῷ μετροῦντι.
어떤 수가 어떤 수에 의해 재어진다면, 재어지는 수는 재는 수와 동명인 부분을 가질 것이다.
ἀριθμὸς γὰρ ὁ Α ὑπό τινος ἀριθμοῦ τοῦ Β μετρείσθω· λέγω, ὅτι ὁ Α ὁμώνυμον μέρος ἔχει τῷ Β.
ὁσάκις γὰρ ὁ Β τὸν Α μετρεῖ, τοσαῦται μονάδες ἔστωσαν ἐν τῷ Γ. ἐπεὶ ὁ Β τὸν Α μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν τῷ Γ μονάδας, μετρεῖ δὲ καὶ ἡ Δ μονὰς τὸν Γ ἀριθμὸν κατὰ τὰς ἐν αὐτῷ μονάδας, ἰσάκις ἄρα ἡ Δ μονὰς τὸν Γ ἀριθμὸν μετρεῖ καὶ ὁ Β τὸν Α. ἐναλλὰξ ἄρα ἰσάκις ἡ Δ μονὰς τὸν Β ἀριθμὸν μετρεῖ καὶ ὁ Γ τὸν Α· ὃ ἄρα μέρος ἐστὶν ἡ Δ μονὰς τοῦ Β ἀριθμοῦ, τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ ὁ Γ τοῦ Α. ἡ δὲ Δ μονὰς τοῦ Β ἀριθμοῦ μέρος ἐστὶν ὁμώνυμον αὐτῷ· καὶ ὁ Γ ἄρα τοῦ Α μέρος ἐστὶν ὁμώνυμον τῷ Β. ὥστε ὁ Α μέρος ἔχει τὸν Γ ὁμώνυμον ὄντα τῷ Β· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
왜냐하면 어떤 수 A가 어떤 수 B에 의해 재어진다고 하자. 나는 A가 B와 동명인 부분을 가진다고 주장한다. 왜냐하면 B가 A를 재는 횟수와 같은 수의 단위가 Γ 안에 있게 하자. B가 Γ 안의 단위 수에 따라 A를 재고, 단위 Δ 역시 수 Γ를 그 자신 안의 단위 수에 따라 재므로, 그러므로 단위 Δ가 수 Γ를 재는 횟수와 B가 A를 재는 횟수는 같다. 그러므로 번갈아, 단위 Δ가 수 B를 재는 횟수와 Γ가 A를 재는 횟수는 같다. 왜냐하면 어떤 수 A가 어떤 수 B에 의해 재어진다고 하자. 나는 A가 B와 동명인 부분을 가진다고 주장한다. 나는 A가 B와 동명인 부분을 가진다고 주장한다. 왜냐하면 B가 A를 재는 횟수와 같은 수의 단위가 Γ 안에 있게 하자. B가 Γ 안의 단위 수에 따라 A를 재고, 단위 Δ 역시 수 Γ를 그 자신 안의 단위 수에 따라 재므로, 그러므로 단위 Δ가 수 Γ를 재는 횟수와 B가 A를 재는 횟수는 같다. 그러므로 번갈아, 단위 Δ가 수 B를 재는 횟수와 Γ가 A를 재는 횟수는 같다. 나는 A가 B와 동명인 부분을 가진다고 주장한다. 왜냐하면 B가 A를 재는 횟수와 같은 수의 단위가 Γ 안에 있게 하자. B가 Γ 안의 단위 수에 따라 A를 재고, 단위 Δ 역시 수 Γ를 그 자신 안의 단위 수에 따라 재므로, 그러므로 단위 Δ가 수 Γ를 재는 횟수와 B가 A를 재는 횟수는 같다. 그러므로 번갈아, 단위 Δ가 수 B를 재는 횟수와 Γ가 A를 재는 횟수는 같다. 나는 A가 B와 동명인 부분을 가진다고 주장한다. 왜냐하면 B가 A를 재는 횟수와 같은 수의 단위가 Γ 안에 있게 하자. B가 Γ 안의 단위 수에 따라 A를 재고, 단위 Δ 역시 수 Γ를 그 자신 안의 단위 수에 따라 재므로, 그러므로 단위 Δ가 수 Γ를 재는 횟수와 B가 A를 재는 횟수는 같다. 그러므로 번갈아, 단위 Δ가 수 B를 재는 횟수와 Γ가 A를 재는 횟수는 같다. 그러므로 단위 Δ가 수 B에 대하여 어떤 부분인 것과 똑같은 부분으로 Γ 역시 A에 대하여 있다. 그런데 단위 Δ는 수 B의, 이것과 동명인 부분이다. 그러므로 단위 Δ가 수 B에 대하여 어떤 부분인 것과 똑같은 부분으로 Γ 역시 A에 대하여 있다. 그런데 단위 Δ는 수 B의, 이것과 동명인 부분이다. 그러므로 Γ 역시 A의, B와 동명인 부분이다. 그리하여 A는 B와 동명인 부분인 Γ를 가진다. 그러므로 Γ 역시 A의, B와 동명인 부분이다. 그리하여 A는 B와 동명인 부분인 Γ를 가진다. 이것이 증명하고자 했던 것이다. 왜냐하면 B가 A를 재는 횟수와 같은 수의 단위가 Γ 안에 있게 하자. B가 Γ 안의 단위 수에 따라 A를 재고, 단위 Δ 역시 수 Γ를 그 자신 안의 단위 수에 따라 재므로, 그러므로 단위 Δ가 수 Γ를 재는 횟수와 B가 A를 재는 횟수는 같다. 그러므로 번갈아, 단위 Δ가 수 B를 재는 횟수와 Γ가 A를 재는 횟수는 같다. 그러므로 단위 Δ가 수 B에 대하여 어떤 부분인 것과 똑같은 부분으로 Γ 역시 A에 대하여 있다. 그런데 단위 Δ는 수 B의, 이것과 동명인 부분이다. 그러므로 Γ 역시 A의, B와 동명인 부분이다. 그리하여 A는 B와 동명인 부분인 Γ를 가진다. 이것이 증명하고자 했던 것이다.
§7.prop.38ἐὰν ἀριθμὸς μέρος ἔχῃ ὁτιοῦν, ὑπὸ ὁμωνύμου ἀριθμοῦ μετρηθήσεται τῷ μέρει.
어떤 수가 어떤 부분이든 가진다면, 그것은 그 부분과 동명인 수에 의해 재어질 것이다.
ἀριθμὸς γὰρ ὁ Α μέρος ἐχέτω ὁτιοῦν τὸν Β, καὶ τῷ Β μέρει ὁμώνυμος ἔστω ὁ Γ· λέγω, ὅτι ὁ Γ τὸν Α μετρεῖ.
왜냐하면 수 A가 어떤 부분이든 B를 가진다고 하고, 부분 B와 동명인 수를 Γ라 하자. 나는 Γ가 A를 잰다고 주장한다. 왜냐하면 수 A가 어떤 부분이든 B를 가진다고 하고, 부분 B와 동명인 수를 Γ라 하자. 나는 Γ가 A를 잰다고 주장한다.
ἐπεὶ γὰρ ὁ Β τοῦ Α μέρος ἐστὶν ὁμώνυμον τῷ Γ, ἔστι δὲ καὶ ἡ Δ μονὰς τοῦ Γ μέρος ὁμώνυμον αὐτῷ, ὃ ἄρα μέρος ἐστὶν ἡ Δ μονὰς τοῦ Γ ἀριθμοῦ, τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ ὁ Β τοῦ Α·
왜냐하면 B는 A의, Γ와 동명인 부분이고, 단위 Δ 역시 Γ의, 이것과 동명인 부분이므로, 그러므로 단위 Δ가 수 Γ에 대하여 어떤 부분인 것과 똑같은 부분으로 B 역시 A에 대하여 있다.
ἰσάκις ἄρα ἡ Δ μονὰς τὸν Γ ἀριθμὸν μετρεῖ καὶ ὁ Β τὸν Α. ἐναλλὰξ ἄρα ἰσάκις ἡ Δ μονὰς τὸν Β ἀριθμὸν μετρεῖ καὶ ὁ Γ τὸν Α. ὁ Γ ἄρα τὸν Α μετρεῖ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
그러므로 단위 Δ가 수 Γ를 재는 횟수와 B가 A를 재는 횟수는 같다. 그러므로 번갈아, 단위 Δ가 수 B를 재는 횟수와 Γ가 A를 재는 횟수는 같다. 그러므로 Γ는 A를 잰다. 그러므로 단위 Δ가 수 Γ를 재는 횟수와 B가 A를 재는 횟수는 같다. 그러므로 번갈아, 단위 Δ가 수 B를 재는 횟수와 Γ가 A를 재는 횟수는 같다. 그러므로 Γ는 A를 잰다. 이것이 증명하고자 했던 것이다. 왜냐하면 B는 A의, Γ와 동명인 부분이고, 단위 Δ 역시 Γ의, 이것과 동명인 부분이므로, 그러므로 단위 Δ가 수 Γ에 대하여 어떤 부분인 것과 똑같은 부분으로 B 역시 A에 대하여 있다. 그러므로 단위 Δ가 수 Γ를 재는 횟수와 B가 A를 재는 횟수는 같다. 그러므로 번갈아, 단위 Δ가 수 B를 재는 횟수와 Γ가 A를 재는 횟수는 같다. 그러므로 Γ는 A를 잰다. 이것이 증명하고자 했던 것이다.
§7.prop.39ἀριθμὸν εὑρεῖν, ὃς ἐλάχιστος ὢν ἕξει τὰ δοθέντα μέρη.
주어진 부분들을 가지는 가장 작은 수를 구하는 것.
ἔστω τὰ δοθέντα μέρη τὰ Α, Β, Γ· δεῖ δὴ ἀριθμὸν εὑρεῖν, ὃς ἐλάχιστος ὢν ἕξει τὰ Α, Β, Γ μέρη.
주어진 부분들을 A, B, Γ라 하자. 가장 작은 수로서 부분 A, B, Γ를 가지는 수를 구해야 한다. 주어진 부분들을 A, B, Γ라 하자. 가장 작은 수로서 부분 A, B, Γ를 가지는 수를 구해야 한다.
ἔστωσαν γὰρ τοῖς Α, Β, Γ μέρεσιν ὁμώνυμοι ἀριθμοὶ οἱ Δ, Ε, Ζ, καὶ εἰλήφθω ὑπὸ τῶν Δ, Ε, Ζ ἐλάχιστος μετρούμενος ἀριθμὸς ὁ Η.
ὁ Η ἄρα ὁμώνυμα μέρη ἔχει τοῖς Δ, Ε, Ζ. τοῖς δὲ Δ, Ε, Ζ ὁμώνυμα μέρη ἐστὶ τὰ Α, Β, Γ· ὁ Η ἄρα ἔχει τὰ Α, Β, Γ μέρη.
왜냐하면 부분 A, B, Γ와 동명인 수들을 Δ, E, Z라 하고, Δ, E, Z에 의해 재어지는 가장 작은 수를 H라 하자. 그러므로 H는 Δ, E, Z와 동명인 부분들을 가진다. 그런데 Δ, E, Z와 동명인 부분들은 A, B, Γ이다. 왜냐하면 부분 A, B, Γ와 동명인 수들을 Δ, E, Z라 하고, Δ, E, Z에 의해 재어지는 가장 작은 수를 H라 하자. 왜냐하면 부분 A, B, Γ와 동명인 수들을 Δ, E, Z라 하고, Δ, E, Z에 의해 재어지는 가장 작은 수를 H라 하자. 그러므로 H는 Δ, E, Z와 동명인 부분들을 가진다. 그런데 Δ, E, Z와 동명인 부분들은 A, B, Γ이다. 왜냐하면 부분 A, B, Γ와 동명인 수들을 Δ, E, Z라 하고, Δ, E, Z에 의해 재어지는 가장 작은 수를 H라 하자. 그러므로 H는 Δ, E, Z와 동명인 부분들을 가진다. 그런데 Δ, E, Z와 동명인 부분들은 A, B, Γ이다. 그러므로 H는 부분 A, B, Γ를 가진다.
λέγω δή, ὅτι καὶ ἐλάχιστος ὤν.
나는 실로 그것이 가장 작은 수이기도 하다고 주장한다.
εἰ γὰρ μή, ἔσται τις τοῦ Η ἐλάσσων ἀριθμός, ὃς ἕξει τὰ Α, Β, Γ μέρη.
왜냐하면 만약 그렇지 않다면, H보다 작은 수로서 부분 A, B, Γ를 가지는 어떤 수가 존재할 것이다.
ἔστω ὁ Θ. ἐπεὶ ὁ Θ ἔχει τὰ Α, Β, Γ μέρη, ὁ Θ ἄρα ὑπὸ ὁμωνύμων ἀριθμῶν μετρηθήσεται τοῖς Α, Β, Γ μέρεσιν.
그것을 Θ라 하자. Θ는 부분 A, B, Γ를 가지므로, 그러므로 Θ는 부분 A, B, Γ와 동명인 수들에 의해 재어질 것이다. 그것을 Θ라 하자. Θ는 부분 A, B, Γ를 가지므로, 그러므로 Θ는 부분 A, B, Γ와 동명인 수들에 의해 재어질 것이다.
τοῖς δὲ Α, Β, Γ μέρεσιν ὁμώνυμοι ἀριθμοί εἰσιν οἱ Δ, Ε, Ζ· ὁ Θ ἄρα ὑπὸ τῶν Δ, Ε, Ζ μετρεῖται.
그런데 부분 A, B, Γ와 동명인 수들은 Δ, E, Z이다. 그러므로 Θ는 Δ, E, Z에 의해 재어진다.
καί ἐστιν ἐλάσσων τοῦ Η· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.
그리고 그것은 H보다 작다. 이것은 불가능하다.
οὐκ ἄρα ἔσται τις τοῦ Η ἐλάσσων ἀριθμός, ὃς ἕξει τὰ Α, Β, Γ μέρη· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
그러므로 H보다 작은 어떤 수도 부분 A, B, Γ를 가지지 않을 것이다. 이것이 증명하고자 했던 것이다. 그러므로 H는 Δ, E, Z와 동명인 부분들을 가진다. 그런데 Δ, E, Z와 동명인 부분들은 A, B, Γ이다. 그러므로 H는 부분 A, B, Γ를 가진다. 나는 실로 그것이 가장 작은 수이기도 하다고 주장한다. 왜냐하면 만약 그렇지 않다면, H보다 작은 수로서 부분 A, B, Γ를 가지는 어떤 수가 존재할 것이다. 그것을 Θ라 하자. Θ는 부분 A, B, Γ를 가지므로, 그러므로 Θ는 부분 A, B, Γ와 동명인 수들에 의해 재어질 것이다. 그런데 부분 A, B, Γ와 동명인 수들은 Δ, E, Z이다. 그러므로 Θ는 Δ, E, Z에 의해 재어진다. 그리고 그것은 H보다 작다. 이것은 불가능하다. 그러므로 H보다 작은 어떤 수도 부분 A, B, Γ를 가지지 않을 것이다. 이것이 증명하고자 했던 것이다.