§7.prop.32ἅπας ἀριθμὸς ἤτοι πρῶτός ἐστιν ἢ ὑπὸ πρώτου τινὸς ἀριθμοῦ μετρεῖται.
모든 수는 소수이거나 어떤 소수에 의해 재어진다.
ἔστω ἀριθμὸς ὁ Α· λέγω, ὅτι ὁ Α ἤτοι πρῶτός ἐστιν ἢ ὑπὸ πρώτου τινὸς ἀριθμοῦ μετρεῖται.
A를 하나의 수라 하자. 나는 A가 소수이거나 어떤 소수에 의해 재어진다고 주장한다. A를 하나의 수라 하자. 나는 A가 소수이거나 어떤 소수에 의해 재어진다고 주장한다.
εἰ μὲν οὖν πρῶτός ἐστιν ὁ Α, γεγονὸς ἂν εἴη τὸ ἐπιταχθέν.
만약 A가 소수라면 요구된 일이 행해졌을 것이다.
εἰ δὲ σύνθετος, μετρήσει τις αὐτὸν πρῶτος ἀριθμός.
그러나 합성수라면 어떤 소수가 그것을 잴 것이다. 만약 A가 소수라면 요구된 일이 행해졌을 것이다. 그러나 합성수라면 어떤 소수가 그것을 잴 것이다.
ἅπας ἄρα ἀριθμὸς ἤτοι πρῶτός ἐστιν ἢ ὑπὸ πρώτου τινὸς ἀριθμοῦ μετρεῖται· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
그러므로 모든 수는 소수이거나 어떤 소수에 의해 재어진다. 이것이 증명하고자 했던 것이다. 그러므로 모든 수는 소수이거나 어떤 소수에 의해 재어진다. 이것이 증명하고자 했던 것이다.
§7.prop.33ἀριθμῶν δοθέντων ὁποσωνοῦν εὑρεῖν τοὺς ἐλαχίστους τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων αὐτοῖς.
임의의 개수의 주어진 수들에 대하여, 그들과 동일한 비를 갖는 수들 중 가장 작은 수들을 구하는 것. 임의의 개수의 주어진 수들에 대하여, 그들과 동일한 비를 갖는 수들 중 가장 작은 수들을 구하는 것.
ἔστωσαν οἱ δοθέντες ὁποσοιοῦν ἀριθμοὶ οἱ Α, Β, Γ· δεῖ δὴ εὑρεῖν τοὺς ἐλαχίστους τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων τοῖς Α, Β, Γ.
οἱ Α, Β, Γ γὰρ ἤτοι πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσὶν ἢ οὔ.
주어진 임의의 개수의 수들을 A, B, Γ라 하자. A, B, Γ와 동일한 비를 갖는 수들 중 가장 작은 수들을 구해야 한다. 왜냐하면 A, B, Γ는 서로소이거나 그렇지 않다. 주어진 임의의 개수의 수들을 A, B, Γ라 하자. A, B, Γ와 동일한 비를 갖는 수들 중 가장 작은 수들을 구해야 한다. A, B, Γ와 동일한 비를 갖는 수들 중 가장 작은 수들을 구해야 한다. 왜냐하면 A, B, Γ는 서로소이거나 그렇지 않다.
εἰ μὲν οὖν οἱ Α, Β, Γ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν, ἐλάχιστοί εἰσι τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων αὐτοῖς.
만약 A, B, Γ가 서로소라면, 그들은 그들과 동일한 비를 갖는 수들 중 가장 작은 수들이다. 왜냐하면 A, B, Γ는 서로소이거나 그렇지 않다. 만약 A, B, Γ가 서로소라면, 그들은 그들과 동일한 비를 갖는 수들 중 가장 작은 수들이다.
εἰ δὲ οὔ, εἰλήφθω τῶν Α, Β, Γ τὸ μέγιστον κοινὸν μέτρον ὁ Δ, καὶ ὁσάκις ὁ Δ ἕκαστον τῶν Α, Β, Γ μετρεῖ, τοσαῦται μονάδες ἔστωσαν ἐν ἑκάστῳ τῶν Ε, Ζ, Η. καὶ ἕκαστος ἄρα τῶν Ε, Ζ, Η ἕκαστον τῶν Α, Β, Γ μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν τῷ Δ μονάδας.
그러나 그렇지 않다면, A, B, Γ의 최대공 약수를 Δ라 하고, Δ가 A, B, Γ 각각을 재는 횟수만큼 E, Z, H 각각에 단위들이 있게 하자. 그러면 또한 E, Z, H 각각은 Δ 안의 단위들의 수에 따라 A, B, Γ 각각을 잰다. 그러나 그렇지 않다면, A, B, Γ의 최대공 약수를 Δ라 하고, Δ가 A, B, Γ 각각을 재는 횟수만큼 E, Z, H 각각에 단위들이 있게 하자. 그러면 또한 E, Z, H 각각은 Δ 안의 단위들의 수에 따라 A, B, Γ 각각을 잰다.
οἱ Ε, Ζ, Η ἄρα τοὺς Α, Β, Γ ἰσάκις μετροῦσιν· οἱ Ε, Ζ, Η ἄρα τοῖς Α, Β, Γ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ εἰσίν.
그러므로 E, Z, H는 A, B, Γ를 동일한 횟수만큼 잰다. 그러므로 E, Z, H는 A, B, Γ와 동일한 비에 있다.
λέγω δή, ὅτι καὶ ἐλάχιστοι.
나는 실로 그들이 가장 작은 수들이기도 하다고 주장한다.
εἰ γὰρ μή εἰσιν οἱ Ε, Ζ, Η ἐλάχιστοι τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων τοῖς Α, Β, Γ, ἔσονται τῶν Ε, Ζ, Η ἐλάσσονες ἀριθμοὶ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ ὄντες τοῖς Α, Β, Γ. ἔστωσαν οἱ Θ, Κ, Λ· ἰσάκις ἄρα ὁ Θ τὸν Α μετρεῖ καὶ ἑκάτερος τῶν Κ, Λ ἑκάτερον τῶν Β, Γ. ὁσάκις δὲ ὁ Θ τὸν Α μετρεῖ, τοσαῦται μονάδες ἔστωσαν ἐν τῷ Μ· καὶ ἑκάτερος ἄρα τῶν Κ, Λ ἑκάτερον τῶν Β, Γ μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν τῷ Μ μονάδας.
왜냐하면 만약 E, Z, H가 A, B, Γ와 동일한 비를 갖는 수들 중 가장 작은 수들이 아니라면, E, Z, H보다 작으면서 A, B, Γ와 동일한 비에 있는 수들이 존재할 것이다. 그들을 Θ, K, Λ라 하자. 왜냐하면 만약 E, Z, H가 A, B, Γ와 동일한 비를 갖는 수들 중 가장 작은 수들이 아니라면, E, Z, H보다 작으면서 A, B, Γ와 동일한 비에 있는 수들이 존재할 것이다. 그들을 Θ, K, Λ라 하자. 그러면 Θ가 A를 재는 횟수와 K, Λ 각각이 B, Γ 각각을 재는 횟수는 같다. 그리고 Θ가 A를 재는 횟수만큼 M 안에 단위들이 있게 하자. 그러면 Θ가 A를 재는 횟수와 K, Λ 각각이 B, Γ 각각을 재는 횟수는 같다. 그리고 Θ가 A를 재는 횟수만큼 M 안에 단위들이 있게 하자. 그러면 또한 K, Λ 각각은 M 안의 단위들의 수에 따라 B, Γ 각각을 잰다.
καὶ ἐπεὶ ὁ Θ τὸν Α μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν τῷ Μ μονάδας, καὶ ὁ Μ ἄρα τὸν Α μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν τῷ Θ μονάδας.
그리고 Θ가 M 안의 단위들의 수에 따라 A를 재므로, M 또한 Θ 안의 단위들의 수에 따라 A를 잰다.
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ ὁ Μ καὶ ἑκάτερον τῶν Β, Γ μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν ἑκατέρῳ τῶν Κ, Λ μονάδας· ὁ Μ ἄρα τοὺς Α, Β, Γ μετρεῖ.
동일한 이유로 실로, M 또한 K, Λ 각각 안의 단위들의 수에 따라 B, Γ 각각을 잰다. 그러므로 M은 A, B, Γ를 잰다.
καὶ ἐπεὶ ὁ Θ τὸν Α μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν τῷ Μ μονάδας, ὁ Θ ἄρα τὸν Μ πολλαπλασιάσας τὸν Α πεποίηκεν.
그리고 Θ가 M 안의 단위들의 수에 따라 A를 재므로, 따라서 Θ는 M을 곱하여 A를 만들었다.
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὁ Ε τὸν Δ πολλαπλασιάσας τὸν Α πεποίηκεν.
동일한 이유로 실로, E 또한 Δ를 곱하여 A를 만들었다.
ἴσος ἄρα ἐστὶν ὁ ἐκ τῶν Ε, Δ τῷ ἐκ τῶν Θ, Μ. ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Ε πρὸς τὸν Θ, οὕτως ὁ Μ πρὸς τὸν Δ. μείζων δὲ ὁ Ε τοῦ Θ· μείζων ἄρα καὶ ὁ Μ τοῦ Δ. καὶ μετρεῖ τοὺς Α, Β, Γ· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον· ὑπόκειται γὰρ ὁ Δ τῶν Α, Β, Γ τὸ μέγιστον κοινὸν μέτρον.
그러므로 E, Δ로부터 생겨난 곱은 Θ, M으로부터 생겨난 곱과 같다. 그러므로 E 대 Θ는 M 대 Δ와 같다. 그런데 E는 Θ보다 크다. 그러므로 E, Δ로부터 생겨난 곱은 Θ, M으로부터 생겨난 곱과 같다. 그러므로 E 대 Θ는 M 대 Δ와 같다. 그런데 E는 Θ보다 크다. 그러므로 E, Δ로부터 생겨난 곱은 Θ, M으로부터 생겨난 곱과 같다. 그러므로 E 대 Θ는 M 대 Δ와 같다. 그런데 E는 Θ보다 크다. 그러므로 M 또한 Δ보다 크다. 그리고 그것은 A, B, Γ를 잰다. 그러므로 M 또한 Δ보다 크다. 그리고 그것은 A, B, Γ를 잰다. 이것은 불가능하다. 왜냐하면 Δ는 A, B, Γ의 최대공약수로 가정되었기 때문이다.
οὐκ ἄρα ἔσονταί τινες τῶν Ε, Ζ, Η ἐλάσσονες ἀριθμοὶ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ ὄντες τοῖς Α, Β, Γ. οἱ Ε, Ζ, Η ἄρα ἐλάχιστοί εἰσι τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων τοῖς Α, Β, Γ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
그러므로 E, Z, H보다 작으면서 A, B, Γ와 동일한 비에 있는 어떤 수들도 존재하지 않을 것이다. 그러므로 E, Z, H는 A, B, Γ와 동일한 비를 갖는 수들 중 가장 작은 수들이다. 그러므로 E, Z, H보다 작으면서 A, B, Γ와 동일한 비에 있는 어떤 수들도 존재하지 않을 것이다. 그러므로 E, Z, H는 A, B, Γ와 동일한 비를 갖는 수들 중 가장 작은 수들이다. 이것이 증명하고자 했던 것이다. 그러나 그렇지 않다면, A, B, Γ의 최대공 약수를 Δ라 하고, Δ가 A, B, Γ 각각을 재는 횟수만큼 E, Z, H 각각에 단위들이 있게 하자. 그러면 또한 E, Z, H 각각은 Δ 안의 단위들의 수에 따라 A, B, Γ 각각을 잰다. 그러므로 E, Z, H는 A, B, Γ를 동일한 횟수만큼 잰다. 그러므로 E, Z, H는 A, B, Γ와 동일한 비에 있다. 나는 실로 그들이 가장 작은 수들이기도 하다고 주장한다. 왜냐하면 만약 E, Z, H가 A, B, Γ와 동일한 비를 갖는 수들 중 가장 작은 수들이 아니라면, E, Z, H보다 작으면서 A, B, Γ와 동일한 비에 있는 수들이 존재할 것이다. 그들을 Θ, K, Λ라 하자. 그러면 Θ가 A를 재는 횟수와 K, Λ 각각이 B, Γ 각각을 재는 횟수는 같다. 그리고 Θ가 A를 재는 횟수만큼 M 안에 단위들이 있게 하자. 그러면 또한 K, Λ 각각은 M 안의 단위들의 수에 따라 B, Γ 각각을 잰다. 그리고 Θ가 M 안의 단위들의 수에 따라 A를 재므로, M 또한 Θ 안의 단위들의 수에 따라 A를 잰다. 동일한 이유로 실로, M 또한 K, Λ 각각 안의 단위들의 수에 따라 B, Γ 각각을 잰다. 그러므로 M은 A, B, Γ를 잰다. 그리고 Θ가 M 안의 단위들의 수에 따라 A를 재므로, 따라서 Θ는 M을 곱하여 A를 만들었다. 동일한 이유로 실로, E 또한 Δ를 곱하여 A를 만들었다. 그러므로 E, Δ로부터 생겨난 곱은 Θ, M으로부터 생겨난 곱과 같다. 그러므로 E 대 Θ는 M 대 Δ와 같다. 그런데 E는 Θ보다 크다. 그러므로 M 또한 Δ보다 크다. 그리고 그것은 A, B, Γ를 잰다. 이것은 불가능하다. 왜냐하면 Δ는 A, B, Γ의 최대공약수로 가정되었기 때문이다. 그러므로 E, Z, H보다 작으면서 A, B, Γ와 동일한 비에 있는 어떤 수들도 존재하지 않을 것이다. 그러므로 E, Z, H는 A, B, Γ와 동일한 비를 갖는 수들 중 가장 작은 수들이다. 이것이 증명하고자 했던 것이다.