§6.prop.6ἐὰν δύο τρίγωνα μίαν γωνίαν μιᾷ γωνίᾳ ἴσην ἔχῃ, περὶ δὲ τὰς ἴσας γωνίας τὰς πλευρὰς ἀνάλογον, ἰσογώνια ἔσται τὰ τρίγωνα καὶ ἴσας ἕξει τὰς γωνίας, ὑφʼ ἃς αἱ ὁμόλογοι πλευραὶ ὑποτείνουσιν.
만일 두 삼각형이 한 각을 다른 한 각과 같게 가지고, 같은 각을 끼고 있는 변들이 비례한다면, 그 삼각형들은 등각삼각형이고, 또한 대응하는 변들이 마주 보는 각들이 서로 같을 것이다.
ἔστω δύο τρίγωνα τὰ ΑΒΓ, ΔΕΖ μίαν γωνίαν τὴν ὑπὸ ΒΑΓ μιᾷ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΕΔΖ ἴσην ἔχοντα, περὶ δὲ τὰς ἴσας γωνίας τὰς πλευρὰς ἀνάλογον, ὡς τὴν ΒΑ πρὸς τὴν ΑΓ, οὕτως τὴν ΕΔ πρὸς τὴν ΔΖ·
두 삼각형 ABC, DEF가 한 각 BAC를 다른 한 각 EDF와 같게 가지고 있고, 같은 각을 끼고 있는 변들이 비례한다고 하자, 즉 BA가 AC에 대하여 가지는 비는 ED가 DF에 대하여 가지는 비와 같다고 하자.
λέγω, ὅτι ἰσογώνιόν ἐστι τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΔΕΖ τριγώνῳ καὶ ἴσην ἕξει τὴν ὑπὸ ΑΒΓ γωνίαν τῇ ὑπὸ ΔΕΖ, τὴν δὲ ὑπὸ ΑΓΒ τῇ ὑπὸ ΔΖΕ.
συνεστάτω γὰρ πρὸς τῇ ΔΖ εὐθείᾳ καὶ τοῖς πρὸς αὐτῇ σημείοις τοῖς Δ, Ζ ὁποτέρᾳ μὲν τῶν ὑπὸ ΒΑΓ, ΕΔΖ ἴση ἡ ὑπὸ ΖΔΗ, τῇ δὲ ὑπὸ ΑΓΒ ἴση ἡ ὑπὸ ΔΖΗ·
나는 주장한다, 삼각형 ABC는 삼각형 DEF와 등각삼각형이고, 각 ABC는 각 DEF와 같고, 각 ACB는 각 DFE와 같을 것이다. 왜냐하면 직선 DF와 그 위의 점 D, F에서, 각 BAC, EDF 중 어느 하나와 같은 각 FDG가 만들어지고, 각 ACB와 같은 각 DFG가 만들어진다고 하자.
λοιπὴ ἄρα ἡ πρὸς τῷ Β γωνία λοιπῇ τῇ πρὸς τῷ Η ἴση ἐστίν.
그러므로 B에서의 남은 각은 G에서의 남은 각과 같다.
ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΔΗΖ τριγώνῳ.
그러므로 삼각형 ABC는 삼각형 DGF와 등각삼각형이다.
ἀνάλογον ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΒΑ πρὸς τὴν ΑΓ, οὕτως ἡ ΗΔ πρὸς τὴν ΔΖ. ὑπόκειται δὲ καὶ ὡς ἡ ΒΑ πρὸς τὴν ΑΓ, οὕτως ἡ ΕΔ πρὸς τὴν ΔΖ·
그러므로 BA가 AC에 대하여 가지는 비는 GD가 DF에 대하여 가지는 비와 같다. 그런데 BA가 AC에 대하여 가지는 비는 가정에 의해 ED가 DF에 대하여 가지는 비와도 같다.
καὶ ὡς ἄρα ἡ ΕΔ πρὸς τὴν ΔΖ, οὕτως ἡ ΗΔ πρὸς τὴν ΔΖ. ἴση ἄρα ἡ ΕΔ τῇ ΔΗ·
그러므로 ED가 DF에 대하여 가지는 비는 GD가 DF에 대하여 가지는 비와 같다. 그러므로 ED는 GD와 같다.
καὶ κοινὴ ἡ ΔΖ·
그리고 DF는 공통이다.
δύο δὴ αἱ ΕΔ, ΔΖ δυσὶ ταῖς ΗΔ, ΔΖ ἴσαι εἰσίν·
그러므로 두 변 ED, DF는 두 변 GD, DF와 각각 같다.
καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΕΔΖ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΗΔΖ ἴση·
그리고 각 EDF는 각 GDF와 같다.
βάσις ἄρα ἡ ΕΖ βάσει τῇ ΗΖ ἐστιν ἴση, καὶ τὸ ΔΕΖ τρίγωνον τῷ ΗΔΖ τριγώνῳ ἴσον ἐστίν, καὶ αἱ λοιπαὶ γωνίαι ταῖς λοιπαῖς γωνίαις ἴσαι ἔσονται, ὑφʼ ἃς αἱ ἴσαι πλευραὶ ὑποτείνουσιν.
그러므로 밑변 EF는 밑변 GF와 같고, 삼각형 DEF는 삼각형 GDF와 같으며, 남은 각들은 같은 변들이 마주 보는 남은 각들과 같을 것이다.
ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ μὲν ὑπὸ ΔΖΗ τῇ ὑπὸ ΔΖΕ, ἡ δὲ ὑπὸ ΔΗΖ τῇ ὑπὸ ΔΕΖ. ἀλλʼ ἡ ὑπὸ ΔΖΗ τῇ ὑπὸ ΑΓΒ ἐστιν ἴση·
그러므로 각 DFG는 각 DFE와 같고, 각 DGF는 각 DEF와 같다. 그런데 각 DFG는 각 ACB와 같다.
καὶ ἡ ὑπὸ ΑΓΒ ἄρα τῇ ὑπὸ ΔΖΕ ἐστιν ἴση.
그러므로 각 ACB도 각 DFE와 같다.
ὑπόκειται δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΒΑΓ τῇ ὑπὸ ΕΔΖ ἴση·
그리고 가정에 의해 각 BAC도 각 EDF와 같다.
καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ πρὸς τῷ Β λοιπῇ τῇ πρὸς τῷ Ε ἴση ἐστίν·
그러므로 남은 B에서의 각은 남은 E에서의 각과 같다.
ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΔΕΖ τριγώνῳ.
그러므로 삼각형 ABC는 삼각형 DEF와 등각삼각형이다.
ἐὰν ἄρα δύο τρίγωνα μίαν γωνίαν μιᾷ γωνίᾳ ἴσην ἔχῃ, περὶ δὲ τὰς ἴσας γωνίας τὰς πλευρὰς ἀνάλογον, ἰσογώνια ἔσται τὰ τρίγωνα καὶ ἴσας ἕξει τὰς γωνίας, ὑφʼ ἃς αἱ ὁμόλογοι πλευραὶ ὑποτείνουσιν·
그러므로 만일 두 삼각형이 한 각을 다른 한 각과 같게 가지고, 같은 각을 끼고 있는 변들이 비례한다면, 그 삼각형들은 등각삼각형이고, 또한 대응하는 변들이 마주 보는 각들이 서로 같을 것이다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하고자 했던 것이다.